江西省南康中学2014届高三下学期第五次大考数学（理）试卷

一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一个选项是正确的 1 已知复数 则所对应的点位于复平面的 2 cos45sin45 1 i z i z A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 下列函数中 其中最小正周期为 且图象关于点中心对称的是 0 3 A B sin 2 3 yx sin 2 6 yx C D sin 2 3 yx sin 26 x y 3 函数axaaxxf3 1 22 是定义在的偶函数 则的值为 2 42 1aa a A B C D 1 3 1 1 4 若函数的定义域为R 则的取值范围是 34 log 2 2 kxkxyk A B C D 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 5 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一个焦点与抛物线的焦点重合 且双曲线的离心率 2 4yx 等于 则该双曲线的方程为 5 A B 22 1 54 xy C 22 1 54 yx D 22 4 51 5 xy 22 5 51 4 xy 6 在 ABC 中 若 则 ABC 是 2 ABAB ACBA BCCA CB A 等边三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 7 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 B1C1 A1C1 AC1A1B M N 分别是 A1B1 AB 的中 点 给出如下三个结论 C1M平面 A1ABB1 A1BAM 平面 AMC1 平面 CNB1 其中正确结论的个数是 A 3B 2C 1D 0 8 函数在上的最小值是 2 54 2 xx f x x 2 A 0B 1C 2D 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 11 已知四点 则向量在向量方向上的射影为 1 2 3 4 2 2 3 5 ABCD AB CD 12 在某项测量中 测量结果服从正态分布 若在内取值的概 2 1 0 N 0 1 率为 0 4 则在上取值的概率为 2 13 某几何体的一条棱长为 在该几何体的主视图中 这条棱的投影的投影长为7 的线段 在该几何体的左视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为和的线段 6ab 则的最大值为 ab 14 已知且 若则的 3 2008sin2007 xxxf 1 1 x 1 af1 f0 2 aa 取值范围是 三 选做题 请在下列两题中任选一题作答 若两题都做只按其中第一题评分 本题共 5 分 15 1 坐标系与参数方程选做题 在直角坐标xoy中 以原点O为极点 x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 已知曲线 1 C的极坐标方程为 2 4 cos20 曲线 2 C的参 数方程为 xt yt t为参数 1 C与 2 C的交点的直角坐标为 2 不等式选做题 设 12 1 12 a aa xfxxf 若不等式对任意实数 0 a 恒成立 则 x 取值集合是 四 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量记 2 3sin 1 cos cos 444 xxx mn f xm n 1 若 求的值 3 2 f 2 cos 3 2 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 且满足abc 若 试判断 ABC 的形状 2 coscosacBbC 13 2 f A 17 本小题满分 12 分 甲 乙两个进行乒乓球比赛 约定每局胜者得 1 分 负者得 0 分 比赛进行到有一人 比对方多 2 分或打满 6 局时停止 设甲在每局中获胜的概率为 乙在每局中获胜的概率 2 3 为 且各局胜负相互独立 1 3 求甲在打的局数最少的情况下获胜的概率 求比赛停止时已打局数的期望 19 本小题满分 12 分 已知 2 a 5 a是方程 2 x02712 x的两根 数列 n a是公差为正的等差数列 数 列 n b的前n项和为 n T 且 n T 2 1 1 n b Nn 1 求数列 n a n b的通项公式 2 记 n c n a n b 求数列 n c的前n项和 21 本小题满分 14 分 在直角坐标平面中 三角形 ABC 的两个顶点的坐标分别为 0 7 7 aA 两动点 M N 满足 0 0 7 7 aaB 7 0NANCMCMBMA 