第--9讲-(学生2份)--正方形专题培优训练初二

第第 9 9 讲讲 正方形的性质和判定正方形的性质和判定 一 知识要点 1 正方形的定义 有一组邻边相等 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2 正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形 矩形 菱形 它具有前三者的所有性质 边的性质 对边平行 四条边都相等 角的性质 四个角都是直角 对角线性质 两条对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 对称性 正方形是中心对称图形 也是轴对称图形 平行四边形 矩形 菱形和正方形的关系 如图 3 正方形的判定 判定 有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 有一个角是直角的菱形是正方形 例题讲解 例例 1 1 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是边 BC 的中点 AEF 90 且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F 请你认真阅读下面关于这个图的探究片段 完成所提出的问题 1 探究 1 小强看到图 后 很快发现 AE EF 这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形全等 但 ABE 和 ECF 显然不全等 一个是直角三角形 一个是钝角三角形 考虑到点 E 是边 BC 的中点 因此可以选取 AB 的中点 M 连接 EM 后尝试着去证 AEM EFC 就行了 随即小强写出了如下的证明过程 证明 如图 1 取 AB 的中点 M 连接 EM AEF 90 FEC AEB 90 又 EAM AEB 90 EAM FEC 点 E M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点 AM EC 又可知 BME 是等腰直角三角形 AME 135 又 CF 是正方形外角的平分线 ECF 135 AEM EFC ASA AE EF 2 探究 2 小强继续探索 如图 2 若把条件 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上的任意一点 其余 条件不变 发现 AE EF 仍然成立 请你证明这一结论 3 探究 3 小强进一步还想试试 如图 3 若把条件 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 延长线上的一 点 其余条件仍不变 那么结论 AE EF 是否成立呢 若成立请你完成证明过程给小强看 若不成立请你说明理 由 四 四 四 四 四四 四 四 四 四 四 四 2 例例 2 2 1 如图 在正方形 ABCD 中 AEF 的顶点 E F 分别在 BC CD 边上 高 AG 与正方形的边长相等 求 EAF 的度数 2 如图 在 Rt ABD 中 BAD 90 AB AD 点 M N 是 BD 边上的任意两点 且 MAN 45 将 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 至 ADH 位置 连接 NH 试判断 MN ND DH 之间的数量关系 并说明理由 3 在图 中 连接 BD 分别交 AE AF 于点 M N 若 EG 4 GF 6 BM 3 求 AG MN 的长 3 练习练习 选择题 共 选择题 共 6 6 小题 小题 1 已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形 用阴影表示 点 B1在 y 轴上 点 C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3在 x 轴上 若正方形 A1B1C1D1的边长为 1 B1C1O 60 B1C1 B2C2 B3C3 则点 A3到 x 轴的距离是 A B C D 2 如图 边长为 a 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30 得到正方形 A B C D 图中阴影部分的面积为 A a2 B a2 C 1 a2 D 1 a2 3 正方形 ABCD 正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示 点 G 在线段 DK 上 且 G 为 BC 的三等分点 R 为 EF 中点 正方形 BEFG 的边长为 4 则 DEK 的面积为 A 10B 12C 14D 16 4 将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放 点 A1 A2 An分别是正方形的中心 则 n 个这样的 正方形重叠部分 阴影部分 的面积和为 A cm2 B cm2 C cm2 D cm2 5 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 