2012高考数学知识考点精析27 坐标系与参数方程

1 第二十七讲坐标系与参数方程第二十七讲坐标系与参数方程 1 自觉运用坐标法解几何题 练习 1 用坐标法证明三角形的三条高交于一点 2 在已知三角形所在的平面内找一 点 使它到各顶点的距离的平方和最小 1 平面直角坐标系中的伸缩变换 1 0 0 0 1 0 xx P x y yy P x yPxy xx y f xfx yy 设点是平面直角坐标系内的任意一点 在变换 的作用下 点对应于点 函数在变换下得到 2 将 y f x 的横坐标变为原来的 a 倍 纵坐标变为原来的 m 倍 得到 x ymf a 即 xax x yf xymf a ymy 3 直线 双曲线 抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线 双曲线 抛物线 但可以改变 直线的倾斜角 双曲线的离心率 抛物线的开口大小及它们的位置 圆和椭圆可以通过伸 缩变换进行转化 3 极坐标系 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系 它由极点 O 与 极轴 Ox 组成 对于平面内任一点 P 若设 OP 0 以 Ox 为始边 OP 为终边的角为 则点 P 可用有序数对 表示 由于角 表示方法的多样性 故 的形式不 唯一 即一个点的极坐标有多种表达形式 对于极点 O 其极坐标为 0 为任意值 但一般取 0 即极点的极坐标为 0 0 4 极坐标与直角坐标的互化 互化的前提条件 1 极点与原点重合 2 极轴与 x 轴正方向重合 3 取相同 的单位长度 设点 P 的直角坐标为 x y 它的极坐标为 则 222 cos sin xy x y ytg x 或 若把直角坐标化为极坐标 求极角 时 应注意判断点 P 所在的象限 即角 的终边的 位置 以便正确地求出角 利用两种坐标的互化 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题 2 5 四类直线的极坐标方程 1 直线过极点且倾斜角为 2 直线过点且垂直于极轴 M a 0 cosa 3 直线过且平行于极轴 2 M b sinb 4 若直线过点 且极轴到此直线的角为 则它的方程为 00 M 00 sin sin 用正弦定理推导 6 几个特殊位置的圆的极坐标方程 1 当圆心位于极点 2 当圆心位于 3 当圆r 0 M r2 cos r 心位于 2 M r 2 sin r 4 若圆心为 半径为 r 的圆方程为 00 M 222 000 2cos 0 r 用余弦定理推导 7 1cos ep e 圆锥曲线统一的极坐标方程 注意极点是对应于焦点 利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦 焦半径有关的问题 8 柱坐标系与球坐标系 如图在空间直角坐标系 O xyz 内 设 P 产空间任意一点 它在 Oxy 平面上的射影为 Q 用 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标 这时 P 点的位置可用有序实数组 0 0 表示 这样建立了空间的点与有序实数组之间的一种对 zzR zzR 应关系 上述对应关系的坐标系叫柱坐标系 有序实数组叫柱坐标 zzR 柱坐标系又称半极坐标系 如图中设 OP 与 Oz 轴正方向的夹角为 则 P 点的位置可用有序实数组 表示 这种对应的坐标系叫球坐标系 0 0 02rr 叫球坐标 称被测点的方位角 称为高低 0 0 02rr 0 90 角 球坐标系又叫空间极坐标系 3 9 参数方程与普通方程的区别与联系 在求曲线的方程时 一般地需要建立曲线上动点 P x y 的坐标 x y 之间满足的等 量关系 F x y 0 这样得到的方程 F x y 0 就是曲线的普通方程 而有时要想 得到联系 x y 的方程 F x y 0 是比较困难的 于是可以通过引入某个中间变量 t 使之与曲线上动点 P 的坐标 x y 间接地联系起来 此时可得到方程组 xf t Ptt yt xyCCxyxyt xf t Ct yg t 即点的运动通过变量的变化进行描述 若对的每一个值 由方程组确定的点 都在曲线上 反之对于曲线上的每一个点 其中 都是的函数 则把方程组叫做曲线的参数方程 其中的称为参数 显然 参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别 更大的区别是普 通方程反映了曲线上任一点坐标 x y 的直接关系 而参数方程则反映了 x y 的间接关系 尽管参数方程与普通方程有很大的区别 但他们之间又有着密切的联系 这种联系表 现在两方面 1 这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式 是同一事物的两个方 面 2 这两种方程之间可以进行互化 通过消参可以把参数方程化为普通方程 而通过 引入参数 也可把普通方程化为参数方程 需要注意的是 在将两种方程互化的过程中 要注意两种方程 在表示同一曲线的 等价性 即注意参数的取值范围对注意参数的取值范围对 x x y y 的取值范围的取值范围 的影响 实质上 参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法 因此 也可认为引入参数就是引入函数的自变量 参数法在求曲线的轨迹方程 以及研究某些最 值问题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法 10 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数 常用的消参方法有代入消去法 加 减消去法 恒等式 三角的或代数的 消去法 要注意整体代入法及参数的取值范围对参数的取值范围对 x x y y 的取值范围的取值范围的影响 11 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数 即选定合适的参数 t 先确定一个关 系 x f t 或 y t 再代入普通方程 F x y 0 求得另一关系 y t 或 x f t 4 一般地 常选择的参数有角 如圆 椭圆 双曲线 有向线段的数量 如直线 斜率 抛物线是以斜率的倒数为参数 某一点的横坐标 或纵坐标 12 常见曲线的参数方程的一般形式 1 经过点 P0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程为 称为直线的标准参数方程 0 0 cos sin xxt t yyt 为参数 0 PtP P设是直线上的任一点 则表示有向线段的数量 经过点 P0 x0 y0 以为方向向量的直线的参数方程为 a b 称为直线的一般参数方程 0 0 xxat t yybt 为参数 此式中的 22 0 tabp p 利用直线的参数方程 研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算 有时比较方便 方法是 把 代入圆锥曲线 即可消去 l xxt yyt CFxyxy 0 0 0 cos sin 2 00tatbtca 而得到关于的一元二次方程 则 1 当 0 时 l与 C 有两个公共点 此时方程 at2 bt c 0 有两个不同的实根 t1 t2 把参数 t1 t2 代入l的参数方程 即可求得l与 C 的两个交点 M1 M2的坐标 另外 由参数 t 的几何 2 1212121 2 4M Mttttt t 意义 可知弦长 1 圆 椭圆 双曲线 抛物线的参数方程 22 2 cos sin xar xayb ybr 圆 r 的参数方程为 为参数 22 22 cos 1 sin xa xy ybab 椭圆的参数方程为 为参数 22 22 sec 1 xa xy ybtgab 双曲线的参数方程为 为参数 2 2 2 2 2 xpt ypxt ypt 抛物线的参数方程为 为参数 3 摆线 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个定点 P 的轨迹是什么 5 我们把定点 P 的轨迹叫做平摆线平摆线平摆线 又叫旋轮线旋轮线旋轮线 A sin BP 1 cos xr OBx yBAP yr 的长 P为