向量与共线 7 NB MNAB 1 求 ABC 的顶点 C 的轨迹方程 2 若过点 P 0 a 的直线与 1 的轨迹相交于 E F 两点 求 的取值 PEPF 范围 3 若 G a 0 H 2a 0 Q 为 C 点轨迹在第一象限内的任意一点 则是否 存在常数 使得 QHG QGH 恒成立 若存在 求出 的值 若不存在 0 请说明理由 南康中学 2013 2014 学年度第二学期高三第五次大 考 数学 理 参考答案 四 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 解 2 311 3sincoscossincos 44422222 xxxxx f x 1 sin 262 x 3 分 1 由已知得 于是 3 2 f 13 sin 2622 2 4 3 kk 6 分 222 41 333 cos cosk 2 根据正弦定理知 2coscos 2sinsin cossincosacBbCACBBC 9 1 2sincossin sincos 23 ABBCABB 13 2 f A 分 或或 而 113 sin 2622263 AA 2 3 3 A 2 0 3 A 所以 因此ABC 为等边三角形 12 分 3 A 18 1 将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA 曲线就是对角线BD 由于ABr AD 所以这实际上是一个正方形 所以曲线的长度为2BD 6 分 2 当 2 时 点 1 B恰好为AB的中点 所以P为 11 BC中点 故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等 连结AP BP OP 1 C 1 B 由且知 平面APB 从而平面平面APB 1 ABB P 11 ABAB AB 11 AB P 作于H 则平面APB 1 B HOP 1 B H 所以 即为点到平面APB的距离 1 B H 1 B 在中 1 Rt OB PA A 111 1 2 OBB PBB 所以 2 22 4 1 22 OP 于是 11 1 22 1 2 44 2 OBB P B H OP 所以 点到平面APB的距离为 12 分 1 C 2 4 AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D 1 O O P H 20 解 1 当时 1a 2 2 9 1 1 x fx x 当时 则为增函数 1 1 2 x 0fx f x 当时 则为减函数12x 0fx f x 4 分 max 9 1 2 f xf 2 设切点为 则 t f t 1 2 f t f tta 由 有 化简得 7 分 1f t 2 22 9 1 1 1 at at 2 42 7100a tat 即或 由 有 2 2at 2 5at 2f tta 2 9 2 1 t at at 由 解得或 9 分 3 当时 2a 3 5 4 4 a 2a 由 2 的结论直线为曲线的切线 2 9 12 x f x x 4yx yf x 点在直线上 2 2f 2 2 f4yx 根据图像分析 曲线在直线下方 11 分 yf x 4yx 下面给出证明 当时 1 2 2 x 4f xx 32 22 928104 4 4 1212 xxxx f xxx xx 2 2 21 2 12 xx x 当时 即 12 分 1 2 2 x 4 0f xx 4f xx 12141214 4 14 f xf xf xxxx 1214 14xxx 1214 56 1442f xf xf x 要使不等式 1214 f xf xf x 恒成立 必须42 又 当 1214 1xxx 时 满足条件 1214 14xxx 且 1214 42f xf xf x 因此 的最小值为42 13 分 21 1 设 yxC 由 0 MCMBMA 知 M 是 ABC 的重心 3 3 yx M 又 NBNA 且向量MN与AB共线 N 在边 AB 的中垂线上 3 0 y N 而 7 NANC 97 7 9 4 22 22 ya yx 即 2 2 2 3 a y x 4 分 2 设 y F x 2211 yxE 过点 0 aP 的直线方程为 akxy 代入 2 2 2 3 a y x 得 042 3 222 aakxxk 0 3 164 2222 kaka 即 4 2 k 0 3k 4 4 3 4 13 22 2 k k 2 2 21 2 21 k3 a4 xx k3 ak2 xx 2211 ayxayxPFPE 2 22 21 2 2121 3 1 4 1 k ka xxkkxkxxx 20 4 3 4 14 22 2 2 aa k a 9 分 3 设 0 0 0000 yxyxQ 则 2 2 02 0 3 a y x 即 3 2 0 2 0 2 0 axy 当 xQH 轴时 4 3 2 00 QGHayax