南通四校2011高考数学一轮复习：第15章圆锥曲线与方程第4节训练

1 抛物线 y2 2px p 0 的准线经过等轴双曲线 x2 y2 1 的左焦 点 则 p 解析 等轴双曲线 x2 y2 1 的左焦点为 0 所以 2 p 2 p 2 22 答案 2 2 2 已知对 k R 直线 y kx 1 0 与椭圆 1 恒有公共 x2 5 y2 m 点 则实数 m 的取值范围是 解析 1 表示椭圆 所以 m 0 且 m 5 直线 x2 5 y2 m y kx 1 0 恒过定点 P 0 1 则 P 在椭圆上或在椭圆内部 1 m 1 且 m 5 1 m 答案 m 1 且 m 5 3 2010 年江苏无锡质检 抛物线 y2 4mx m 0 的焦点到双曲线 1 的一条渐近线的距离为 3 则此抛物线的方程为 x2 16 y2 9 解析 双曲线的一条渐近线方程为 y x 抛物线的焦点为 m 0 3 4 则 3 m 5 所以抛物线方程为 y2 20 x 3m 5 答案 y2 20 x 4 2010 年无锡市检测 过双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 x2 a2 y2 b2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M N 两点 以 MN 为直径的圆 恰好过双曲线的左顶点 则双曲线的离心率等于 解析 MN a c e2 e 2 0 2b2 a b2 a e 1 e 2 答案 2 5 设 F1 F2为曲线 C1 1 的焦点 P 是曲线 x2 6 y2 2 C2 y2 1 与 C1的一个交点 则 PF1F2的面积为 x2 3 解析 由题知 PF1 PF2 2 PF1 PF2 2 63 PF1 PF2 又 F1F2 4 6363 cos F1PF2 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2 1 3 sin F1PF2 2 2 3 S PF1F2 PF1 PF2 sin F1PF2 1 22 答案 2 6 2010 年南通调研 若直线 mx ny 4 和圆 O x2 y2 4 没有 公共点 则过点 m n 的直线与椭圆 1 的交点个数为 x2 5 y2 4 解析 直线 mx ny 4 和圆 O x2 y2 4 没有公共点 所以 2 即 m2 n2 4 0 与抛物线 C y2 8x 相交于 A B 两点 F 为 C 的焦点 若 FA 2 FB 则 k 解析 过 A B 作抛物线准线 l 的垂线 垂足分别为 A1 B1 由 抛物线定义可知 AA1 AF BB1 BF 又 2 BF AF AA1 2 BB1 即 B 为 AC 的中点 从而 yA 2yB 联立方程组 Error 消去 x 得 y2 y 16 0 8 k Error Error 消去 yB得 k 2 2 3 答案 2 2 3 8 2009 年高考浙江卷改编 过双曲线 1 a 0 b 0 的右 x2 a2 y2 b2 顶点 A 作斜率为 1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分 别为 B C 若 A B 则双曲线的离心率是 B 1 2 C 解析 直线 l y x a 与渐近线 l1 bx ay 0 交于 B a2 a b l 与渐近线 l2 bx ay 0 交于 C A a 0 ab a b a2 a b ab a b A B ab a b ab a b B C 2a2b a2 b2 2a2b a2 b2 A B B 1 2 C b 2a ab a b a2b a2 b2 c2 a2 4a2 e2 5 c2 a2 e 5 答案 5 9 已知直线 l1 4x 3y 6 0 和直线 l2 x 1 则抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 解析 直线 l2 x 1 恰为抛物线 y2 4x 准线 点 P 到 l2 的距离 d2 PF F 1 0 为抛物线焦点 所以点 P 到 l1 l2距离之和最 小值为 F 到 l1距离 2 4 1 3 0 6 32 42 答案 2 10 已知椭圆 1 a b 0 过点 0 2 且椭圆的离心率为 x2 a2 y2 b23 1 2 A B 是椭圆上的两点 且不在 x 轴上 满足 A R 且 F FB 1 其中 F 为椭圆的左焦点 1 求椭圆的方程 2 试求出线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上截距的最大值 解 1 由已知 得 b 2 3 Error 解得 a2 16 所以椭圆方程为 1 x2 16 y2 12 2 A B 是椭圆上两点 A F R 且 1 F B A F B 三点共线 且直线 AB 的斜率存在 又 F 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 中点为 M x0 y0 记 AB 的方程为 y k x 2 代入 1 并整理得 x2 16 y2 12 3 4k2 x2 16k2x 16k2 48 0 显然 0 x1 x2 16k2 3 4k2 x0 y0 k x0 2 x1 x2 2 8k2 3 4k2 6k 3 4k2 因为 A B 不在 x 轴上 所以 k 0 线段 AB 的垂直平分线方程为 y y0 x x0 1 k 令 x 0 得 y 2k 3 4k2 2 4k f 3 k 要使得 y 轴上截距最大 必须 k0 0 3 k 4k 4 当且仅当 k 时 y 3 k3 3 2 3 6 所以线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截距的最大值为 3 6 11 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 椭圆 C 的中 x2 a2 y2 b2 1 2 心 O 关于直线 2x y 5 0 的对称点落在直线 x a2上 1 求椭圆 C 的方程 2 设 P 4 0 M N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点 连接 PN 交椭圆 C 于另一点 E 求直线 PN 的斜率范围并证明直线 ME 与 x 轴相交于定点 解 1 由题意知 e 故 a 2c c a 1 2 又 c2 a2 b2 设椭圆中心 O 关于直线 2x y 5 0 的对称点为 O 于是 OO 方程为 y x 1 2 由Error 得线段 OO 的中点为 2 1 从而 O 的横坐标为 4 故 a2 4 c2 1 b2 3 椭圆的方程为 1 x2 4 y2 3 2 由题意 知直线 PN 存在斜率 设直线 PN 的方程为 y k x 4 代入 1 x2 4 y2 3 并整理得 3 4k2 x2 32k2x 64k2 12 0 由 32k2 2 4 3 4k2 64k2 12 0 得 4k2 1 0 又 k 0 不合题意 k 0 或 0 k0 x1 x2 4k x1x2 16 1 证明 x1x2 y1y2 x1x2 kx1 4 kx2 4 OA OB 1 k2 x1x2 4k x1 x2 16 1 k2 16 4k 4k 16 0 OA OB 2 证明 过点 A 的切线 y x1 x x1 y1 x1x x12 1 2 1 2 1 4 过点 B 的切线 y x2x x22 1 2 1 4 联立 得点 N 4 所以点 N 在定直线 y 4 上 x1 x2 2