【2年中考1年模拟备战2013】全国各地2011-2012年中考数学试卷及2012年中考模拟试卷分类汇编 阅读理解型问题

用心 爱心 专心1 20112011 年全国各地中考数学试卷分类汇编阅读理解型问题年全国各地中考数学试卷分类汇编阅读理解型问题 1 2011 江苏南京 28 11 分 问题情境 已知矩形的面积为 a a 为常数 a 0 当该矩形的长为多少时 它的周长最小 最小值 是多少 数学模型 设该矩形的长为 x 周长为 y 则 y 与 x 的函数关系式为2 0 a yxx x 探索研究 我们可以借鉴以前研究函数的经验 先探索函数 1 0 yxx x 的图象性质 填写下表 画出函数的图象 1 x y O 1 3 4 5 2 2354 第 28 题 1 1 观察图象 写出该函数两条不同类型的性质 在求二次函数 y ax2 bx c a 0 的最大 小 值时 除了通过观察图象 还 可以通过配方得到 请你通过配方求函数 1 yx x x 0 的最小值 解决问题 用上述方法解决 问题情境 中的问题 直接写出答案 答案 解 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 函数 1 yx x 0 x 的图象如图 x 1 4 1 3 1 2 1234 y 用心 爱心 专心2 本题答案不唯一 下列解法供参考 当01x 时 y随x增大而减小 当1x 时 y随x增大而增大 当1x 时函数 1 yx x 0 x 的最小值为 2 1 yx x 22 1 x x 22 111 22xxx xxx 2 1 2x x 当 1 x x 0 即1x 时 函数 1 yx x 0 x 的最小值为 2 当该矩形的长为a时 它的周长最小 最小值为4 a 2 2011 江苏南通 27 12 分 本小题满分 12 分 已知A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 1 E 4 2 五个点 抛物线y a x 1 2 k a 0 经过其中三个点 1 求证 C E两点不可能同时在抛物线y a x 1 2 k a 0 上 2 点A在抛物线y a x 1 2 k a 0 上吗 为什么 3 求a和k的 值 答案 1 证明 将C E两点的坐标代入y a x 1 2 k a 0 得 42 92 ak ak 解得a 0 这与条件a 0 不符 C E两点不可能同时在抛物线y a x 1 2 k a 0 上 2 法一 A C D三点共线 如下图 用心 爱心 专心3 A C D三点也不可能同时在抛物线y a x 1 2 k a 0 上 同时在抛物线上的三点有如下六种可能 A B C A B E A B D A D E B C D B D E 将 四种情况 都含A点 的三点坐标分别代入y a x 1 2 k a 0 解得 无解 无解 a 1 与条件不符 舍去 无解 所以A点不可能在抛物线y a x 1 2 k a 0 上 法二 抛物线y a x 1 2 k a 0 的顶点为 1 k 假设抛物线过A 1 0 则点A必为抛物线y a x 1 2 k a 0 的顶点 由 于抛物线的开口向上且必过五点A B C D E中的三点 所以必过x轴上方的另 外两点C E 这与 1 矛盾 所以A点不可能在抛物线y a x 1 2 k a 0 上 3 当抛物线经过 2 中 B C D三点时 则 1 42 ak ak 解得 1 2 a k 当抛物线经过 2 中 B D E三点时 同法可求 3 8 11 8 a k 1 2 a k 或 3 8 11 8 a k 3 2011 四川凉山州 28 12 分 如图 抛物线与x轴交于A 1 x 0 B 2 x 0 两点 且 12 xx 与y轴交于点 0 4C 其中 12 xx 是方程 2 4120 xx 的两个根 1 求抛物线的解析式 2 点M是线段AB上的一个动点 过点M作MN BC 交AC于点N 连接CM 当CMN 的面积最大时 求点M的坐标 3 点 4 Dk在 1 中抛物线上 点E为抛物线上一动点 在x轴上是否存在点F 用心 爱心 专心4 使以ADEF 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的点 F的坐标 若不存在 请说明理由 y x O B M N C A 28 题图 答案 1 2 4120 xx 1 2x 2 6x 2 0 A 6 0 B 又 抛物线过点A B C 故设抛物线的解析式为 2 6 ya xx 将点 C的坐标代入 求得 1 3 a 抛物线的解析式为 2 14 4 33 yxx 2 设点M的坐标为 m 0 过点N作NHx 轴于点H 如图 1 点A的坐标为 2 0 点B的坐标为 6 0 8AB 2AMm MNBCA MNABC NHAM COAB 2 48 NHm 2 2 m NH 11 22 CMNACMAMN SSSAM COAM NH AAA 2 121 2 4 3 224 m mmm 2 1 2 4 4 m 当2m 时 CMN S 有最大值 4 此时 点M的坐标为 2 0 3 点D 4 k 在抛物线 2 14 4 33 yxx 上 用心 爱心 专心5 当4x 时 4k 点D的坐标是 4 4 如图 2 当AF为平行四边形的边时 AFDE D 4 4 错误 链接无效 4DE 1 6 0 F 2 2 0 F 如图 3 当AF为平行四边形的对角线时 设 0 F n 则平行四边形的对称中心为 2 2 n 0 E 的坐标为 6n 4 把 E 6n 4 代入 2 14 4 33 yxx 得 2 16360nn 解得 82 7n 3 8 2 7 0 F 4 8 2 7 0 F y x O B M N C A 图 1 H y x O