【中考12年】浙江省绍兴市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题09 三角形

1 中考中考 1212 年年 浙江省绍兴市浙江省绍兴市 2001 20122001 2012 年中考数学试题分类解析年中考数学试题分类解析 专题专题 0909 三角形三角形 选择题 1 2001 年浙江绍兴 3 分 如图 ABC 中 D E 分别是边 BC AC 的中点 若 ED 3 则 AB 等于 A 2 3 B 6 C 9 D 4 9 2 2001 年浙江绍兴 3 分 ABC 中 C 900 若 BC 4 sinA 2 3 则 AC 的长是 A 6 B 52 C 53 D 132 3 2002 年浙江绍兴 3 分 边长为 a 的正六边形的边心距为 A a B 3 a 2 C 3a D 2a 2 4 2003 年浙江绍兴 4 分 已知点 G 是 ABC 的重心 GP BC 交 AB 边于点 P BC 33 则 GP 等于 A 3 3 B 3 C 2 3 D 3 32 5 2003 年浙江绍兴 4 分 身高相等的三名同学甲 乙 丙参加风筝比赛 三人放出风筝线长 线与地面交角如过后下表 假设风筝线是拉直的 则三人所放的风筝中 同学甲乙丙 放出风筝线长 100m100m90m 线与地面交角 40 45 60 A 甲的最高 B 丙的最高C 乙的最低D 丙的最低 答案 B 考点 解直角三角形的应用 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 根据正弦函数定义 甲所放风筝的高度为 100sin40 乙所放风筝的高度为 100sin45 70 米 丙所放风筝的高度为 90sin60 78 米 而 100sin40 100sin45 因此可知丙的风筝飞得最高 乙次之 而甲最低 故选 B 6 2008 年浙江绍兴 4 分 兴趣小组的同学要测量树的高度 在阳光下 一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0 4 米 同时另一名同学测量树的高度时 发现树的影子不全落在地面上 有 3 一部分落在教学楼的第一级台阶上 测得此影子长为 0 2 米 一级台阶高为 0 3 米 如图所示 若此时落在地面上的影长为 4 4 米 则树高为 A 11 5 米 B 11 75 米 C 11 8 米 D 12 25 米 二 填空题 1 2001 年浙江绍兴 3 分 如图 ABC 中 ACB 900 CD AB 于点 D 若 AD 6 BD 2 则 BC 的长是 2 2003 年浙江绍兴 5 分 若正六边形的边长为 2 则此正六边形的外接圆半径为 答案 2 4 考点 正多边形和圆 等边三角形的判定 分析 正六边形可分成 6 个全等的等边三角形 等边三角形的边长是正六边形的外接圆半径 则此正六边形的外接圆半径 正六边形的边长 2 3 2003 年浙江绍兴 5 分 若某人沿坡度 3 4 的斜坡前进 10m 则他所在的位置比原来的位 置升高 m 4 2004 年浙江绍兴 5 分 在 ABC 中 CD AB 请你添加一个条件 写出一个正确结论 不在 图中添加辅助线 条件 结论 5 2004 年浙江绍兴 5 分 如图 河对岸有古塔 AB 小敏在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 向塔前 进 s 米到达 D 在 D 处测得 A 的仰角为 则塔高是 米 5 6 2005 年浙江绍兴 5 分 以下两小题选做一题 第 1 小题满分 5 分 第 2 小题满分为 3 分 若两小题都做 以第 1 小题计分 选做第 小题 答案为 1 将一副三角板如图叠放 则左右阴影部分面积 1 S 2 S 之比等于 2 将一副三角板如图放置 则上下两块三角板面积 1 A 2 A 之比等于 答案 33 2 2 3 3 6 上下两块三角板面积之比 12 22 3 AA 33 与 7 2006 年浙江绍兴 5 分 已知 ABC A1B1C1 AB A1B1 2 3 则 111 ABCA B C SS 与 之比为 答案 4 9 考点 相似三角形的性质 分析 ABC A1B1C1 AB A1B1 2 3 111 22 ABCA B C11 S SAB A B2 34 9 三 解答题 1 2001 年浙江绍兴 8 分 如图 ABC 中 D E 分别是 AC AB 上的点 BD 与 CE 交于点 O 给 出下列四个条件 EBD DCO BEO CDO BE CD OB OC 1 上述四个条件中 哪两个条件可判定 ABC 是等腰三角形 用序号写出所有情形 7 2 选择第 1 小题中的一种情形 证明 ABC 是等腰三角形 2 2004 年浙江绍兴 10 分 如图 在平面直角坐标系中 已知 ABC 点 P 1 2 1 作 PQR 使 PQR 与 ABC 相似 不要求写出作法 2 在第 1 小题所作的图形中 求 PQR 与 ABC 的周长比 8 3 2004 年浙江绍兴 12 分 课本第五册第 65 页有一题 已知一元二次方程 2 ax2bxc0 的两个根满足 12 xx2 且 a b c 分别是 ABC 的 A B C 的对边 若 a c 求 B 的度数 小敏解得此题的正确答案 B 120 后 思考以下问题 请你帮助解答 1 若在原题中 将方程改为 2 ax3bxc0 