极化恒等式在向量问题中的应用

极化恒等式在向量问题中的应用极化恒等式在向量问题中的应用 目标目标 1 阅读材料 了解极化恒等式的由来过程 掌握极化恒等式的两种模式 并理解其几何意义 阅读材料 了解极化恒等式的由来过程 掌握极化恒等式的两种模式 并理解其几何意义 阅读以下材料 阅读以下材料 两倍等于两条邻边平方和的 平方和平行四边形的对角线的你能用向量方法证明 何模型 示向量加法和减法的几引例 平行四边形是表 bADaAB 证明 不妨设 则baDBbaA C 1 22 22 2 2CCbbaabaAA 2 22 22 2 2bbaabaDBDB 1 2 两式相加得 222222 22CADABbaDBA 结论 定理 平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍定理 平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考思考 1 1 如果将上面 如果将上面 1 1 2 2 两式相减 能得到什么结论呢 两式相减 能得到什么结论呢 极化恒等式极化恒等式ba 22 4 1 baba 几何意义 向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的几何意义 向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的 和对角线和对角线 与与 差对角线差对角线 平方差的平方差的 4 1 即 即 平行四边形模式 22 4 1 DBACba 思考 在图思考 在图 1 1 的三角形的三角形 ABD 中 中 M 为为 BD 的中点 的中点 此恒等式如何表示呢 此恒等式如何表示呢 因为 所以 三角形模式 AMAC2 22 4 1 DBAMba 目标目标 2 1 掌握用极化恒等式求数量积的值 掌握用极化恒等式求数量积的值 例 1 2012 年浙江文 15 在中 是的中点 则 ABC MBC3 10AMBC AB AC 解 解 因为是的中点 由极化恒等式得 9 16MBC 22 4 1 BCAMACAB 100 4 1 小结 运用极化恒等式的三角形模式 关键在于取第三边的中点 找到三角形的中线 再写出极化恒等 式 目标检测目标检测 1 132012 的值为边上的动点 则是点 的边长为已知正方形改编北京文 DADEABE ABCD 目标目标 2 2 掌握用极化恒等式求数量积的最值 范围 掌握用极化恒等式求数量积的最值 范围 OO2 2 的取值范围是则 上的一个动点 是圆 点的圆内接于半径为 自编 已知正三角形例 PBPA PABC 解 取 AB 的中点 D 连结 CD 因为三角形 ABC 为正三角形 所以 O 为三角形 ABC 的重心 O 在 CD 上 且 所以 22 ODOC3 CD32 AB 又由极化恒等式得 3 4 1222 PDABPDPBPA 因为 P 在圆 O 上 所以当 P 在点 C 处时 3 max PD 当 P 在 CO 的延长线与圆 O 的交点处时 1 min PD 所以 6 2 PBPA M 图 1 A BCM 小结 涉及数量积的范围或最值时 可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量将多变量转变为单变量 再用数形结合等方法 求出单变量的范围 最值即可 目标检测目标检测 1 矩形ABCD中 3 4ABBC 点 M N分别为边 BC CD上的动点 且2MN 则AM AN 的最小值是 A 13 B 15 C 17 D 19 2 已知是圆上互不相同的三个点 且 则的最小值是 A B C 22 1xy ABAC AB AC 3 已知 为平面内一点 满足 则的取值范围是 ABC 7 8 9ABACBC PABC7PA PC PB 目标目标 2 3 会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题 例 3 2013 浙江理 7 在中 是边上一定点 满足 ABC 0 PAB 0 1 4 P BAB 且对于边上任一点 恒有 则 ABP 00 PB PCP B PC A B C D 90ABC 90BAC ABAC ACBC 目标检测目标检测 1 2 2 2 2 1 0 2 92008 DCBA ccbca cba 的最大值是则 满足 若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理 2 2016 年江苏 如图 在 ABC中 D是BC的中点 E F是AD上的两个三等分 点 1BF CF 则BE CE 的值是 4BA CA 3 2014 年江苏 如图在平行四边形ABCD中 已知8 5ABAD 3 2CPPD AP BP 则AB AD 的值是 课后检测课后检测 1 1 在中 若 在线段上运动 的最小值为 ABC 60BAC 2AB 3BC DACDADB 2 2 已知是圆的直径 长为 2 是圆上异于的一点 是圆所在平面上任意一点 则ABOABCO A BPO 的最小值为 A B C D PAPBPC 1 4 1 3 1 2 1 3 3 在中 若是所在平面内一点 且 则ABC 3AB 4AC 60BAC PABC 2AP 的最大值为 PB PC 4 4 在 已知点是内一点 则的最小值是 Rt ABC 2ACBC PABC PBPAPC 5 5 已知是单位圆上的两点 为圆心 且是圆的一条直径 点在圆内 且BA OMNAOB o 120 OC 满足 则的取值范围是 10 1 OBOAOCCNCM A A B B C C D D 1 2 1 1 1 0 4 3 0 1 6 6 正边长等于 点在其外接圆上运动 则的取值范围是 ABC 3PPBAP A A B B C C D D 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 7 7 在锐角中 已知 则的