B 2 F E A 图 2 1 F D y x O B 3 F E A 图 3 E D 4 F E 用心 爱心 专心6 4 2011 江苏苏州 28 9 分 本题满分 9 分 如图 小慧同学吧一个正三角形纸片 即 OAB 放在直线 l1上 OA 边与直线 l1重合 然后将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针 方向旋转 120 此时点 O 运动到了点 O1处 点 B 运动到了点 B1处 小慧又将三角形纸片 AO1B1绕 B1点按顺时针方向旋转 120 点 A 运动到了点 A1处 点 O1运动到了点 O2处 即 顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2处 小慧还发现 三角形纸片在上述两次旋转过程中 顶点 O 运动所形成的图形是两段圆 弧 即弧 OO1和弧 O1O2 顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和 并且这两端圆弧 与直线 l1 围成的图形面积等于扇形 AOO1的面积 AO1B1的面积和扇形 B1O1O2的面积之和 小慧进行类比研究 如图 她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l2上 OA 边 与直线 l2重合 然后将正方形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90 此时点 O 运动到了 点 O1处 即点 B 处 点 C 运动到了点 C1处 点 B 运动到了点 B1处 小慧又将正方形纸 片 AO1C1B1绕 B1点按顺时针方向旋转 90 按上述方法经过若干次旋转后 她提出 了如下问题 问题 若正方形纸片 OABC 按上述方法经过 3 次旋转 求顶点 O 经过的路程 并求 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2围成图形的面积 若正方形 OABC 按上述方 法经过 5 次旋转 求顶点 O 经过的路程 问题 正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转 顶点 O 经过的路程是 2 22041 请你解答上述两个问题 答案 解问题 如图 正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转 顶点 O 运动所形成的图形是三 段弧 即弧 OO1 弧 O1O2以及弧 O2O3 顶点 O 运动过程中经过的路程为 2 2 1 180 290 2 180 190 用心 爱心 专心7 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线 l2围成图形的面积为 11 2 1 2 360 2 90 2 360 190 22 1 正方形 OABC 经过 5 次旋转 顶点 O 经过的路程为 2 2 2 3 180 290 3 180 190 问题 方形 OABC 经过 4 次旋转 顶点 O 经过的路程为 2 2 1 180 290 2 180 190 2 22041 20 2 2 1 2 1 正方形纸片 OABC 经过了 81 次旋转 2012 年全国各地中考数学试卷分类汇编 阅读理解型问题 21 2012 四川达州 21 8 分 8 分 问题背景 若矩形的周长为 1 则可求出该矩形面积的最大值 我们可以设矩形的一边长为x 面 积为s 则s与x的函数关系式为 xxxs 2 1 2 0 利用函数的图象或通过配方均 可求得该函数的最大值 提出新问题 若矩形的面积为 1 则该矩形的周长有无最大值或最小值 若有 最大 小 值是多 少 分析问题 若设该矩形的一边长为x 周长为y 则y与x的函数关系式为 1 2 x xy x 0 问题就转化为研究该函数的最大 小 值了 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验 探索函数 1 2 x xy x 0 的最大 小 值 1 实践 操作 填 用心 爱心 专心8 写下表 并用描点法 画出函数 1 2 x xy x 0 的图象 2 观察猜想 观察该函数的图象 猜想当 x 时 函数 1 2 x xy x 0 有最 值 填 大 或 小 是 3 推理论证 问题背景中提到 通过配方可求二次函数xxxs 2 1 2 0 的最 大值 请你尝试通过配方求函数 1 2 x xy x 0 的最大 小 值 以证明你的 猜想 提示 当x 0 时 2 xx 解析 对于 1 按照画函数图象的列表 描点 连线三步骤进行即可 对于 2 由结 合图表可知有最小值为 4 对于 3 可按照提示 用配方法来求出 答案 1 1 分 3 分 2 1 小 4 5 分 3 证明 2 2 1 2 x xy 用心 爱心 专心9 2 1 2 2 2 2 x x 4 1 2 2 x x 7 分 当0 1 x x时 y的最小值是 4 即x 1 时 y的最小值是 4 8 分 点评 本题以阅读理解型的形式 考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值 的观察力 考察了学生的模仿能力 配方思想和类比的能力 28 2012 江苏省淮安市 28 12 分 阅读理解 如题 28 1 图 ABC中 沿 BAC的平分线AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 B1A1C的平分线A1B2折叠 剪掉重叠部分 将余下部分沿 BnAnC的平分线AnBn 1折叠 点Bn与点C重合 无论折叠多少次 