向量在空间几何中的应用分析

向量在空间几何中的应用分析向量在空间几何中的应用分析 在旧教材中 立体几何学生学习完后 学生虽然对空间图形的有所认知 学生也能够 画出立体的图形 但是对于立体几何的证明题却出现了不知道如何着手证明的问题 特别 是线线垂直 线面垂直 点到面的距离 线线 线面所成角 面面所成角等这些问题 首 先要作出它们的辅助线 而这也是学生最薄弱的一点 作为新课程改革 高中数学教材的一个显著变化就是 向量 的引入 其目的也很明 确 为空间图形提供新的研究手段 即充分体现它们的工具性 但这种 工具性 只有在 深刻理解的基础上才能用好 特别是在空间问题中的 三大角度 和 两大基本距离 用 向量法解答有着奇妙无穷的用途 而且不需要作辅助线 把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决 如何取向量或建 立空间坐标系 找到所论证的平行垂直等关系 所求的角和距离用向量怎样来表达是问题 的关键 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题 一是位置关系 二是距离问题 这 里比较多的主要是用向量证明 及计算 而如何用向量证明 计算距离 线面角及面面角 等问题 可以通过例题分析 典型高考例题对比分析 例 1 2011 四川理 18 本小题满分 12 分 已知正方体ABCD A B C D 的棱长为 1 点M是棱AA 的中点 点O是对角线BD 的中点 求证 OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 求二面角M BC B 的大小 求三棱锥M OBC的体积 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础知识 并考查空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解法一 1 连结AC 取AC中点K 则K为BD的中点 连结OK 因为M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以AM 1 2 DDOK 所以MO AK由AA AK 得MO AA 因为AK BD AK BB 所以AK 平面BDD B 所以AK BD 所以MO BD 又因为OM是异面直线AA 和BD 都相交故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 2 取BB 中点N 连结MN 则MN 平面BCC B 过点N作NH BC 于H 连结MH 则由三垂线定理得BC MH 从而 MHN为二面角M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 A 在Rt MNH中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角M BC B 的大小为arctan22 D AB C D M O A B C 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC和 OA D 都在平面BCD A 内 点O到平面MA D 距离h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 解法二 以点D为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 A 1 0 1 C 0 1 1 D 0 0 1 1 因为点M是棱AA 的中点 点O是BD 的中点 所以M 1 0 1 2 O 1 2 1 2 1 2 11 0 22 OM AA 0 0 1 BD 1 1 1 OM AA A 0 11 22 OM BD A 0 0 所以OM AA OM BD 又因为OM与异面直线AA 和BD 都相交 故OM为异面直线AA 和BD 的公垂线 2 设平面BMC 的一个法向量为 1 n x y z BM 0 1 1 2 BC 1 0 1 1 1 0 0 n BM n BC A A 即 1 0 2 0 yz xz 取z 2 则x 2 y 1 从而 1 n 2 1 2 取平面BC B 的一个法向量为 2 n 0 1 0 cos 12 12 12 11 3 9 1 n n n n nn A AA 由图可知 二面角M BC B 的平面角为锐角 故二面角M BC B 的大小为arccos 1 3 3 易知 S OBC 1 4 S BCD A 12 12 44 AA 设平面OBC的一个法向量为 3 n x1 y1 z1 BD 1 1 1 BC 1 0 0 3 1 0 0 n BD n BC A A 即 111 1 0 0 xyz x 取z1 1 得y1 1 从而 3 n 0 1 1 点M到平面OBC的距离d 3 1 2 2 4 2 BM n A VM OBC 11221 334424 OBC Sd AAA 点评 方法 1 完全用的是几何知识来解答 第一问中要平移 OM 与AA 和BD 同时垂直 但是这样平移对于学生来说是难点 如果不平移 那么要证明 OM 与AA 和BD 分别垂直 往往在一个题目中不能直接证明两条直线垂直 通常是证明其中一条直线与另外一条直线 所在片面垂直 那么找出这个片面就成为难点了 第二问中先要作辅助线 找出二面角 对于一般的学生也不容易 方法 2 运用向量方法求二面角 可以免去作辅助线 构造三角形的繁琐 把用向量法解空 间几何的方法体现得淋漓尽致 充分体现了向量法的简便灵活 使复杂的几何问题具体数 据化了 完善空间几何的解题方法 例 2 2011 江西理 20 本小题满分 12 分 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平 面 BCD AB 平面 BCD 2 3AB 1 求点 A 到平面 MBC 的距离 2 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 解 取CD中点O 连OB OM 则OB CD OM CD 又平 面MCD 平面BCD 则MO 平面BCD 以O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立 空间直角坐标系如图 OB OM 3 则各点坐标分别为O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 3 B 0 3 0 A 0 3 23 1 设 nx y z 是平面 MBC 的法向量 则BC 1 3 0 0 3 3 BM 由nBC 得30 xy 由nBM 得 330yz 取 3 1 1 0 0 2 3 nBA 则距离 2 15 5 BA n d n 2 1 0 3 CM 1 3 2 3 CA y x M D C B O A z 设平面ACM的法向量为 1 nx y z 由 1 1 nCM nCA 得 30 32 30 xz xyz 解得 3xz yz 取 1 3 1 1 n 又平面BCD的法向量为 0 0 1 n 则 1 1 1 1 cos 5 n n n n nn 设所求二面角为 则 2 12 5 sin1 55 点评 向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见 此类方法的要点在于 建立恰当的坐标系 便于计算 位置关系明确 以计算