要得到 B 120 而条件 a c 不变 那么 应对条件中的 12 xx 的值作怎样的改变 并说明理由 2 若在原题中 将方程改为 2 axn bxc0 n 为正整数 n 2 要得到 B 120 而条 件 a c 不变 那么条件中的 12 xx 的值应改为多少 不必说明理由 9 考点 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 等腰三角形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析 1 由 B 120 a c 得 b 3 a 代入原方程得 2 x3x 10 根据 5 0 和根与 系数的关系求出 12 xx5 从而 对于 12 xx5 时论证 B 1200 2 同 1 若 B 1200 a c b 3 a 原方程变为 2 ax3naxa0 即 2 x3n x 10 a 0 10 4 2006 年浙江绍兴 10 分 某校教学楼后面紧邻着一个土坡 坡上面是一块平地 如图所示 BC AD 斜坡 AB 长 22m 坡角 BAD 680 为了防止山体滑坡 保障安全 学校决定对该土坡进行 改造 经地质人员勘测 当坡角不超过 500 时 可确保山体不滑坡 1 求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长 精确到 0 1m 2 为确保安全 学校计划改造时保持坡脚 A 不动 坡顶 B 沿 BC 削进到 F 点处 问 BF 至少是多 少米 精确到 0 1m 参考数据 sin680 0 9272 cos680 0 3746 tan680 2 4751 sin500 0 766O cos500 0 6428 tan500 1 1 918 BF 至少是 8 9 m 考点 解直角三角形的应用 锐角三角函数定义 矩形的判定和性质 11 分析 1 作 BE AD 解直角三角形 ABE 即可求得 BE 的长 2 作 FG AD 连接 FA 构造直角三角形 AFG 求出 AG 的长 在直角三角形 ABE 中求得 AE 的长 由 BF EG AG AE 即可求得 BF 的长即可得出结论 5 2006 年浙江绍兴 12 分 我们知道 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一 定全等 那么在什么情况下 它们会全等 1 阅读与证明 对于这两个三角形均为直角三角形 显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形 可证它们全等 证明略 对于这两个三角形均为锐角三角形 它们也全等 可证明如下 已知 ABC A1B1C1 均为锐角三角形 AB A1B1 BC B1Cl C Cl 求证 ABC A1B1C1 请你将下列证明过程补充完整 证明 分别过点 B B1 作 BD CA 于 D B1 D1 C1 A1 于 D1 则 BDC B1D1C1 900 BC B1C1 C C1 BCD B1C1D1 BD B1D1 2 归纳与叙述 由 1 可得到一个正确结论 请你写出这个结论 答案 解 1 又 AB A1B1 ADB A1D1B1 90 ADB A1D1B1 HL A A1 又 C C1 BC B1C1 ABC A1B1C1 AAS 2 若 ABC A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形 AB A1B 1 BC B1C1 C C1 则 ABC A1B1C1 考点 全等三角形的判定和性质 分析 1 由 HL 可证 ADB A1D1B1 从而 A A1 因此 由 AAS 可证 ABC A1B1C1 2 根据题意和 1 的证明得出结论 6 2007 年浙江绍兴 12 分 课外兴趣小组活动时 许老师出示了如下问题 如图 1 已知四边 形 ABCD 中 AC 平分 DAB DAB 60 B 与 D 互补 求证 AB AD 3 AC 小敏反复探索 不得其解 她想 若将四边形 ABCD 特殊化 看如何解决该问题 1 特殊情况入手添加条件 B D 如图 2 可证 AB AD 3 AC 请你完成此证明 2 解决原来问题受到 1 的启发 在原问题中 添加辅助线 如图 3 过 C 点分别作 AB AD 的垂线 垂足分别为 E F 请你补全证明 12 Rt CDF Rt CBE AAS DF BE ABADABAFFDABBEAFAEAF3AC 考点 角平分线的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 全等三角形的判定和性质 分析 1 如果 B D 根据 B 与 D 互补 那么 B D 90 又因为 DAC BAC 30 因此我们可在直角三角形 ADC 和 ABC 中得出 AD AB 3 2 AC 那么 AD AB 3 AC 2 按 1 的思路 作好辅助线后 我们只要证明三角形 CFD 和 BCD 全等即可得到 1 的条 件 根据 AAS 可证两三角形全等 DF BE 然后按照 1 的解法进行计算即可 7 2008 年浙江绍兴 8 分 地震发生后 一支专业搜救队驱车前往灾区救援 如图 汽车在一条 南北走向的公路上向北行驶 当在 A 处时 车载 GPS 全球卫星定位系统 显示村庄 C 在北偏西 25 方向 汽车以 35km h 