只要最后一次恰好重合 我们就称 BAC是 ABC的 好角 小丽展示了确定 BAC是 ABC的好角的两种情形 情形一 如题 28 2 图 沿等腰三角形ABC顶角 BAC的平分线AB1折叠 点B与点C 重合 情形二 如题 28 3 图 沿 ABC的 BAC的平分线AB1折叠 剪掉重叠部分 将余下 的部分沿 B1A1C的平分线 A1B2折叠 此时点B1与点C重合 探究发现 1 ABC中 B 2 C 经过两次折叠 BAC是不是 ABC的好角 填 是 或 不是 2 小丽经过三次折叠发现了 BAC是 ABC的好角 请探究 B与 C 不妨设 B C 之间的等量关系 根据以上内容猜想 若经过n次折叠 BAC是 ABC的好角 则 B与 C 不妨设 B C 之问的等量 关系为 应用提升 3 小丽找到一个三角形 三个角分别为 15 60 l05 发现 60 和 l05 的两个角 都是此三角形的好角 用心 爱心 专心10 请你完成 如果一个三角形的最小角是 4 试求出三角形另外两个角的度数 使该 三角形的三个角均是此三角形的好角 解析 1 利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决 2 根据第 1 问的结论 继续探索 3 利用 好角 的定义和三角形内角和列出方程解之 具体过程见以下解 答 答案 解 1 由折叠的性质知 B AA1B1 因为 AA1B1 A1B1C C 而 B 2 C 所以 A1B1C C 就是说第二次折叠后 A1B1C与 C重合 因此 BAC是 ABC的好角 2 因为经过三次折叠 BAC是 ABC的好角 所以第三次折叠的 A2B2C C 如图 12 4 所示 B3B2 B1 A2 A1 C B A 图 12 4 因为 ABB1 AA1B1 AA1B1 A1B1C C 又 A1B1C A1A2B2 A1A2B2 A2B2C C 所以 ABB1 A1B1C C A2B2C C C 3 C 由上面的探索发现 若 BAC是 ABC的好角 折叠一次重合 有 B C 折叠二次 重合 有 B 2 C 折叠三次重合 有 B 3 C 由此可猜想若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC的好角 则 B n C 3 因为最小角是 4 是 ABC的好角 根据好角定义 则可设另两角分别为 4m 4mn 其中m n都是正整数 由题意 得 4m 4mn 4 180 所以m n 1 44 因为m n都是正整数 所以 m 与 n 1 是 44 的整数因子 因此有 m 1 n 1 44 m 2 n 1 22 m 4 n 1 11 m 11 n 1 4 m 22 n 1 2 所以 m 1 n 43 m 2 n 21 m 4 n 10 m 11 n 3 m 22 n 1 所以 4m 4 4mn 172 4m 8 4mn 168 4m 16 4mn 160 4m 44 4mn 132 4m 88 4mn 88 所以该三角形的另外两个角的度数分别为 4 172 8 168 16 160 44 132 88 88 点评 本题主要考查轴对称图形 等腰三角形 三角形形的内角和定理及因式分解等知 识点的理解和掌握 本题是阅读理解题 解决本题的关键是读懂题意 理清题目中数字和 字母的对应关系和运算规则 然后套用题目提供的对应关系解决问题 具有一定的区分 度 23 2012 湖北咸宁 23 10 分 如图 1 矩形MNPQ中 点E F G H分别在 NP PQ QM MN上 若4321 则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边 形 图 2 图 3 图 4 中 四边形ABCD为矩形 且4 AB 8 BC 用心 爱心 专心11 理解与作图 1 在图 2 图 3 中 点E F分别在BC CD边上 试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD的反射四边形EFGH 计算与猜想 2 求图 2 图 3 中反射四边形EFGH的周长 并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否 为定值 启发与证明 3 如图 4 为了证明上述猜想 小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M 试利用小华 同学给我们的启发证明 2 中的猜想 解析 1 根据网格结构 作出相等的角得到反射四边形 2 图 2 中 利用勾股定理求出 EF FG GH HE 的长度 然后可得周长 图 3 中利用勾 股定理求出 EF GH FG HE 的长度 然后求出周长 得知四边形 EFGH 的周长是定值 3 证法一 延长 GH 交 CB 的延长线于点 N 再利用 角边角 证明 Rt FCE Rt FCM 根据全等三角形对应边相等可得 EF MF EC MC 同理求出 NH EH NB EB 从而得到 MN 2BC 再证明 GM GN 过点 G 作 GK BC 于 K 根据等腰三角形三线合一的性质求出 MK 1 2 MN 8 再利用勾股定理求出 GM 的长度 然后可求出四边形 EFGH 的周长 证法二 利用 角边角 证明 Rt FCE Rt FCM 根据全等三角形对应边相等可得 EF MF EC MC 再根据角的关系推出 M HEB 根据同位角相等 两直线平行可得 HE GF 同理可证 GH EF 所以四边形 EFGH 是平行四边形 过点 G 作 GK BC 于 K 根据 边的关系推出 MK BC 再利用勾股定理列式求出 GM 的长度 然后可求出四边形 EFGH 的周 长 答案 1 作图如下 2 分 2 解 在图 