高三数学 第一篇 第五节课时精练 理 北师大版

用心 爱心 专心 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 1 设 a lg2 lg5 b ex x 0 则 a 与 b 大小关系为 A a b B a b C a b D a b 解析 a lg2 lg5 lg10 1 而 b ex e0 1 故 a b 答案 A 2 设 x y z 0 a x b y c z 则 a b c 三数 1 y 1 z 1 x A 至少有一个不大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不小于 2 D 都大于 2 解析 a b c x y z 6 1 y 1 z 1 x 因此 a b c 至少有一个不小于 2 答案 C 3 用分析法证明 欲使 A B 只需 C D 这里 是 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要 条件 答案 B 4 设 a 0 b 0 且 a b 4 则有 A B 2 1 ab 1 2ab C 1 D 1 a 1 b 1 a b 1 4 解析 1 1 a 1 b a b ab a b f a b 2 2 4 a b 4 4 答案 C 5 2009 年邯郸模拟 设 a b 是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其中能推出 a b 中至少有一个大于 1 的条件是 A 2 3 B 1 2 3 C 3 D 3 4 5 解析 若 a b 则 a b 1 1 2 2 3 但 a 1 b 1 故 1 推不出 若 a b 1 则 a b 2 故 2 推不出 若 a 2 b 3 则 a2 b2 2 故 4 推不出 若 a 2 b 3 则 ab 1 故 5 推不出 对于 3 即 a b 2 则 a b 中至少有一个大于 1 反证法 假设 a 1 且 b 1 则 a b 2 与 a b 2 矛盾 因此假设不成立 a b 中至少有一个大于 1 用心 爱心 专心 答案 C 二 填空题 6 设 f x x a x b x c a b c 是不相等的常数 则 a f a b f b c f c 解析 f x x a x b x c x a x b x c f a a b a c 同理可得 f b b a b c f c c a c b a f a b f b c f c a a b a c b b a b c c c a c b a b c b a c c a b a b a c b c 0 ab ac ba bc ac bc a b a c b c 答案 0 7 2009 年德州模拟 凸函数的性质定理为 如果函数 f x 在区间 D 上是凸函数 则对于 区间 D 内的任意 x1 x2 xn 有 f 已知函数 f x1 f x2 f xn n x1 x2 xn n y sinx 在区间 0 上是凸函数 则在 ABC 中 sinA sinB sinC 的最大值为 解析 f x sinx 在区间 0 上是凸函数 且 A B C 0 f f f A f B f C 3 A B C 3 3 即 sinA sinB sinC 3sin 3 3 3 2 所以 sinA sinB sinC 的最大值为 3 3 2 答案 3 3 2 8 设 x y z 是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若 x z 且 y z 则 x y 为真命题的是 填所有正确条件的代号 x 为直线 y z 为平面 x y z 为平面 x y 为直线 z 为平面 x y 为平 面 z 为直线 x y z 为直线 解析 中 x 平面 z 平面 y 平面 z x 平面 y 或 x 平面 y 又 x 平面 y 故 x y 成立 中若 x y z 均为平面 则 x 可与 y 相交 故 不成立 x z y z x y 为不同直线 故 x y 成立 z x z y z 为直线 x y 为平面可得 x y 成立 x y z 均为直线可异面垂直 故 不成立 答案 三 解答题 9 设 a b c 均为奇数 求证 ax2 bx c 0 无整数根 证明 假设方程有整数根 x x0 用心 爱心 专心 ax02 bx0 c 0 c ax02 bx0 若 x0是偶数 则 ax02 bx0是偶数 ax02 bx0是偶数 从而 c 是偶数 与题设矛盾 若 x0是奇数 则 ax02 bx0是奇数 ax02 bx0是偶数 从而 c 是偶数 与题设矛盾 综上所述 方程 ax2 bx c 0 没有整数根 10 2009 年黄冈模拟 1 设 x 是正实数 求证 x 1 x2 1 x3 1 8x3 2 若 x R 不等式 x 1 x2 1 x3 1 8x3是否仍然成立 如果成立 请给出证明 如果不成立 请举出一个使它不成立的 x 的值 解析 1 x 是正实数 由均值不等式知 x 1 2 1 x2 2x x3 1 2 xx3 故 x 1 x2 1 x3 1 2 2x 2 8x3 当且仅当 x 1 时等号成立 xx3 2 若 x R 不等式 x 1 x2 1 x3 1 8x3仍然成