湖南省衡阳市八中2013届高三数学第十次教育质量检测试题 文

1 湖南省衡阳市八中湖南省衡阳市八中 20132013 届高三第十次教育质量检测届高三第十次教育质量检测 文科数学文科数学 一 选择题 本大题共 9 小题 每小题 5 分 共 45 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 集合则 D 2 1 1 A 1 12 BBA A 2 1 1 2 B 1 C 2 D 1 1 2 若p是真命题 q是假命题 则 B A p 是真命题 B q 是真命题 C p q是真命题 D p q是假命题 3 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入的值为 5 x 则输出的值是 A y A B C D 1 2 4 1 4 已知实数 则的最小值是 B 1 04 0 y x yx yx x满足 yx2 A 3 B 2 C 0 D 1 5 已知函数是定义在 R 上的偶函数 且当时 则函数的 xf0 x 1ln xxf xf 大致图象为 6 某学生在一门功课的 22 次考试中 所得分数如下茎叶图 所示 则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 A 117 B 118 C 118 5 D 119 5 7 已知角终边上一点 则 D 3 1 P2sin23tan A B 1 3 3 1 3 3 C D 2 3 0 8 如果 那么下列不等式中正确的是01 0 ba A B C D ababa 2 abaab 22 ababa aabab 2 2 9 如右图所示 抛物线的焦点为 F 点 M 在抛物线上 0 2 2 ppxy 线段 MF 的延长线与直线交于点 N 点 M 在 x 轴的上方 点 N 在 2 p x x 轴的下方 则的最小值是NFMF A 3p B 4p C D p22 1 3 p38 12 析 设 则为定值 MFX pNFMFpNFpMF 111 cos1 cos11 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 10 已知曲线 C 的参数方程为 则曲线 C 的离心率是 为参数 sin4 cos5 y x 11 已知i为虚数单位 则 1 1 ii 2 12 幂函数 f xx 的图像经过点 2 1 4 则 1 4 f 2 13 一个几何体的三视图如图 1 所示 则其体积等于 2 3 14 已知是非零向量 且 a b 2 aba 则与的夹角是 2 bab a b 3 15 已知数列为等差数列 若 n a m aa n ab 1 nmm nN 则 类比上述结论 对于等比数列 m n nbma a nm n b 0 n bnN 若 则可以得到 mn bc bd 2 nmm nN m n b 析 bm n 解析 观察 an 的性质 am n 则联想nb ma对应等比数列 bn 中 n m dn cm nb ma n m 的 而 an 中除以 n m 对应等比数列中开 n m 次方 故bm n dn cm n m dn cm 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知45A 4 cos 5 B 求的值 sinC 2 若10 BCD 为AB的中点 求 CD的长 AB 解解 1 三角形中 所以 B 锐角 3 分 5 4 cos B 5 3 sin B 所以 6 分 10 27 sincoscossin sin sin BABABAC 1 正 主 视图 俯视图 2 2 2 侧 左 视图 2 1 M N x y F 3 2 三角形 ABC 中 由正弦定理得 9 分 A BC C AB sinsin 14 AB 又 D 为 AB 中点 所以 BD 7 在三角形 BCD 中 由余弦定理得 37cos2 222 BBDBCBDBCCD 12 分 37 CD 17 本小题满分 12 分 家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类 其中 A 类服务员 12 名 B 类服务员名 x 若采用分层抽样的方法随机抽取 20 名家政服务员参加技术培训 抽取到 B 类服 务员的人数是 16 求的值 x 某客户来公司聘请 2 名家政服务员 但是由于公司人员安排已经接近饱和 只有 3 名 A 类家政服务员和 2 名 B 类家政服务员可供选择 请列出该客户的所有可能选择的情况 求该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率 解 1 20 16 4 由 可得 48 6 分16 12 4 xx 2 设 3 名 A 类家政服务员的编号为 a b c 2 名 B 类家政服务员的编号为 1 2 则所有可能情况有 a b a c a 1 a 2 b c b 1 b 2 c 1 c 2 1 2 共 10 种选择 该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的情况有 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 共 6 种选择 该客户最终聘请的家政服务员中既有 A 类又有 B 类的概率为 12 分 5 3 10 6 P 18 本小题满分 12 