2 中 522042 22 HEGHFGEF 四边形EFGH的周长为58 3 分 图 2 A B C D E F A BC D G H E F 1 2 3 4 M A B C D E F M N P QG H E F 1 2 3 4 图 1图 3 第 23 题 图 4 用心 爱心 专心12 在图 3 中 512 22 GHEF 534563 22 HEFG 四边形EFGH的周长为5853252 4 分 猜想 矩形ABCD的反射四边形的周长为定值 5 分 3 如图 4 证法一 延长GH交CB的延长线于点N 21 51 52 而FCFC Rt FCE Rt FCM MFEF MCEC 6 分 同理 EHNH EBNB 162 BCMN 7 分 190590 M 390 N NM GNGM 8 分 过点G作GK BC于K 则8 2 1 MNKM 9 分 5484 2222 KMGKGM 四边形EFGH的周长为582 GM 10 分 证法二 21 51 52 而FCFC Rt FCE Rt FCM MFEF MCEC 6 分 190590 M 490 HEB 而41 HEBM HE GF 同理 GH EF 四边形EFGH是平行四边形 HEFG 而41 Rt FDG Rt HBE BEDG 过点G作GK BC于K 则8 ECBECMGDCMKCKM 5484 2222 KMGKGM 四边形EFGH的周长为582 GM 点评 本题主要考查了应用与设计作图 全等三角形的判定与性质 勾股定理的应用 矩形的性质 读懂题意理解 反射四边形 EFGH 特征是解题的关键 25 2012 贵州黔西南州 25 14 分 问题 已知方程 x2 x 1 0 求一个一元二次方程 使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解 设所求方程的根为 y 则 y 2x 所以 x y 2 把 x 代入已知方程 得 2 1 0 y 2 y 2 y 2 化简 得 y2 2y 4 0 A BC D G H E F 1 2 3 4 M 图 4 NK 5 用心 爱心 专心13 故所求方程为 y2 2y 4 0 这种利用方程根的代换求新方程的方法 我们称为 换根法 请用阅读材料提供的 换 根法 求新方程 要求 把所求方程化成一般形式 1 已知方程 x2 x 2 0 求一个一元二次方程 使它的根分别是已知方程根的相反数 2 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有两个不等于零的实数根 求一个一 元二次方程 使它的根分别是已知方程根的倒数 解析 按照题目给出的范例 对于 1 的 根相反 用 y x 作替换 对于 2 的 根是倒数 用 y 作替换 并且注意有 不等于零的实数根 的限制 要进行讨 1 x 论 答案 1 设所求方程的根为 y 则 y x 所以 x y 2 分 把 x y 代入已知方程 x2 x 2 0 得 y 2 y 2 0 4 分 化简 得 y2 y 2 0 6 分 2 设所求方程的根为 y 则 y 所以 x 8 分 1 x 1 y 把 x 代如方程 ax2 bx c 0 得 1 y a 2 b c 0 10 分 1 y 1 y 去分母 得 a by cy2 0 12 分 若 c 0 有 ax2 bx 0 于是方程 ax2 bx c 0 有一个根为 0 不符合题意 c 0 故所求方程为 cy2 by a 0 c 0 14 分 点评 本题属于阅读理解题 读懂题意 理解题目讲述的方法的基础 在实际解题时 还要灵活运用题目提供的方法进行解题 实际上是数学中 转化 思想的运用 八 本大题 16 分 26 2012 贵州黔西南州 26 16 分 如图 11 在平面直角坐标系 xoy 中 已知抛物线经 过点 A 0 4 B 1 0 C 5 0 抛物线的对称轴l与 x 轴相交于点 M 1 求抛物线对应的函数解析式和对称轴 2 设点 P 为抛物线 x 5 上的一点 若以 A O M P 为顶点的四边形的四条边的长度为 四个连续的正整数 请你直接写出点 P 的坐标 3 连接 AC 探索 在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N 使 NAC 的面积最大 若 存在 请你求出 N 的坐标 若不存在 请说明理由 用心 爱心 专心14 解析 1 已知抛物线上三点 用 待定系数法 确定解析式 2 四边形 AOMP 中 AO 4 OM 3 过 A 作 x 轴的平行线交抛物线于 P 点 这个 P 点符合要求 四条边的长度为 四个连续的正整数 3 使 NAC 的面积最大 AC 确定 需要 N 点离 AC 的距离最大 一 种方法可以作平行于 AC 的直线 计算这条直线与抛物线只有一个交点时 这个交点即为 N 另一种方法 过 AC 上任意一点作 y 轴的平行线交抛物线于 N 点 这样 NAC 被分成两 个三角形 建立函数解析式求最大值 答案 1 根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为 y a x 1 x 5 1 分 把点 A 0 4 代入上式 得 a 2 分 4 5 y x 1 x 5 x2 x 4 x 3 2 3 分 4 5 4 5 24 5 4 5 16 5 抛物线的对称轴是 x 3 4 分 2 点 P 的坐标为 6 4 8 分 3 在直线 AC 下方的抛物线上存在点 N 使 NAC 的面积最大 由题意可设点 N 的坐标为 t t2 t 4 0 t 5 9 分 4 5 24 5 如图 过点 N 作 NG y 轴交 AC 于点 G 连接 AN CN 由点 A 0 4 和点 C 5 0 可求出直 线 AC 