华师大版八年级下册19.3正方形与一次函数反比例函数综合题专训（有答案

华师大版八年级下册 方形与一次函数反比例函数综合题专训 一、利用正方形的性质求解一次函数与反比例函数问题 试题、 （ 2015春监利县期末）如图，点 B、 y=2x和 y= A、 D是 知四边形 【分析】 设正方形的边长为 a，根据正方形的性质分别表示出 B， 将 【解答】 解：设正方形的边长为 a，则 a，把点 y=2设点 ， a）， 则点 +a， a）， 把点 y=a=k（ +a），解得， k= 故答案为： 【点评】 本题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键 试题 （ 2015阆中市模拟）如图，点 形 0，正方形8，则反比例函数的解析式是 （ ） A B C D 【解答】 解：设 x， y）， 根据题意得 x2+8， x+y=10， （ x+y） 2=100， xy+00，即 68+200， 6， 反比例函数的解析式为 y= 故选 D 试题、 （ 2015衡南县自主招生）已知点 A、 C、 个函数图象上的点，当四边形 A、 B、 C、 正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形例如：如图，正方形 y=x+1图象的其中一个伴侣正方形（ 1）若某函数是一次函数 y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； （ 2）若某函数是反比例函数 ，它的图象的伴侣正方形为 D（ 2， m）（ m 2）在反比例函数图象上，求 【解答】 解：（ 1）如图 1，当点 A在 B在 D=1， 正方形 D= ； 当点 A在 B在 设正方形的边长为 a， 3a= a= ， 正方形边长为 ， 一次函数 y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或 ； （ 2）如图 2，作 x、 D= m 2， A=BF=m， F= m， F+， 2 m， 2）， 设反比例函数的解析式 为： ， D（ 2， m）， C（ 2 m， 2） ， 由 得： k=2m， 把 k=2得： 2m=2（ 2 m）， 解得 m=1， k=2， 反比例函数的解析式为 y= 试题、 （ 2015韶关模拟）如图，点 A（ 2， 2）在双曲线 （ x 0）上，点 （ x 0）上，分别过 A、 C向 足分别为 F、 E，以 A、 使点 B在 D在 （ 1）求 （ 2）求证： （ 3）求直线 【解答】 （ 1）解：把点 A（ 2， 2）代入 ， 得： 2= ， k=4； （ 2）证明： 四边形 正方形， B， 0， C， 0， 0， 0， 在 ， （ 3）解：连接 ，如图所示： 则 0， F， F=2， 由（ 2）得： F=2， F， 设 OB=x，则 OE=x+2， F=x+2， E， 点 x 2， x+2）， 代入双曲线 （ x 0）得：（ x+2） 2= 9， 解得： x=1，或 x= 5（不合题意，舍去 ）， ， ， E=3， +3=5， =B（ 1， 0）， ， 在 t ， G=5， D（ 0， 5）， 设直线 y=kx+b， 把 B（ 1， 0）， D（ 0， 5）代入得： ， 解得： k=5， b=5 直 线 y=5x+5 试题、 （ 2015春四川校级期中）如图，正方形 6，点 y= （ x 0）上，点 P（ m， n）是双曲线上任意一点，过点 足分别为 E、 F，并设矩形 （ 1）求 （ 2）当 S=8时，求点 （ 3）写出 S与 【解答】 解：（ 1） 正方形 6， C=4， B（ 4， 4）， 又 点 B（ 4， 4）在函数 的图象上， k=16； 故点 4， 4）， k=16； （ 2）分两种情况： 当点 的左侧时， P（ m， n）在函数 y= 上， 6， S=m（ n 4） =4m=8， 解得 m=2， n=8， 点 （ 2， 8）； 当点 的右侧时， P（ m， n）在函数 y= 上， 6， S=4（ 4 n） =16 4n=8， 解得 n=2， =2， 解得 m=8， 点 （ 8， 2）， 综上所述： P（ 2， 8），（ 8， 2） （ 3）当 0 m 4时，点 的左边，此时 S=16 4m， 当 m4时，点 的右边，此时 S=16 4n=16 4 =16 试题、 （ 2014本溪）如图，边长为 2的正方形 在 点 （ x 0） 的图象上，已知点 ， ），则 ） A 4 B 6 C 8 D 10 【分析】 过点 E ，过点 F ，根据正方形的性质可得 D， 0，再根据同角的余角相等求出 后利用 “角角边 ”证明 据全等三角形对应边相等可得 E， E，再求出 后写出点 把点 k 【解答】 解：如图，过点 E ，过点 F ， 在正方形 D， 0， 0， 0， 在 ， E， E， 正方 形的边长为 2， B（ ， ）， ， = ， E+F= + + =5， 点 ， 5）， 顶点 y= （ x 0）的图象上， k=5=8 故选： C 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三 角形并求出点 试题、 （ 2012北仑区校级模拟）在平面直角坐标系中，如图，点 2， 0），点 线段 正方形的中心 M（ 3， 3），那么点 （ 0， 4） ，直线 y= 2x+14 【分析】 连接 点 E ，作 ，根据点 