2 3 正放置的四个正方形的 面积依次是 S1 S2 S3 S4 则 S1 S2 S3 S4 4 A 4B 5C 6D 7 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 小题 1 如图 P 是正方形 ABCD 内一点 将 ABC 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP 重合 若 PB 3 则 PP 2 如图所示 两个正方形的边长分别为 a 和 b 如果 a b 10 ab 20 那么阴影部分的面积是 20 3 已知 如图 在正方形 ABCD 中 O 是对角线 AC BD 的交点 过 O 作 OE OF 分别交 AB BC 于点 E F 若 AE 4 CF 3 则四边形 OEBF 的面积为 4 如图 A 在线段 BG 上 ABCD 和 DEFG 都是正方形 面积分别为 7 平方厘米和 11 平方厘米 则 CDE 的面积等于 平方厘米 5 如图 点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 PE BC 于点 E PF CD 于点 F 连接 EF 给出下列五个结论 AP EF AP EF APD 一定是等腰三角形 PFE BAP PD EC 其中正确结论的序号是 6 如图 在平面直角坐标系中 边长为 1 的正方形 OA1B1C 的对角线 A1C 和 OB1交于点 M1 以 M1A1为对角线作第二 个正方形 A2A1B2M1 对角线 A1M1和 A2B2交于点 M2 以 M2A1为对角线作第三个正方形 A3A1B3M2 对角线 A1M2和 A3B3交 于点 M3 依此类推 这样作的第 n 个正方形对角线交点 Mn的坐标为 5 三 解答题 共三 解答题 共 1818 小题 小题 1 已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 点 E F 分别是 OB OC 上的动点 1 如果动点 E F 满足 BE CF 如图 1 写出所有以点 E 或 F 为顶点的全等三角形 不得添加辅助线 证明 AE BF 2 如果动点 E F 满足 BE OF 如图 2 问当 AE BF 时 点 E 在什么位置 并证明你的结论 2 如图 分别以 ABC 的三边为边在 BC 的同侧作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 请回答下列问题 1 说明四边形 ADEF 是什么四边形 2 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEF 是矩形 3 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEF 是菱形 4 当 ABC 满足什么条件时 四边形 ADEF 是正方形 5 当 ABC 满足什么条件时 以 A D E F 为顶点的四边形不存在 第 2 3 4 5 题不必说明理由 6 3 在平面直角坐标系 xOy 中 OEFG 为正方形 点 F 的坐标为 1 1 将一个最短边长大于的直角三角形纸片 的直角顶点放在对角线 FO 上 1 如图 当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合 一条直角边落在直线 FO 上时 这个三角形纸片与正方形 OEFG 重叠部分 即阴影部分 的面积为 2 若三角形纸片的直角顶点不与点 O F 重合 且两条直角边与正方形相邻两边相交 当这个三角形纸片与正 方形 OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时 试确定三角形纸片直角顶点的坐标 不要求写出求解过程 并画出此时的图形 4 1 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 求证 CE CF 2 如图 2 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 G 是 AD 上一点 如果 GCE 45 请你利用 1 的结论证明 GE BE GD 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC E 是 AB 上一点 且 DCE 45 BE 4 DE 10 求直角梯形 ABCD 的面积 7 5 如图 四边形 ABCD 是正方形 ABE 是等边三角形 M 为对角线 BD 不含 B 点 上任意一点 将 BM 绕点 B 逆 时针旋转 60 得到 BN 连接 EN AM CM 1 求证 AMB ENB 2 当 M 点在何处时 AM CM 的值最小 当 M 点在何处时 AM BM CM 的值最小 并说明理由 3 当 AM BM CM 的最小值为时 求正方形的边长 6 如图 在边长为 4 的正方形 ABCD 中 点 P 在 AB 上从 A 向 B 运动 连接 DP 交 AC 于点 Q 8 1 试证明 无论点 P 运动到 AB 上何处时 都有 ADQ ABQ 2 当点 P 在 AB 上运动到什么位置时 ADQ 的面积是正方形 