《三维设计》2012高三数学 第二单元 基本初等函数（I）和导数15.导数的应用课时限时检测

用心 爱心 专心 1 时间 60 分钟 满分 80 分 一 选择题 共 6 个小题 每小题 5 分 满分 30 分 1 函数f x 2x4 3x2 1 在区间 2 上的最大值和最小值分别是 1 2 A 21 B 1 1 8 1 8 C 21 0 D 0 1 8 答案 A 2 函数f x 1 x sinx在 0 2 上是 A 增函数 B 减函 数 C 在 0 上增 在 2 上减 D 在 0 上减 在 2 上增 解析 f x 1 cosx 0 f x 在 0 2 上递增 答案 A 3 f x 的导函数f x 的图象如图所示 则函数f x 的图象最有可能的是图中的 解析 x 2 0 时f x 0 则f x 在 R 上是增函数 故不存在极值 点 答案 C 5 已知f x x3 ax在 1 上是单调增函数 则a的最大值是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 f x 3x2 a 0 在 1 上恒成立 即 a 3x2在 1 上恒成立 而 3x2 min 3 12 3 a 3 故amax 3 答案 D 6 f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足xf x f x 0 对任意正数 a b 若a b 则必有 A af b bf a B bf a af b C af a f b D bf b f a 解析 xf x f x 0 又f x 0 xf x f x 0 设y 则y 0 f x x xf x f x x2 故y 为减函数或常函数 f x x 又a0 则af b bf a 答案 A 二 填空题 共 3 小题 每小题 5 分 满分 15 分 7 函数f x x2 lnx的最小值为 1 2 解析 Error 得x 1 Error 得 0 x 1 f x 在x 1 时取最小值f 1 ln1 1 2 1 2 答案 1 2 8 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1 处取极值 10 则f 2 解析 f x 3x2 2ax b 由题意Error 即Error 得a 4 或a 3 用心 爱心 专心 3 但当a 3 时 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极值 a 4 b 11 f 2 18 答案 18 9 给出定义 若函数f x 在D上可导 即f x 存在 且导函数f x 在D上也可导 则称f x 在D上存在二阶导函数 记f x f x 若f x 0 在D上恒成立 则 称f x 在D上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为正 2 确的序号都填上 f x sinx cosx f x lnx 2x f x x3 2x 1 f x xex 解析 对于 f x sinx cosx x 0 时 2 f x 0 恒成立 对于 f x 在x 0 时 f x 0 恒成立 1 x2 2 对于 f x 6x 在x 0 时 f x 0 恒成立 2 所以f x xex不是凸函数 答案 三 解答题 共 3 小题 满分 35 分 10 已知函数f x x3 ax2 bx a b R 若y f x 图象上的点 1 处的切 1 3 11 3 线斜率为 4 求y f x 的极大值 解 1 f x x2 2ax b 由题意可知 f 1 4 且f 1 11 3 即Error 解得Error f x x3 x2 3x 1 3 f x x2 2x 3 x 1 x 3 令f x 0 得x1 1 x2 3 由此可知 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 1 3 3 3 f x 0 来源 0 用心 爱心 专心 4 Z xx k Com f x 极大值 极小值 当x 1 时 f x 取极大值 5 3 11 已知函数f x xlnx 1 求f x 的最小值 2 讨论关于x的方程f x m 0 m R 的解的个数 解 1 f x 的定义域为 0 f x lnx 1 令f x 0 得x 1 e 当x 0 时 f x f x 的变化情况如下 x 0 1 e 1 e 1 e f x 0 f x 极小值 所以 f x 在 0 上最小值是f 1 e 1 e 2 当x 时 f x 单调递减且f x 的取值范围是 0 1 e 1 e 0 当x 时 f x 单调递增且f x 的取值范围是 1 e 1 e 下面讨论f x m 0 的解 当m 时 原方程无解 1 e 当m 或m 0 时 原方程有唯一解 1 e 当 m 0 时 原方程有两个解 1 e 12 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 2 证明 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 解 1 由题知f x 的定义域为 0 用心 爱心 专心 5 f x 2ax a 1 x 2ax2 a 1 x 当a 0 时 故f x 0 f x 在 0 上单调增加 当a 1 时 f x 0 故f x 在 0 上单调减少 当 1 a 0 时 令f x 0 解得x a 1 2a 则当x 0 时 f x 0 a 1 2a x 时 f x 0 a 1 2a 故f x 在 0 上单调增加 a 1 2a 在 上单调减少 a 1 2a 2 证明 不妨假设x1 x2 由 1 知当a 2 时 f x 在 0 上单调减少 所以 f x1 f x2 4 x1 x2 等价于f x2 f x1 4x1 4x2 来源 Z xx k Com 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 则g x 2ax 4 a 1