分 已知四棱锥中 底面PABCD PAABCD 平面 是边长为的菱形 ABCDa120BAD PAb I 求证 PBDPAC 平面平面 II 若二面角 P BD A 的正切值为 求的值 2 6 a b 解 I 因为 PA 平面 ABCD 所以 PA BD 又 ABCD 为菱形 所以 AC BD 所以 BD 平面 PAC 从而平面 PBD 平面 PAC 6 分 II 6 6 b a 19 某蔬菜基地 2013 年 2 月 2 日有一批黄瓜进入市场销售 通过市场调查 预测黄瓜的价格 A D CB P 4 f x 单位 元 kg 与时间x x表示距 2 月 10 日的天数 单位 天 0 8x 的数据如 下表 时间x 862 价格 f x 8420 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格 f x与上市时间x的变化 关系 f xaxb 2 f xaxbxc x f xa b logbf xax 其中0a 并求出此函数 为了控制黄瓜的价格 不使黄瓜的价格过于偏高 经过市场调研 引入一控制函数 122 39 x h xem x 0 x m称为控制系数 求证 当m ln2 1 时 总有 f xh x 解 根据表中数据 表述黄瓜价格 f x与上市时间x的变化关系的函数决不是单调函数 这 与函数 f xaxb x f xa b logbf xax 均具有单调性不符 所以 在 0a 的前提下 可选取二次函数 2 f xaxbxc 进行描述 把表格提供的三对数据代入该解析式得到 2024 4636 8864 cba cba cba 解得1a 12b 40c 所以 黄瓜价格 f x与上市时间x的函数关系是 2 1240f xxx 0 8x 解 设函数 2 21 x g xh xf xexmx 求导 结果见下表 22 x gxexm 继续对 gx 求导得 2 x gxe 表格如下 0 ln2ln2 ln2 gx 0 gx 减极小值增 由上表可知 ln2gxg 而 5 ln2 ln22ln2222ln222ln2 1gemmm 由m ln2 1 知 ln2 g 0 所以 gx 0 即 g x在区间 0 上为增函数 于是有 g x 0g 而 02 0020 10gem 故 g x 0 即当m ln2 1 且x 0时 x e 2 21xmx 即 h xf x 20 给定椭圆 22 22 1 0 yx Cab ab 称圆心在坐标原点O 半径为 22 ab 的圆是椭圆 C的 伴随圆 若椭圆C的一个焦点为 2 2 0 F 其短轴上的一个端点到2F距离为3 求椭圆C及其 伴随圆 的方程 若过点 0 0 Pm m 的直线与椭圆 C 只有一个公共点 且截椭圆 C 的 伴随圆 所得的弦长为2 2 求m的值 过椭圆 C 的 伴椭圆 上一动点 Q 作直线 12 l l 使得 12 l l与椭圆 C 都只有一个公 共点 当直线 12 l l都有斜率时 试判断直线 12 l l的斜率之积是否为定值 并说明理由 解 椭圆方程为 椭圆 C 的 伴椭圆 方程为 4 分 2 2 1 3 x y 22 4xy 设直线方程为 ykxm 因为截椭圆 C 的 伴随圆 所得的弦长为2 2 所以圆心到直线的距离为2 7 分 2 2 1 m d k 22 2 1 mk 又得 22 33xy ykxm 222 13 6330kxmkxm 8 分 22 130km 2 4m 2m 设 直线 00 Q xy 00 yyk xx 由 可知 2222 00 1313 0kmkykx 即 222 0000 3 210 xky x ky 又 为定值 13 分 2 0 1 2 2 0 1 3 y k k x 22 00 4xy 1 2 1k k 21 已知各项为实数的数列是等比数列 且 数列满 n a 1 2 a 5724 8 aaaa n b 足 对任意正整数 有 n 1 1 122 1 22 n nn a ba ba bn 1 求数列与数列的通项公式 n a n b 2 在数列的任意相邻两项与 之间插入个后 得到一个 n a k a 1k a k 1 N k k bk 新的数列 求数列的前 2012 项之和 n c n c 解 1 设等比数列的公比为由 n a Rq 5724 8 aaaa 6 得 又则 422 11 1 8 1 a qqa qq 2 1 2 0 10 aqq 3 8 2qq 数列的通项公式为 3 分 n a2 N n n an 由题意有 得 4 分 2 1 1 1 1 222a b 1 1 b 当时 2n 1 1221 12211 nnnnnn a ba ba ba ba ba bab 5 分 1 1 22 2 222 nnn nnn 得 故数列的通项公式为 6 分 n bn n b N n bn n 2 设数列的第项是数列的第项 即 n ak n c k m k km ac Nk 当时 2k 12 1 k mkk 1 2 k k 7 分 6263 62 6363 64 1953 2016 22 mm 设表示数列的前项之和 则 n S n cn Nn 8 分 1262 126312622016 1 1 2 1 62abSaabb 其中 9 分 63 64 1263 2 12 22 12 aaa 2 1 1 nn n nbn 22 2 21 41 nnnn N 则 1262 1262 1 1 2 1 62bbb 1222622 1 1 1