的解析式为 y x 4 10 分 4 5 用心 爱心 专心15 把 x t 代入 y x 4 得 y t 4 4 5 4 5 则 G t t 4 11 分 4 5 此时 NG t 4 t2 t 4 t2 t 12 分 4 5 4 5 24 5 4 5 20 5 S NAC NG OC t2 t 5 1 2 1 2 4 5 20 5 2t2 10t 2 t 2 13 分 5 2 25 2 又 0 t 5 当 t 时 CAN 的面积最大 最大值为 14 分 5 2 25 2 t 时 t2 t 4 3 15 分 5 2 4 5 24 5 点 N 的坐标为 3 16 分 5 2 点评 本题是一道二次函数 一次函数 三角形的综合题 其中第 3 问也是一道具有难 度的 存在性 探究问题 本题主要考查二次函数 一次函数的图象与性质的应用 专项十 阅读理解题 19 2012 山东省临沂市 19 3 分 读一读 式子 1 2 3 4 100 表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和 由于式子比较长 书写不方便 为了简便起见 我们将其表示为 100 1n n 这里 是求和符号 通过以上材料的阅读 计算 2012 1n 1 n 1 n 解析 式子 1 2 3 4 100 的结果是 2 1100100 即 100 1n n 2 1100100 又 2 1 1 21 1 3 1 2 1 32 1 1 nn 1 32 1 21 1 2 1 1 3 1 2 1 1n 1 n 1 1 1n 1 2012 1n 1 n 1 n 20132012 1 32 1 21 1 2 1 1 3 1 2 1 2013 1 2012 1 1 2013 1 2013 2012 答案 2013 2012 点评 本题是一道找规律的题目 要求学生的通过观察 分析 归纳并发现其中的规律 并应用发现的规律解决问题 此题重点除首位两项外 其余各项相互抵消的规律 23 2012浙江省嘉兴市 23 12分 将 ABC绕点A按逆时针方向旋转 度 并使各边长变 用心 爱心 专心16 为原来的n倍 得 AB C 即如图 BAB ABB CAC n ABBCAC 我们将这 种变换记为 n 1 如图 对 ABC作变换 60 3 得 AB C 则 AB C S ABC S 直线BC 与 直线B C 所夹的锐角为 度 2 如图 ABC中 BAC 30 ACB 90 对 ABC作变换 n 得 AB C 使 点B C C 在同一直线上 且四边形ABB C 为矩形 求 和n的值 3 如图 ABC中 AB AC BAC 36 BC 1 对 ABC作变换 n 得 AB C 使点 B C B 在同一直线上 且四边形 ABB C 为平行四边形 求 和 n 的值 23 23 23 B C B C B C A B A B A B C C C 解析 1 由题意知 为旋转角 n为位似比 由变换 60 3 和相似三角形的面积 比等于相似比的平方 得 AB C S ABC S 3 直线BC与直线B C 所夹的锐角为60 2 由已知条件得 CAC BAC BAC 60 由直角三角形中 30 锐角所对 的直角边等于斜边的一半得 n AB AB 2 3 由已知条件得 CAC ACB 72 再由两角对应相等 证得 ABC B BA 由相似三角形的性质求得 n B C BC 1 5 2 答案 1 3 60 2 四边形 ABB C 是矩形 BAC 90 CAC BAC BAC 90 30 60 在Rt ABB 中 ABB 90 BAB 60 n AB AB 2 3 四边形 ABB C 是平行四边形 AC BB 又 BAC 36 CAC ACB 72 C AB ABB BAC 36 而 B B ABC B BA AB2 CB B B CB BC CB 而 CB AC AB B C BC 1 AB2 1 1 AB AB 1 5 2 AB 0 用心 爱心 专心17 n B C BC 1 5 2 点评 本题是一道阅读理解题 命题者首先定义了一种变换 要求考生根据这种定义解决 相关的问题 读懂定义是解题的关键所在 本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方 黄金比等 27 2011 江苏省无锡市 27 8 对于平面直角坐标系中的任意两点 111222 P P x yx y 我们把 1212 yx xy叫做 12 PP 两点间的直角距离 记作 12 d P P 1 已知 O 为坐标原点 动点 P x y满足 O dP 1 请写出xy与之间满足的关系式 并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点 P 所组成的图形 2 设 000 P x y是一定点 Q x y是直线 y ax b上的动点 我们把 0 PQ d 的最小 值叫做 0 P到直线 y ax b的直角距离 试求点 M 2 1 到直线 2y x的 直角距离 解析 本题是信息给予题 题目中已经把相关概念进行阐述 按照给出 的定义题就可以 1 已知 O 0 0 和 P x y利用定义可知 O dP 0 0 1xyxy 2 由 0 PQ d 00 x xyax b 则 MQ 2 1 2 1 2 2 1dxyxxxx 利用绝对值的几何意义可以求出 点 M 2 1 到直线 2y x的直角距离为 3 答案 解 1 有题意 得 1xy 所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示 2 MQ 2 1 2 1 2 2 1dxyxxxx x 可取一切实数 2 