后求出 F，再利用 “明 t 据全等三角形对应边相等可得 E，再根据点 A，然后求出 求出 出点 过点 G ，求出 后利用 “角角边 ”证明 据全等三角形对应边相等可得 D， A，从而写出点 点 H 理可得 D， A，然后求出点 直线 解析式为 y=kx+b（ k0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可 【解答】 解：如图， 连接 点 E ，作 ， 正方形 （ 3， 3）， M，四边形 F=3， 在 t ， E， A（ 2， 0）， ， E 2=1， F+F+1=4， 点 0， 4）； 过点 G ， 0， 0， 在 ， D=4， A=2， A+4=6， 点 6， 2）， 过点 H ， 同理可得 D=4， A=2， D+2=6， 点 4， 6）， 设直线 y=kx+b（ k0）， 则 ， 解得 ， 设直线 解析式为 y= 2x+14 故答案为：（ 0， 4）； y= 2x+14 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，难点在于作辅助线构造出全等三角形以及以点 O、 二、利用一次函数与反比例函数的性质求解正方形问题 试题、 （ 2015凉山州）以正方形 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 y= 经过点 D，则正方形 ） A 10 B 11 C 12 D 13 【解答】 解： 双曲线 y= 经过点 D， 第 一象限的小正方形的面积是 3， 正方形 4=12 故选： C 试题、 （ 2015安陆市三模）如图，四边形 A、 D在 C在 B 上，点 B、 y= 的图象上， ，则正方形 ） A 2 B 4 C 6 D 12 【解答】 解：设正方 形 D=t，则 +t 四边形 D=t 1+t， t） y= 的图象上， （ 1+t） t=6 整理，得 t2+t 6=0 解得 3， t 0， t=2 正方形 ， 正方形 故选 B 试题、 （ 2015石家庄模拟）如图，点 y= （ x 0）的图象上的一点，且点 ，连接 ，使 A，过点 B作 足分别为 C，D，则图中阴影部分的面积为（ ） A 23 B 18 C 11 D 8 【解答】 解： 点 y= （ x 0）的图象上的一点，且点 ， 点 ， A（ 2， 2）， A， 四边形 B（ 4， 4）， S 阴影 =S S 正方形 44=8 试题、 （ 2015大庆模拟）正方形 ，按 如图所示的方式放置点 和点 分别在直线 y=x+1和 第 2015个正方形22014 【分析】 根据直线解析式先求出 ，再求出第一个正方形的边长为 2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第 2015个正方形的边长 【解答】 解： 直线 y=x+1，当 x=0时， y=1，当 y=0时， x= 1， ， ， 5， 5， 1， =21， 同理得： =22， ， 第 2015个正方形 22014 故答案为： 22014 【点评】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键 试题、 （ 2015西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 的 正方形，顶点 A， x， C，连接 ，则点 的坐标分别为 （ 2， 4 2 ）、（ ） 【分析】 首先根据点 B： y=及 C=2，求出点 后设点 2， a），确定出 在的直线的解析式，再根据点 P 上，求出 ，即可求出点 【解答】 解： 点 B： y=C=2， 点 ， ）， 设 2， a）， 点 0， 2） 在的直线的解析式是： y=， 则 k=（ a 2） （ 2 0） =1， 在的直线的解析式是： y=（ 1） x+2， 点 Q（ ， ）在 y=（ 1） x+2上， （ 1） +2= 则 a=4 2 ， 点 2， 4 2 ）， 点 的坐标分别为（ 2， 4 2 ）、（ ） 故答案为：（ 2， 4 2 ）、（ ） 【点评】 （ 1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 两条对角线将正方形 分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴（ 2）此题还考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数 y=kx+b，（ k0，且 k， 图象是一条直线它与 ， 0）；与0， b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b （ 3）此题还考查了待定系数法求一次函数解析式的方法，要熟练掌握 试题、 （ 2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形 2如图所示的方式放置，其中点 4、 知正方形 ， 0， 正方形 ） A（ ） 2014 B（ ） 2015 C（ ） 2015 D（ ） 2014 【分析】 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案 【解答】 方法一： 解：如图所示： 正方形 ， 0， 23 0， 1 ，则 ） 1， 同理可得： =（ ） 2， 故正方形 ） n 1 则正方形 ） 2014 故选： D 方法二： 正方形 ， 0， 2， 0， ， 同理： = ， q= ， 正方形 1 【点评】 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键 试题、 （ 2014武汉模拟）如图，正方形 、 点 x 0）上，顶点 x 0）上，则正方形 面积为 6 【分析】 过点 E ，作 ，过点 F ，作 得四边形 后求出 0，再根据正方形的性质可得 C， 0，然后根据同角的余角相等求出 用 “角角边 ”证 明 据全等三角形的面积相等可得 S 理可得 S 而得到正方形 S 矩形 矩形 根据反比例函数系数 【解答】 解：如图，过点 E ，作 ，过点 F ，作， 则四边形 0， 在正方形 C， 0， 0， 在 ， S 同理可得 S 正方形 S 矩形 矩形 点 y= 上，点 y= 上， 正方形 4+2=6 故答案为： 6 【点评】 本题考查了正方形的性质，反比例函数系数 辅助线构造出全等三角形并把正方形的面积转化为两个矩形的面积的和是解题的关键 三、综合运用 试题、 （ 2011秋鄞州区期末）如图，正方形 1、 y= （ x 0）的图象上，顶点 在其右侧作正方形 2点 函数 y= （ x 0）的图象上，顶点 点 ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ，） D（ ， ） 【分析】 作 ， ， ， ，设 a， ），则a， ，易得 1C=a，所以1C= a，则 ， a），然后把 y= ，得到方程求出 a，得到 b， ），易得 3F=，通过 D+ =b，这样得到关于 方程求出 b，得到 【解答】 解：作 ， ， ， ，如图所示： 设 a， ），则 a， ， 四边形 0， 0， 0， 0， 在 ， 同理： 1C=a， 1C= a， OD=a+ a= ， ， a）， 把 y= （ x 0）得：（ a） =2， 解得： a= 1（舍去）或 a=1， 2， 1）， 设 b， ）， 又 四边形 同上： 3F= D+ ， 2+ =b， 解得： b=1 （舍去）， b=1+ ， = = 1， 点 （ +1， 1） 故选： A 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法 试题、 （ 2014宜兴市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中， A（ 1， 0）， B（ 0， 3），以 y= （ k0）上，将正方形沿 ） A 2 B 3 C D 【分析】 作 ，交双曲线于点 G作 ，易证 得 A、 据全等三角形的性质可以求得 C、 而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得 【解答】 解：作 ，交双曲线于点 G作 A（ 1， 0）， B（ 0， 3）， ， 0， 0， 又 直角 0， 在 ， 同理， B=， A=， 故 4， 1）， 3， 4）代入 y= 得： k=4，则函数的解析式是： y= ， 则 ，把 y=4代入 y=得： x=1即 1， 4）， 故选 A 【点评】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得 C、 目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高 试题、 （ 2013海安县校级模拟 ）正方形 形 们的边平行于 中，点 A， C， 3， 3），正方形 边长为 1若矩形 周长为 10，面积为 6，则点 （ 7， 5），（ 8， 5） 【分析】 由 3， 3），正方形 得出直线 求出 矩形 a，则长为 5 a，再根 据面积为 6即可得出 点 的坐标为（ e， e），由矩形的边长可用 根据 可得出结论 【解答】 解： 3， 3）， 直线 y=x， 正方形 ， C（ 4， 2）， 设直线 y=k0）， 2=4k， 解得 k= ， 直线 y= x； 设矩形 a，则长为 5 a， 矩形 ， a（ 5 a） =6， 解得： a=2或 a=3， 当 a=2即 时， 2=3， 点 点 e， e）， F（ e， e 2）， G（ e+3， e 2）， 点 e 2= （ e+3）， 解得： e=7， F（ 7， 5）； 当 a=3即 时， 3=2， 点 点 e， e）， F（ e， e 3）， G（ e+2， e 3）， 点 e 3= （ e+2）， 解得： e=8， F（ 8， 5） 故答案为：（ 7， 5），（ 8， 5） 【点评】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、一次函数解析式的求法；根据题意得出直线 解答时要注意进行分类讨论 试题、 （ 2015春淮阴区期末）已 知边长为 4的正方形 点 反比例函数图象过顶点 C，动点 个单位速度从点 B 方向运动，动点 点出发沿正方形的边 点 相遇时停止运动，设点 t （ 1）求出该反比例函数解析式； （ 2）连接 以点 点 3）用含 、 P、 s，并指出相应 【解答】 解：（ 1） 正方形 ， 4， 4）， 设反比例解析式为 y= 将 k=16，则反比例解析式为 y= ； （ 2分） （ 2）当 C 上时，如图所示： 此时 Q，即 t=4 4t， 解得 t= ， 则 t= ，