法向量的运用1VIP

1 专题 法向量的应用 高中数学法向量的定义 如果向量平面 那么向 a 量叫做平面的法向量 但是对于法向量在立体几何中的运a 用却没有详细介绍 其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几 问题如 求点到平面的距离 求异面直线间的距离 求直线 与平面所成的角 求二面角的大小 证明两平面平行或垂直 等是比较简便的 现介绍如下 一 求点到平面的距离求点到平面的距离 设 A 是平面外一点 AB 是的一条斜线 交平 面于点 B 而是平面 n 的法向量 那么向量在方向上的正射影长就是点 A 到 BAn 平面 的距离 h 所以 n nBA nBABAh cos 例 1 已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分 别是 B1C1和 C1D1的中点 求点 A1到平面 DBEF 的距离 解 如图建立空间直角坐标系 1 1 0 DB 0 1 DF 2 1 1 0 1 1 DA 设平面 DBEF 的法向量 为 x y z 则有 n 即 令 0 0 DFn DBn 0 2 1 0 zy yx 取 1 1 2 1 11 zyx n 2 1 则 A1到平面 DBEF 的距离 1 1 n DAn h 注 注 此题 A1在平面 DBEF 的射影难以确定 给求解增加难度 若利用 式求解 关键是求出平面 DBEF 的法向量 法向量 的求解有多种 根据线面垂直的判定定理 设 x y z n 通过建立方程组求出一组特解 二 求异面直线间的距离求异面直线间的距离 假设异面直线 平移直线至 且交于点 A aba a b 那么直线和确定平面 且直线 设是平 a b a n 面的法向量 那么 所以异面直线和 nanba 的距离可以转化为求直线上任一点到平面的距离 ba 方法同例 1 结论 是两条异面直线 其公垂向量为 分 12 l ln CD 别是上任一点 为间的 12 l ld 12 l l 距离 则 CD n d n 例 2 已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 求直线 DA1和 AC 间的距离 解 如图建立空间直角坐标系 则 1 1 0 AC 1 0 1 连接 1 DA 11C A 则 设平面的法向量为 ACCA 11 DCA 11 zyxn 由 解得 1 1 1 0 0 1 DAn ACn n 又 0 0 1 1 AA 所以点 A 到平面 A1C1D 的距离为 3 3 1 n nAA h 即直线 DA1和 AC 间的距离为 3 3 注 这道题若用几何推理 需连结 D1B 交 DA1C1和 B1CA 分别为 E F 并证明 D1DE B1BE 且 EF 恰好等于 DA1和 AC 的公垂线段长而且三等分线段 D1B 进而求解 EF 解题过程 几经转化 还需添加大量辅助线 不如用法向量求解更直接简便 三 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角 直线 AB 与平面所成的角 可看成是向量与平面 AB 的法向量所成的锐角的余角 所以有 n nAB nAB nAB cossin 例 3 已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 A1B1的 中点 求直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角 解 如图建立空间直角坐标系 A B h n z x B A1 y F E B1 C1 D1 D C A z A1 y x A C1 B C D1 B1 D 2 0 1 0 AB 1 0 1 1 AD 0 1 AE 2 1 设平面 ABC1D1的法向 量为 x y z 由n 0 0 1 ADn ABn 可解得 1 0 1 n 设直线 AE 与平面 ABC1D1所成的角为 则 5 10 sin nAE nAE 5 10 arcsin 四 求二面角的大小求二面角的大小 若 分别为平面的法向量 则二面角 n n 的平面角 或者其补角 l nn nn arccos 例 4 已知棱长为 1 的正 方体 ABCD A1B1C1D1 求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所 成的二面角的大 小 解 如图建立空间直角坐 标系 1 1 0 0 1 1 11C ABA1 设 分别是平面 A1BC1与平面 ABCD 的法向量 1 n 2 n 由 可解得 0 0 111 11 CAn BAn 1 0 0 1 1 1 2 1 n n 所以 3 3 cos 21 21 21 nn nn nn 所以平面 A1BC1与平面 ABCD 所成的二面角大小为 或 3 3 arccos 3 3 arccos 注 用法向量的夹角求二面角时应注意 平面的法向量有两个 相反的方向 取的方向不同求 出来的角度当然就不同 所以最后还应该根据这个二面角的 实际形态确定其大小 五 证明两平面平行或垂直证明两平面平行或垂直 若 则 反之也成立 n n 若 则 反之也成立 n n 例 5 已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F M 分别是 A1C1 A1D 和 B1A 上任一点 求证 平面 A1EF 平面 B1MC 证明 如图建立空间直角坐标系 则 1 1 0 11C A 1 0 1 CB1 1 0 1 DA1 0 1 1 AB1 设 111 CAEA DAFA 11 ABMB 11 且均不为 0 R 设 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量 1 n 2 n 由 可得 即 0 0 11 11 FAn EAn 0 0 12 111 DAn CAn 解得 1 1 1 0 0 12 111 DAn CAn 1n 