1xx表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和 1 所对应的点的距 离之和 其最小值为 3 用心 爱心 专心18 M 2 1 到直线 2y x的直角距离为 3 点评 本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力 这是中考的发展 的大趋势 27 2012 江苏盐城 27 12 分 知识迁移 当 a 0 且 x 0 时 因为 a x x 2 0 所以 x 2a a x 0 从而 x a x 2a 当 x 2a时取等号 记函数 y x a x a 0 x 0 由上述结论可知 当 x 2a时 该函数 有最小值为 2a 直接应用 已知函数 y1 x x 0 与函数 y2 1 x x 0 则当 x 时 y1 y2取得最小值为 变形应用 已知函数 y1 x 1 x 1 与函数 y2 x 1 2 4 x 1 求 2 1 y y 的最小值 并指出取得该最 小值时相应的 x 的值 实际应用 已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分 一是固定费用 共 360 元 二是燃油费 每千米 1 6 元 三是折旧费 它与路程的平方成正比 比例系数为 0 001 设汽车一次运 输路程为 x 千米 求当 x 为多少时 该汽车平均每千米的运输成本最低 最低是多少元 解析 本题考查了函数等知识 掌握和理解阅读材料是解题的关键 1 通 过阅读发现 x a x 2a 当 x 2a时取等号 然后运用结论解决问题 2 构造 x a x 2a 运用结论解决 3 解决实际问题 答案 直接应用 1 2 变形应用 2 1 y y 2 x1 44 x1 x1x1 4 所以 2 1 y y 的最小值是 4 此时 x 1 4 x1 x 1 2 4 x 1 实际应用 设该汽车平均每千米的运输成本为 y 则 y 360 1 6x 0 01x2 当 x 8 时 y 有最小值 最 低运输成本是 424 元 点评 数学的建模思想是一种重要的思想 能体现学生综合应用能力 具有 一定的挑战性 特别是运用函数来确定最大 小 值时 要运用配方法得到函数的最小值 24 2012 四川省资阳市 24 9 分 如图 在 ABC中 AB AC A 30 以AB为直 用心 爱心 专心19 径的 O交B 于点D 交AC于点E 连结DE 过点B作BP平行于DE 交 O于点P 连 结EP CP OP 1 3 分 BD DC吗 说明理由 2 3 分 求 BOP的度数 3 3 分 求证 CP是 O的切线 如果你解答这个问题有困难 可以参考如下信息 为了解答这个问题 小明和小强做了认真的探究 然后分别用不同的思路完成了这个 题目 在进行小组交流的时候 小明说 设OP交AC于点G 证 AOG CPG 小强说 过点C作CH AB于点H 证四边形CHOP是矩形 第 24 题图 A B C D E P O 解析 1 连接 AD 由 AB是直径得 ADB 90 及等腰三角形的三线合一性质得出 BD DC 2 由 BAD CAD得弧BD 弧DE 得BD DE 得出 DEC DCE 75 所以 EDC 30 BP DE PBD EDC 300 OBP OPB 75 30 45 BOP 90 3 要证CP是 O的切线即证 OP CP 在Rt AOG中 OAG 30 1 2 OG AG 又 1 2 OPOP ACAB OPOG ACAG OGGP AGGC 又 AGO CGP AOG CPG得 GPC AOG 90 得证结论成立 答案 1 BD DC 1 分 连结AD AB是直径 ADB 90 2 分 AB AC BD DC 3 分 G O P E D C B A 2 AD是等腰三角形ABC底边上的中线 BAD CAD 弧BD与弧DE是等弧 BD DE 4 分 BD DE DC DEC DCE ABC中 AB AC A 30 DCE ABC 1 2 180 30 75 DEC 75 EDC 180 75 75 30 BP DE PBC EDC 30 5 分 ABP ABC PBC 75 30 45 OB OP OBP OPB 45 BOP 90 6 分 用心 爱心 专心20 3 证法一 设OP交AC于点G 则 AOG BOP 90 H A B C D E P O 在Rt AOG中 OAG 30 1 2 OG AG 7 分 又 1 2 OPOP ACAB OPOG ACAG OGGP AGGC 又 AGO CGP AOG CPG 8 分 GPC AOG 90 CP是 O的切线 9 分 证法二 过点C作CH AB于点H 则 BOP BHC 90 PO CH 在Rt AHC中 HAC 30 1 2 CHAC 7 分 又 11 22 POABAC PO CH 四边形CHOP是平行四边形 四边形CHOP是矩形 8 分 OPC 90 CP是 O的切线 9 分 点评 本题属于几何知识综合运用题 主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅 助线 三角形相似判定 圆的性质及圆切线的判定等知识 解答此类题应具备综合运用能 力 包括知识综合 方法综合以及数学思想的综合运用 能较好地区分出不同数学水平的 学生 保证区分结果的稳定性 从而确保试题具有良好的区分度 进而有利于高一级学校 选拔新生 难度较大 22 2012 浙江省绍兴 22 12 分 小明和同桌小聪在课后复习时 对课本 目标与评定 中的一道思考题 进行了认真的探索 如图 一架 2 5 米工的梯子AB斜靠在竖直 的墙AC上 这时B到墙底端C的距离为 0 7 米 如果梯子的顶端沿墙下滑 0 4 米 那么点B将向外移动多少米 1 请你将小明对 思考题的解答补充完整 