ABCD 面积的 3 若点 P 从点 A 运动到点 B 再继续在 BC 上运动到点 C 在整个运动过程中 当点 P 运动到什么位置时 ADQ 恰为等腰三角形 7 以四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形 直角顶点分别为 E F G H 顺次 连接这四个点 得四边形 EFGH 1 如图 1 当四边形 ABCD 为正方形时 我们发现四边形 EFGH 是正方形 如图 2 当四边形 ABCD 为矩形时 请 判断 四边形 EFGH 的形状 不要求证明 2 如图 3 当四边形 ABCD 为一般平行四边形时 设 ADC 0 90 试用含 的代数式表示 HAE 求证 HE HG 四边形 EFGH 是什么四边形 并说明理由 9 8 如图 所示 已知 A B 为直线 l 上两点 点 C 为直线 l 上方一动点 连接 AC BC 分别以 AC BC 为边向 ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG 过点 D 作 DD1 l 于点 D1 过点 E 作 EE1 l 于点 E1 1 如图 当点 E 恰好在直线 l 上时 此时 E1与 E 重合 试说明 DD1 AB 2 在图 中 当 D E 两点都在直线 l 的上方时 试探求三条线段 DD1 EE1 AB 之间的数量关系 并说明理由 3 如图 当点 E 在直线 l 的下方时 请直接写出三条线段 DD1 EE1 AB 之间的数量关系 不需要证明 10 9 在图 1 到图 3 中 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点 MPN 为直角三角形 MPN 90 正方形 ABCD 保持 不动 MPN 沿射线 AC 向右平移 平移过程中 P 点始终在射线 AC 上 且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E PN 垂直于 直线 BC 于点 F 1 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 2 如图 2 当 P 在线段 OC 上时 猜想 OE 与 OF 有怎样的数量关系与位置关系 并对你的猜想结果给予证明 3 如图 3 当点 P 在 AC 的延长线上时 OE 与 OF 的数量关系为 OE OF 位置关系为 OE OF 11 10 正方形 ABCD 中 点 O 是对角线 AC 的中点 P 是对角线 AC 上一动点 过点 P 作 PF CD 于点 F 如图 1 当点 P 与点 O 重合时 显然有 DF CF 1 如图 2 若点 P 在线段 AO 上 不与点 A O 重合 PE PB 且 PE 交 CD 于点 E 求证 DF EF 写出线段 PC PA CE 之间的一个等量关系 并证明你的结论 2 若点 P 在线段 OC 上 不与点 O C 重合 PE PB 且 PE 交直线 CD 于点 E 请完成图 3 并判断 1 中的结论 是否分别成立 若不成立 写出相应的结论 所写结论均不必证明 12 11 已知正方形 ABCD 1 如图 1 E 是 AD 上一点 过 BE 上一点 O 作 BE 的垂线 交 AB 于点 G 交 CD 于点 H 求证 BE GH 2 如图 2 过正方形 ABCD 内任意一点作两条互相垂直的直线 分别交 AD BC 于点 E F 交 AB CD 于点 G H EF 与 GH 相等吗 请写出你的结论 3 当点 O 在正方形 ABCD 的边上或外部时 过点 O 作两条互相垂直的直线 被正方形相对的两边 或它们的延 长线 截得的两条线段还相等吗 其中一种情形如图 3 所示 过正方形 ABCD 外一点 O 作互相垂直的两条直线 m n m 与 AD BC 的延长线分别交于点 E F n 与 AB DC 的延长线分别交于点 G H 试就该图形对你的结论加 以证明 13 12 如图 操作 把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上 CG BC 取线段 AE 的中点 M 探究 线段 MD MF 的关系 并加以证明 说明 1 如果你经历反复探索 没有找到解决问题的方法 请你把探索过程中的某种思路写出来 要求至少写 3 步 2 在你经历说明 1 的过程后 可以从下列 中选取一个补充或更换已知条件 完成你的证明 注意 选取 完成证明得 10 分 选取 完成证明得 7 分 选取 完成证明得 5 分 DM 的延长线交 CE 于点 N 且 AD NE 将正方形 CGEF6 绕点 C 逆时针旋转 45 如图 其他条件不变 在 的条件下 且 CF 2AD 附加题 将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后 如图 其他条件不变 探究 线段 MD MF 的关系 并加以证 明 14 13 操作 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上 并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动 直角的一边 始终经过点 B