由 可得 即 0 0 12 12 CBn MBn 0 0 12 12 CBn ABn 解得 1 1 1 0 0 12 12 CBn ABn 2 n 所以 所以平面 A1EF 平面 B1MC 21 nn 21 n n 注 如果求证的是两个平面垂直 可以求出两个平面的法向量 E z x D1 y A C1 B1 A1 B D A C D l B A C Fy E M x z D1C1 B1A1 C D B A z y x D1 A1 D B1 C1 C B A 3 A B C D E A1 B1 C1 D1 x y z 图 4 AB C D E Fx y z P 图 5 利用来证明 0 2121 nnnn 利用法向量来解决上述五种立体几何题目 最大的优点就是 不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置 完全依靠计算 就可以解决问题 但是也有局限性 高中阶段用代数推理解立体 几何题目 关键就是得建立空间直角坐标系 把向量通过坐标形 式表示出来 所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如 正 长 方体 直棱柱 正棱锥等 例例 5 如图 4 在长方体中 ABCD 1111 ABC D AD 1 AB 2 点 E 在棱 AB 上移动 1 AA 证明 11 D EAD 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 的距离 1 ACD AE 等于何值时 二面角的大小为 1 DECD 4 分析分析 本题是立体几何试题的常见题型 考查的是传统内容 证线线垂直 求点到平面的距离 求二面角的大小 可用传统的 几何方法求解 也可利用向量法求解 下面给出向量法求解 解 解 建立如图所示的空间直角坐标系 设 则AEa 1 1 0 1 A 1 0 0 1 D 1 0 Ea 1 0 0 A 0 2 0 C 证明 由 1 1 0 1 DA 1 1 1 1 D Ea 有 11 1 0 1 1 1 1 1 10DA D Ea 于是 11 DAD E 11 D EAD E 是 AB 的中点 得 1 1 0 E 1 1 1 1 D E 1 2 0 AC 1 1 0 1 AD 设平面的法向量为 单位法向量为 1 ACD 1 nx y 0 n 由 1 0 0 n AC n AD 1 1 2 0 0 1 1 0 1 0 x y x y 解得 20 10 xy x 1 1 2 x y 于是 有 1 1 1 2 n 0 1 1 1 2 1 2 2 3 3 31 11 4 n 设点 E 到平面的距离为 则 1 ACDd 10 2 1 21 1 1 1 3 3 33 dD E n 所以点 E 到平面的距离为 1 ACD 1 3 平面的法向量DEC 设平面的法 1 0 0 1 n 1 D EC 向量 2 1 nx y 又 1 2 0 ECa 1 0 2 1 DC 由 得 2 21 0 0 nEC nDC 1 1 2 0 0 1 0 2 1 0 x ya x y 解得 于是 2 0 210 xya y 1 2 1 2 a x y 2 1 1 1 2 2 a n 设所求的二面角为 则 有 4 12 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 coscos 21 1 1 24 a DD n a 得 解得 2 1 1 12 24 a 23a 所以 当 AE 时 二面角23 的大小为 1 DECD 4 例例 6如图 5 四棱锥 中 底面 ABCD 为矩形 PABCD 底面 ABCD AD PD E F 分别 CD PB 的中点 PD 求证 EF平面 PAB 设 AB BC 求 AC 与平面 AEF 所成角的大小 2 分析分析 本题考查的是立体几何的重点内容 直线与平面 垂直和直线与平面所成的角 考查空间想像能力和推理 论证能力 本题也是一题两法 证明 建立空间直角坐标系 如图 5 4 A B CD M P 图 6 设 AD PD 1 AB 2a0a 则 E 0 0 C 2 0 0 A 0 1 0 B 2 1 0 P 0 0 1 F aaa 2 1 2 1 a 得 1 1 0 2 2 EF 2 1 1 PBa 2 0 0 ABa 由 得 1 1 0 2 0 0 0 2 2 EF ABa EFAB 即 EFAB 同理 又 所以 EF平面EFPB ABPBB PAB 解 由 得 即 2ABBC 22a 2 2 a 得 2 0 0 2 E 2 1 1 22 2 F 2 0 0 C 有 2 1 0 AC 2 1 0 2 AE 1 1 0 2 2 EF 设平面 AEF 的法向量为 1 nx y 由 0 0 n EF n AE 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 x y x y 解得 11 0 22 2 0 2 y xy 1 2 y x 于是 2 1 1 n 设 AC 与面 AEF 所成的角为 与的夹角为 AC n AC n 则 2 1 0 2 1 1 3 sincos 621021 1 AC n AC n ACn 得 3 arcsin 6 所以 AC 与平面 AEF 所成角的大小为 3 arcsin 6 说明 说明 用传统的几何方法 在限定的时间内 很难找到 AC 与平面 AEF 所成的角 而利用平面的法向量解题 可顺利地避开 这一切麻烦 只要找到平面的法向量 利用向量间的代数运算 n 可方便简捷地解决此题 利用法向量也可顺利求解 如图 6 已知四棱锥的PABCD 底面为直角梯 形 AB DC 0 90DAB 底面 ABCD PA 且 PA AD DC M 是 PB 的中点 1 1 2 AB 证明 面 PAD面 PCD 求 AC 与 PB 所成的角 求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 解 解 略 说明