解 设点B将向外移动x米 即BB1 x 则B1C x 0 7 A1C AC AA1 24 07 05 2 22 而A1B1 2 5 在 Rt A1B1C中 由B1C2 A1C2 A1B12 得方程 解方程x1 x2 思 考 题 用心 爱心 专心21 点B将向外移动 米 2 解完 思考题 后 小陪提出了如下两个问题 在 思考题 中将 下滑 0 4 米 改为 下滑 0 9 米 那么该题的答案会是 0 9 米吗 为什么 在 思考题 中 梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离 有可能相等吗 为什么 请你解答小聪提出的这两个问题 解析 1 根据题意求解一元二次方程即可 2 根据题意建立勾股定理模型 通过计 算验证它是否符合题意 3 在假设结论成立的条件下 建立一元二次方程模型 看看方 程是否有实数解即可 答案 解 1 222 5 22 7 0 x 0 8 2 2 舍去 0 8 2 不会是 0 9 米 若AA1 BB1 0 9 则A1C 2 4 0 9 1 6 A1C 0 7 0 9 1 6 81 4 6 15 1 22 25 6 5 2 2 A1C2 B1C2 A1B12 该题的答案不会是 0 9 米 有可能 设梯子顶端从A处下滑 1 7 米时 点B向外也移动 1 7 米 脚梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等 点评 这是一道实际应用题 解答本题的关键是借助勾股定理将实际问题转化为一元二 次方程问题来求解 25 2012 湖北随州 25 13 分 在一次数学活动课上 老师出了一道题 1 解方程 2 230 xx 巡视后 老师发现同学们解此题的方法有公式法 配方法和十字相乘法 分解因式法 接着 老师请大家用自己熟悉的方法解第二题 2 解关于 x 的方程 2 3 30mxmx m 为常数 且 m 0 老师继续巡视 及时观察 点拨大家 再接着 老师将第二道题变式为第三道题 3 已知关于 x 的函数 2 3 3ymxmx m 为常数 求证 不论m为何值 此函数的图象恒过x轴 y轴上的两个定点 设x轴上的定 点为A y轴上的定点为C 若m 0 时 设此函数的图象与x轴的另一个交点为B 当 ABC为锐角三角形时 问 题 问 题 用心 爱心 专心22 求m的取值范围 当 ABC为钝角三角形时 直接写出m的取值范围 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题 解析 1 2 两问 用十字相乘法即可解决问题 3 中的第 个问题 只要说明档 x 0 或 y 0 时 对应的函数值或自变量的值是一个常数即可 注意要分m 0 和 m 0 两侦破 那个情况讨论 第 小题也要根据m的值的不同情况进行分类讨论 答案 解 1 由x2 2x 3 0 得 x 1 x 3 0 x1 1 x2 3 2 由mx2 m 3 x 3 0 得 x 1 mx 3 0 m 0 x1 1 x2 m 3 3 1 当m 0 时 函数 y mx2 m 3 x 3 为 y 3x 3 令 y 0 得x 1 令 x 0 则 y 3 直线 y 3x 3 过定点A 1 0 C 0 3 2 当 m 0 时 函数 y mx2 m 3 x 3 为 y x 1 mx 3 抛物线 y x 1 mx 3 恒过两定点A 1 0 C 0 3 和 B m 3 0 当m 0 时 由 可知抛物线开口向上 且过点A 1 0 C 0 3 和 B m 3 0 1 分 观察图象 可知 当 ABC为 Rt 时 则 AOC COB BO CO CO AO OBOAOC 2 32 1 OB OB 9 即B 9 0 当9 3 0 m 即 m 3 1 当m 3 1 时 ABC为锐角三角形 观察图象可知 当 0 m90 当m90 ABC是钝角三角形 当 0 m 3 1 或m60 50 n 60 40 n 50 30 EG 即BE CF EF 当 A 90 时 则 ABC C 90 由 知 ABC GBD ABC C 90 即 EBG 90 BE2 BG2 EG2 即BE2 CF2 EF2 2 BE CF EF 延长AB至G 使BG CF 连结GD 用心 爱心 专心26 ABD C 180 ABD DBG 180 DBG C 又DB DC BDG CDF DG DF BDG CDF BDC 120 EDF 60 BDE CDF 60 BDE BDG 60 即 GDE FDE 60 DE DE GDE FDE EF EG BE BG BE CF 3 2012 年浙江绍兴县一模 如图 1 在 ABC中 已知 BAC 45 AD BC于 D BD 2 DC 3 求AD的长 小萍同学灵活运用轴对称知识 将图形进行翻折变换如图 1 她分别以AB AC为对称轴 画出 ABD ACD的轴对称图形 D点的对称点为E F 延长EB FC相交于G点 得到 四边形AEGF是正方形 设AD x 利用勾股定理 建立关于x的方程模型 求出x的值 1 请你帮小萍求出x的值 2 参考小萍的思路 探究并解答新问题 如图 2 在 ABC中 BAC 30 AD BC于D AD 4 请你按照小萍的方法画图 得到四边形AEGF 求 BGC的周长 画图所用字母与图 1 中的字母对应 答案 1 根据对称的性质可得 BE BD 2 CF CD 3 设AD x 则正方形AEGF的边长是x 则BG EG BE x 2 CG FG CF x 3 在直角 BCG中 根据勾股定理可得 x 2 2 x 3 2 52 解得 x 6 2 作GM EF于点M 根据对称的性质可得 AE AF AD 4 EAB BAD FAC DAC 又 BAC 30 EAF 60 