高中数学教学论文 复数章节知识盘点

用心 爱心 专心1 复数章节知识梳理复数章节知识梳理 复数内容是高中数学课程中的传统内容 新课程标准对复数内容作了处理 在要求上也 有所降低 具体要求为 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 了解复数的代数 表示法及其几何意义 能进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加 减运算 的几何意义 针对上述要求 我们在学习和复习这章内容的过程中 应着重以复数的基本 概念 性质以及基本运算法则为主要学习目标 力求在考试中不失分 一 知识结构一 知识结构 复数代数形式的加 减乘除运算 复数的代数形式 复数的向量表示 复数的概念 复数加减法运算的 几何意义 二 知识导析二 知识导析 1 1 复数的有关概念复数的有关概念 1 形如 Rbabia 的数叫做复数 其中i叫做虚数单位 ba 分别叫做复数 Rbabia 的实部 虚部 Rbabia 叫做复数的代数形式 在这一概念中易忽 视Rba 这一条件 2 对于复数 Rbabia 当且仅当0 b时 它是实数 当0 b时 它叫做 虚数 当0 a且0 b时 叫做纯虚数 如 例 1 a为何实数时 复数iaa a aa z 6 2 32 2 2 是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 分析 本题是对复数概念的考察 1 若为实数 需满足 02 06 2 a aa 解之得3 a 2 若为虚数 只需 32 06 2 aaaa且解得 用心 爱心 专心2 biaz 点 baZ 向量OZ 3 若为纯虚数 需满足 02 032 06 2 2 a aa aa 解得1 a 4 若为零 需满足3 02 06 032 2 2 a a aa aa 解得 点评 在解答过程中不要忽视2 a这一条件 导致结果的错误 3 两复数相等 当且仅当两复数的实部和虚部都分别相等时 这两复数称为相等复 数 特别地 两个实数可以比较大小 但两个复数不全是实数时 就不能比较大小 一般说特别地 两个实数可以比较大小 但两个复数不全是实数时 就不能比较大小 一般说 来 复数集中没有大小之分 只有相等与不相等的关系 如 来 复数集中没有大小之分 只有相等与不相等的关系 如 例 2 下列四个命题中 1 两个复数不能比较大小 2 若复数 21 z z满足 2121 0zzzz 则 3 若ibiaba 则 4 若z为复数 则0 2 z 其中正确命题的个数是 个 A 0 B 1 C 2 D 3 分析 对于命题 1 两个复数若均为实数时可以比较大小 对于 2 如果 21 z z的虚 部相等 而且 1 z的实部大于 2 z的实部 就不正确 如iziz21 23 21 满足条件 但 21 z z不能比较大小 3 显然也是不正确的 对于 4 若z为纯虚数 则结论显然不 正确 故应选 A 2 2 复数的几何表示复数的几何表示 复数 Rbabiaz 由有序实数对 ba 唯一确定 而每一个有序实数对 ba 在平面直角坐标系中 唯一确定点 baZ 或一个向量OZ 从而可建立复数 Rbabiaz 与点 baZ及向量OZ间的一一对应关系 由此 引入了复平面 实 轴 虚轴以及复数的模等概念 复数 Rbabiaz 点 baZ及向量OZ之间的对应关系如下图 用心 爱心 专心3 由三者的一一对应关系 我们可以把复数 向量以及解析几何题目有机地结合起来 使问 题的解决更为灵活深刻 如 例 3 两非零复数 21 z z分别对应向量OBOA 若 2121 zzzz 则向量OBOA与的 关系为 A OBOA B OBOA C OBOA D OBOA 的关系不定 分析 本题是一道复数 向量和解析几何的综合题 由复数 Rbabiaz 点 baZ及向量OZ之间的一一对应关系 结合向量的加减法的几何意义可知 2121 zzzz 即为以OBOA 为邻边的平行四边形的对角线相等 故应为矩形 所 以OBOA 选 C 3 3 复数代数形式的加减乘除运算复数代数形式的加减乘除运算 1 复数代数形式的加减法 只需将它们的实部和虚部分别相加减即得 idbcadicbia 2 复数代数形式的乘法 可类似于多项式的乘法运算 展开后合并即得 ibcadbdacdicbia 3 复数代数形式的除法 可概括为一句话 分母实数化 0 2222 dici dc adbc dc bdac dicdic dicbia dic bia 例 4 07 年全国卷 理工农医类第 3 题 设复数z满足i z i 21 则z A i 2 B i 2 C i 2 D i 2 解析 i ii ii i i z 2 21 21 所以答案选 C 点评 本题主要考察复数的基本运算 4 4 虚数单位虚数单位i的有关结论的有关结论 1 1 2 i ii2 1 2 i i i 1 1 i i i 1 1 在解题中的应用 2 n i的周期性的使用 包括iiiiii nnnn 3424144 1 1以及 0 321 nnnn iiii 用心 爱心 专心4 3 1 的虚立方根i 2 3 2 1 的应用 包括结论 1 01 1 223 例 5 05 年高考重庆卷 理第 2 题 复数 2005 1 1 i i 等于 A i B i C 22005 D 22005 解析 2005 1 1 i i 2005 2 1 1 1 ii i 2005 2 2 i i2005 i 答案选 A 点评 本题若熟记结论i i i 1 1 即可迅速求解 例 6 复数 5 4 31 22 i i 等于 A i 31 B i 31 C i 31 D i 31 分析 观察本题式子特点 发现分子提出 2 后可用ii2 1 2 来求解 但分母若直接展 开计算就相当繁琐 而注意到其与i 2 3 2 1 的差别 只需提取 2 就可转化为可用 的性质来解决 解 原式 ii i i i i 31 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 16 2 2 55 4 点评 本题是一道经典高考题 很好地体现了 1 的虚立方根i 2 3 2 1 在解决复数计 算问题的作用 5 5 共轭复数的有关结论共轭复数的有关结论 1 两复数的和 差 积 商的共轭复数等于它们共轭复数的和 差 积 商 即 2121 zzzz 2121 zzzz 2 1 2 1 z z z z 2 00 zzz或z为纯虚数 3 22 zzzz 例 7 06 年上海高考理工农医类第 5 题 用心 爱心 专心5 若复数z同时满足iizzizz 2 为虚数单位 则z 解析 根据共轭复数的定义知z的虚部为i 又满足izz 所以z实部为1 故应填 i 1 6 6 常见几何曲线的复数形式的方程常见几何曲线的复数形式的方程 设 2121 dcZbaZRdcbadiczbiaz 点 1 两点 21Z Z间的距离公式 21 zzd 2 线段 21Z Z的垂直平分线方程 21 zzzz 3 以点 1 Z为圆心 以r为半径的圆的方程 rzz 1 4 为焦点的椭圆时 表示以当 时 表示线段当 2121 21 21 2 2 2 ZZzza zza azzzz 5 azzzz2 21 2 21 zza 表示以 21 Z Z为焦点的双曲线 6 Rzzr 1 表示以点 1 Z为圆心 以r为半径的小圆和以R为半径的大圆所 形成的圆环区域 例 8 在复平面内 点QP 分别对应的复数为 21 zz 且1 432 112 zizz 求 点Q的轨迹 解析 izz432 12 izz432 21 又2 2 2