【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第十四章 第一节 导数及其运算提能精练 理（全国版）

用心 爱心 专心 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 设正弦函数 y sin x 在 x 0 和 x 附近的平均变化率为 k1 k2 则 k1 k2的大小关 2 系为 A k1 k2 B k1 k2 C k1 k2 D 不确定 解析 y sin x y sin x cos x k1 cos 0 1 k2 cos 0 k1 k2 2 答案 A 2 一质点沿直线运动 如果由始点经过 t 秒后的位移为 s t3 t2 2t 那么速度为零 1 3 3 2 的时刻是 A 0 秒 B 1 秒末 C 2 秒末 D 1 秒末和 2 秒末 解析 s t3 t2 2t 1 3 3 2 s t t2 3t 2 令 0 得 t2 3t 2 0 t1 1 t2 2 答案 D 3 已知二次函数 f x 的图象如图所示 则其导函数 f x 的图象大致形状是 解析 设二次函数为 y ax2 b a 0 b 0 则 y 2ax 又 a 0 故选 B 答案 B 4 曲线 y ex在点 2 e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A e2 B 2e2 9 4 C e2 D e2 2 解析 点 2 e2 在曲线上 切线的斜率 k y x 2 e2 x 2 ex 切线的方程为 y e2 e2 x 2 即 e2x y e2 0 与两坐标轴的交点坐标为 0 e2 1 0 S 1 e2 1 2 e2 2 答案 D 用心 爱心 专心 5 2010 年临沂模拟 若点 P 是曲线 y x2 lnx 上任意一点 则点 P 到直线 y x 2 的最 小距离为 A 1 B 2 C D 2 23 解析 过点 P 作 y x 2 的平行直线 且与曲线 y x2 lnx 相切 设 P x0 x lnx0 则有 2 0 k y x x0 2x0 1 x0 2x0 1 x0 1 或 x0 舍去 1 x0 1 2 P 1 1 d 1 1 2 1 12 答案 B 6 2008 年辽宁高考 设 P 为曲线 C y x2 2x 3 上的点 且曲线 C 在点 P 处切线倾 斜角的取值范围为 则点 P 横坐标的取值范围为 0 4 A B 1 0 1 1 2 C 0 1 D 1 2 1 解析 设 P x0 y0 y 2x 2 曲线 C 在 P 点处的切线斜率为 2x0 2 又切线倾斜角范围是 0 斜率范围是 0 1 4 即 0 2x0 2 1 1 x0 1 2 答案 A 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 2008 年江苏高考 设直线 y x b 是曲线 y lnx x 0 的一条切线 则实数 b 的值为 1 2 解析 y lnx 令 得 x 2 1 x 1 x 1 2 切点为 2 ln2 代入直线方程 y x b 1 2 ln2 2 b b ln2 1 1 2 答案 ln2 1 8 如图 函数 y f x 的图象在点 P 处的切线方程是 y x 8 则 f 5 f 5 用心 爱心 专心 解析 易得切点 P 5 3 f 5 3 k 1 即 f 5 1 f 5 f 5 3 1 2 答案 2 9 已知 f x g x 都是定义在 R 上的函数 g x 0 f x g x f x g x f x ax g x 在有穷数列 n 1 2 10 中 任意取前 k 项相加 则前 k 项和大 f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 f n g n 于的概率是 15 16 解析 据已知得 0 f x g x f x g x f x g x g2 x 故 ax 为定义域上的减函数 f x g x 故 0 a 1 从而由 a f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 1 2 故易知数列 即 an 从第五项开始其和大于 f n g n 15 16 故其概率为 6 10 3 5 答案 3 5 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 已知函数 f x x3 3x 及 y f x 上一点 P 1 2 过点 P 作直线 l 1 求使直线 l 和 y f x 相切且以 P 为切点的直线方程 2 求使直线 l 和 y f x 相切且切点异于 P 的直线方程 解析 1 由 f x x3 3x 得 f x 3x2 3 过点 P 且以 P 1 2 为切点的直线的斜率 f 1 0 所求直线方程为 y 2 2 设过 P 1 2 的直线 l 与 y f x 切于另一点 x0 y0 则 f x0 3x 3 2 0 又直线过 x0 y0 P 1 2 故其斜率可表示为 y0 2 x0 1 x3 0 3x0 2 x0 1 又 3x 3 x3 0 3x0 2 x0 12 0 即 x 3x0 2 3 x 1 x0 1 3 02 0 解得 x0 1 舍 或 x0 1 2 故所求直线的斜率为 k 3 1 1 4 9 4 y 2 x 1 即 9x 4y 1 0 9 4 11 设 t 0 点 P t 0 是函数 f x x3 ax 与 g x bx2 c 的图象的一个公共点 两函数 的图象在点 P 处有相同的切线 试用 t 表示 a b c 解析 因为函数 f x g x 的图象都过点 t 0 所以 f t 0 用心 爱心 专心 即 t3 at 0 因为 t 0 所以 a t2 g t 0 即 bt2 c 0 所以 c ab 又因为 f x g x 在点 t 0 处有相同的切线 所以 f t g t 而 f x 3x2 a g x 2bx 所以 3t2 a 2bt 将 a t2代入上式得 b t 因此 c ab t3 故 a t2 b t c t3 12 已知定义在正实数集上的函数 f x x2 2ax g x 3a2ln x b 其中 a 0 设两曲线 1 2 y f x y g x 有公共点 且在该点处的切线相同 1 用 a 表示 b 并求 b 的最大值 2 求证 f x g x x 0 解析 1 设 y f x 与 y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 f x x 2a g x 3a2 x 由题意知 f x0 g x0 f x0 g x0 即Error 由 x0 2a 得 x0 a 或 x0 3a 舍去 3a2 x0 即有 b a2 2a2 3a2ln a 1 2 a2 3a2ln a 5 2 令 h t t2 3t2ln t t 0 则 5 2 h t 2t 1 3ln t 于是 当 t 1 3ln t 0 时 即 0 t0 1 3 当 t 1 3ln t e 时 h t