的速度前行 2h 到达 B 处 GPS 显示村庄 C 在北偏西52 方向 13 1 求 B 处到村庄 C 的距离 2 求村庄 C 到该公路的距离 结果精确到 0 1km 参考数据 sin26 0 4384 cos26 0 8988 sin52 0 7880 cos52 0 6157 2 过 C 作 CD AB 交 AB 于 D 应用正弦函数解Rt CBD 即可 8 2008 年浙江绍兴 12 分 学完 几何的回顾 一章后 老师布置了一道思考题 如图 点 M N 分别在正三角形 ABC 的 BC CA 边上 且 BM CN AM BN 交于点 Q 求证 BQM 60 度 1 请你完成这道思考题 2 做完 1 后 同学们在老师的启发下进行了反思 提出了许多问题 如 若将题中 BM CN 与 BQM 60 的位置交换 得到的是否仍是真命题 若将题中的点 M N 分别移动到 BC CA 的延长线上 是否仍能得到 BQM 60 若将题中的条件 点 M N 分别在正三角形 ABC 的 BC CA 边上 改为 点 M N 分别在正方形 ABCD 的 BC CD 边上 是否仍能得到 BQM 60 请你作出判断 在下列横线上填写 是 或 否 并对 的判断 选择一个给出证明 14 15 BQM 90 即 BQM 60 9 2009 年浙江绍兴 8 分 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 40 分别以 AB AC 为边作两个 等腰直角三角形 ABD 和 ACE 使 BAD CAE 90 1 求 DBC 的度数 2 求证 BD CE 16 10 2009 年浙江绍兴 8 分 京杭运河修建过程中 某村考虑到安全性 决定将运河边一河埠头的台 阶进行改造 在如图的台阶横断面中 将坡面 AB 的坡角由 45 减至 30 已知原坡面的长为 6m BD 所在地面为水平面 1 改造后的台阶坡面会缩短多少 2 改造后的台阶高度会降低多少 精确到 0 1m 参考数据 2 1 41 3 1 73 答案 解 1 在 Rt ABC 中 AB 6 BC 6sin45 3 2 在 Rt BCD 中 BC BD2 6 cos30 ABBD62 61 12141 1 m 答 台阶坡面会缩短 1 1m 2 AC BC 3 2 CD BD sin30 6 17 11 2010 年浙江绍兴 8 分 如图 小敏 小亮从 A B 两地观测空中 C 处一个气球 分别测得仰 角为 30 和 60 A B 两地相距 100m 当气球沿与 BA 平行地飘移 10 秒后到达 C 处时 在 A 处 测得气球的仰角为 45 1 求气球的高度 结果精确到 0 1m 2 求气球飘移的平均速度 结果保留 3 个有效数字 考点 解直角三角形的应用 仰角俯角问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 矩形 的判定 和性质 18 分析 1 作 CD AB C E AB 垂足分别为 D E 构造直角三角形 BCD 和 ACD 解之即可 2 根据矩形的判定和性质求得 CC 的长即可求得气球飘移的平均速度 12 2011 年浙江绍兴 8 分 为倡导 低碳生活 常选择以自行车作为代步工具 如图 1 所示是 一辆自行车的实物图 车架档 AC 与 CD 的长分别为 45cm 60cm 且它们互相垂 直 座杆 CE 的长为 20cm 点 A C E 在同一条直线上 且 CAB 75 如图 2 1 求车架档 AD 的长 2 求车座点 E 到车架档 AB 的距离 结果精确到 1cm 参考数据 sin75 0 9659 cos75 0 2588 tan75 3 7321 13 2011 年浙江绍兴 12 分 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 确定线段 AE 与的 DB 大小关系 请你直接写出结论 AE DB 填 或 2 特例启发 解答題目 19 解 题目中 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 理由如下 如图 2 过点 E 作 EF BC 交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形 ABC 中 点 E 在直线 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 若 ABC 的边长为 1 AE 2 求 CD 的长 请你直接写出结果 BED FCE DBE EFC SAS DB EF AE BD 14 2012 年浙江绍兴 8 分 如图 AB CD 以点 A 为圆心 小于 AC 长为半径作圆弧 分别交 AB AC 于 E F 两点 再分别以 E F 为圆心 大于 1 2EF 长为半径作圆弧 两条圆弧交于点 P 作 射线 AP 交 CD 于点 M 1 若 ACD 114 求 MAB 的度数 20 2 若 CN AM 垂足为 N 求证 ACN MCN 分析 1 由作法知 AM 是 ACB 的平分线 由 AB CD 根据两直线平行同旁内角互补的性质 得 CAB 66 从而求得 MAB 的度数 2 要证 ACN MCN 由已知 CN AM 即 ANC MNC 90 又 CN 是公共边 故只要再有一 边或一角相等即可 考虑到 AB C