高中数学 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示教案2 新人教版必修4

用心 爱心 专心1 2 3 12 3 1 平面向量基本定理平面向量基本定理 一 学习目标 11 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 12 会用坐标表示平面向量的加 减与数乘运算 13 会用坐标表示平面向量共线的条件 进而解决一些相关问题 14 了解平面向量的基本定理及其意义 22 通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程 培养学生观察 类比联想等发现规律 的一般方法 培养学生提出问题 分析问题和解决问题的能力 23 使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养 激发学生的学习兴趣和钻研精神 二 重点难点 1 重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2 难点是平面向量的基本定理及其意义 三 教学过程 教学内容师生互动设计意图 复 习 引 入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立与实 数的一一对应 从而给出了轴上向量的坐标表示 从而对平面上的任一方向的向量 都可以用相应 的轴给出坐标表示 那么能否仅仅使用两条互相 垂直的轴 数量化表示平面上所有向量呢 这种表 示唯一吗 让学生回忆轴上 向量及其坐标表 示相关的概念及 思想方法 从一维向二维 从已知到未知 引入新课题 新 课 探 究 借助已经学过的平面直角坐标系 1 分别确认x轴和y轴上的单位向量e e1 1 e e2 2那 么这两条轴上的向量都可以用相应的坐标表示 不同轴上的向量坐标意义不同 例如横轴 纵轴 上的向量坐标 3 分别表示 3 e e1 1 3e e2 2 2 与轴不平行的平面向量 可以分解为两个轴上 的向量之和 从而表示成两个基向量的线性组合 即 a a xe e1 1 ye e2 2 3 取平面上两条互相垂直的单位向量e e1 1 e e2 2 那么对该平面内的任意向量a a 都存在唯一的一 对实数x y 使a a xe e1 1 ye e2 2 例如 课本 103 页练习A第一题 证明 课本 96 页 97 页 4 这里 e e1 1 e e2 2 叫做这一平面内所有向量的一 组正交基底 xe e1 1 ye e2 2叫做a a关于基底 e e1 1 e e2 2 的分解式 x y 叫做a a关于基底 e e1 1 e e2 2 下 的坐标 即a a x y x y 是向量a a在横 纵 轴上的正投影向量的在 横纵 轴上的坐标 显然 0 0 0 0 e e1 1 1 0 e e2 2 0 1 5 平面直角坐标系中 有序实数对 x y 就有 了双重意义 既表示点 x y 又可以表示向量 师生共同探究 对平面上向量的 正交分解的存在 唯一性 有所感受 确认坐标表示向 量的可行性 及其 具体表示方法 这里给出了课本 97 页的两个概念 学生知道这些名 词就可以了 向量的直角坐标 表示及其运算性 感受正交分解 产生的合理性 使学生容易接 受平面向量的 坐标表示 使 部分学生感受 数学证明的严 谨性和必要性 用心 爱心 专心2 x y 叙述中应在前面注明 6 容易证明 两个向量和与差的坐标等于两个 向量坐标的和与差 数乘向量的坐标等于该数与 向量相应坐标的乘积 即 如果 a a x1 y1 b b x2 y2 那么 a a b b x1 x2 y1 y2 a a x1 y1 a a b b的充要条件是x1y2 x2y1 需要证明 7 介绍 任意给定平面中两个不平行的向量 e e1 1 e e2 2 那么平面中所有向量a a都可以用这两个 向量表示 即a a xe e1 1 ye e2 2 这里x y是唯一确定 的一对有序实数 e e1 1 e e2 2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底 xe e1 1 ye e2 2叫做a a关于基底 e e1 1 e e2 2 的分解式 例如 课本 96 页图 2 34 证明同 3 质 学生应该容 易接受 甚至给 出证明 一些学 生可能不理解证 明的必要性和合 法性 不易深究 一般学生以了解 为主 重在以具 体问题为载体 落实基本定理的 思想方法 消点 法 例 11 课本 100 页例 1 在直角坐标系xOy中 向量a a b b c c的方向 和长度如图所示 分别求它们的坐标 复习巩固初中 特殊角三角函 数 学会用坐 标表示向量 为数量积作准 备 例 12 课本 102 页例 5 含 101 页例 2 4 已知 ABCD的三个顶点 A 2 1 B 0 3 C 3 4 求 1 向量BA的坐标 方向和长度 2 向量BD的坐标 顶点D的坐标 总结 一个向量的坐标等于向量终点的坐标减 去向量起点的坐标 即 AB AO OB OB OA x1 x2 y1 y2 可以进行多种 解法 以达到 复习巩固向量 的坐标表示 并用于向量的 加减及数乘运 算 使学生加 深理解 深 化 理 解 例 13 课本 102 页例 6 含 101 页例 3 已知A 2 1 B 4 4 求线段AB的中点M和三 等分点P Q的坐标 注 OM OA AM OA 0 5AB 0 5 OA OB 这 里的向量分解变形是重点也是难点 注 例题到此 应进行学生独立练习巩固 所有例题 以教师为主导 关注优秀生 是否能 从想得通 到写得通 再到讲得通 适当的给他们机 会锻炼展示 关注一般同学 是否能 从想不通 到想得通 再到写得通 给他们充分时间 来思考学习 教师协调 全班讨论 这里 初中学 生已经接触过 中点坐标公式 学生基础好 可以另用向量 的方法给出证 明 y x30 30 45 用心 爱心 专心3 例 21 课本 104 页例 1 已知 向量AB 2 5 向量a a 1 y 若 向量AB a a 求a a的纵坐标y 例 22 课本 104 页例 2 直角坐标系xOy内 已 知 A 2 3 B 0 1 C 2 5 求证 A B C三点共线 例 31 课本 97 页例 1 已知 ABCD的两条对角线相交于点M 试用基底 AB AD 表示向量MA MB MC MD 例 32 课本 97 页例 2 已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O 以 OA OB 为基底 写出向量OP的分解式 熟悉巩固向量 平行或共线的 坐标条件 通 过证明共线 感受向量法的 优势 这是基本定理 的例子 渗透 了消元法 消 点法 思想 练习量依据学 生具体情况而 定 课 堂 练 习 练习 1 课本 103 页练习A2 4 5 B1 2 3 4 练习 2 课本 105 页练习A1 2 3 B1 2 练习 3 课本 98 页练习A1 3 5 B1 3 4 对于部分习题 师生可以在充分 独立思考的基础 上 进行小组讨 论 对应学生的差 异性 同学们 在合作交流中 获得不同的发 展 归 纳 小 结 今天学会了 向量的坐标表示 坐标表示的向量的加减及数乘运算 向量平行的坐标条件 平面向量