AEF是等边三角形 EF AE 4 AEF AFE 60 GEF GFE 30 则EG GF EM 2 1 EF 2 EG 3 34 第 3 题图 用心 爱心 专心27 BGC的周长是 BG GC BC BG GC BD CD BG GC BE CF 2EG 3 38 4 广东省 2012 初中学业水平模拟三 阅读材料 解答问题 阅读材料 如图 一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定 1 这里所运用的几何原理是 A 三角形的稳定性 B 两点之间线段最短 C 两点确定一条直线 D 垂线段最短 2 如图 是图 中窗子开到一定位置时的平面图 若45AOB 30OAB OA 60cm 求点B到边OA的距离 结果保留根号 答案 1 A 2 分 2 解 过点B作BC OA于点C 设BC x BOA 45 BA0 30 OC x AC 3x 则 X 3x 60 X 303 30 点B到边OA的距离为 303 30 cm 6 分 5 福建晋江市 2012 初中学业质检题 已知小明骑车和步行的速度分别为 240 米 分 80 米 分 小红每次从家步行到学校所需时间相同 请你根据小红和小明的对话内容 如 图 解答如下问题 图 图 用心 爱心 专心28 若设小明同学从家到学校的路程为x米 小红从家到学校所需时间是y分钟 1 填空 小明从家到学校的骑车时间是 分钟 步行时间是 分钟 用含 x的代数式表示 2 试求x和y的值 答案 1 2 依 题 意 得 解得 经检验 符合题意 答 x和y的值分别为 720 7 6 2012 江苏南京市白下区一模 概念理解 把一个或几个图形分割后 不重叠 无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做 剖分 重拼 如图 1 一个梯形可以剖分 重拼为一个三角形 如图 2 任意两个正方形 可以剖分 重拼为一个正方形 尝试操作 如图 3 把三角形剖分 重拼为一个矩形 只要画出示意图 不需说明操作步骤 阅读解释 如何把一个矩形ABCD 如图 4 剖分 重拼为一个正方形呢 操作如下 画辅助图 作射线OX 在射线OX上截取OM AB MN BC 以ON为直径作半圆 过 点M作MI 射线OX 与半圆交于点I 图 4 中 在CD上取点F 使AF MI 作BE AF 垂足为E 把 ADF沿射线DC平 移到 BCH的位置 把 AEB沿射线AF平移到 FGH的位置 得四边形EBHG 请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形 第 28 题图 3 图 2 图 1 第 28 题 AB CD E F G H 图 4 O XMN I 辅助图 第 28 题 用心 爱心 专心29 拓展延伸 任意一个多边形是否可以通过若干次的剖分 重拼成一个正方形 如果可以 请简 述操作步骤 如果不可以 请说明理由 解 尝试操作 答案不唯一 如 或 等 2 分 阅读解释 在辅助图中 连接OI NI ON是所作半圆的直径 OIN 90 MI ON OMI IMN 90 且 OIM INM OIM INM 即IM2 OM NM 3 分 OM IM IM NM 在图 4 中 根据操作方法可知 AF2 AB AD 四边形ABCD是矩形 BE AF DC AB ADF BEA 90 DFA EAB DFA EAB 即AF BE AB AD 注 用面积法说明也可 4 分 AD BE AF AB AF BE 5 分 即BH BE 由操作方法知BE GH BE GH 四边形EBHG是平行四边形 GEB 90 四边形EBHG是正方形 6 分 拓展延伸 可以 采用以下剖分 重拼步骤 1 将多边形剖分为若干三角形 2 每个三角形剖分 重拼为一个矩形 3 每个矩形剖分 重拼为一个正方形 4 每两个正方形剖分 重拼为一个正方形 10 分 7 2012 四川夹江县模拟 随着经济的发展 尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高 员工当年的月工资 尹进 2008 年的月工资为 2000 元 在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元 他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率继续增长 用心 爱心 专心30 1 尹进 2011 年的月工资为多少 2 尹进看了甲 乙两种工具书的单价 认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买 若干本甲种工具书和一些乙种工具书 当他拿着选定的这些工具书去付书款时 发现自己 计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了 故实际付款比 2011 年 6 月份的月工资少了 242 元 于是他用这 242 元又购买了甲 乙两种工具书各一本 并把购买的这两种工具书 全部捐献给西部山区的学校 请问 尹进总共捐献了多少本工具书 答案 解 1 设尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率为x 则 2 2000 1 2420 x 2 分 解 之得 1 0 1x 2 2 1x 3 分 2 2 1x 与题意不合 舍去 尹进 2011 年的月工资为2420 1 0 1 2662 元 4 分 2 设甲工具书单价为a元 第一次选购m本 设乙工具书单价为b元 第一次选购n本 则由题意 得 242 2662 2662242 ab bman ambn 7 分 由 整理得 2