高中数学 6.3.1《平均数及其估计》教案 苏教版必修3

用心 爱心 专心 1 第第 2323 课时课时 平均数及其估计平均数及其估计 学习导航学习导航 学习要求学习要求 1 知道平均数是对调查数据的一种简明的描述 它表示变量一切可能值的算术平均值 从 而实现对总体可靠度的估计 学习时仔细体会它的实际意义 2 熟练掌握平均数的计算公式 课堂互动课堂互动 自学评价自学评价 案例案例 某校高一 1 班同学在老师的布置下 用单摆进行测试 以检验重力加速度 全班 同学两人一组 在相同的条件下进行测试 得到下列实验数据 单位 m s2 9 62 9 54 9 78 9 94 10 01 9 66 9 88 9 68 10 32 9 76 9 45 9 99 9 81 9 56 9 78 9 72 9 93 9 94 9 65 9 79 9 42 9 68 9 70 9 84 9 90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计 分析 我们常用算术平均数 n i i a n 1 1 其中 i a i 1 2 n 为 n 个实验数据 作为重力加 速度的 最理想 的近似值 它的依据是什么 处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小 设这个近似值为x 那么它与 n 个实验值 i a i 1 2 n 的离差分别为 1 ax 2 ax n ax 由于上述离差有正有负 故不宜直接相加 可以考虑将各个离差的绝对 值相加 研究 1 ax 2 ax n ax 取最小值时x的值 但由于含绝对值 运算不太 方便 所以考虑离差的平方和 即 1 ax 2 2 ax 2 n ax 2 当此和最小时 对应的 x的值作为近似值 因为 1 ax 2 2 ax 2 n ax 2 22 2 2 121 2 2 nn aaaxaaanx 所以当 1 21n aaa n x 时离差的平方和最小 故可用 1 21n aaa n 作为表 示这个物理量的理想近似值 称其为这 n 个数据 1 a 2 a n a的平均数或均值 一般记 为 1 21n aaa n a 用计算器操作 验证 求得重力加速度的最佳近似值为774 9 x m s2 小结 1 n个实数 n aaaa 321 的和简记为 n i i a 1 2 已知n个实数 n aaaa 321 则称naaa n 21 为这n个数据的平均数 average 或均值 mean 3 若取值为 n xxx 21 的频率分别为 n ppp 21 则其平均数为 nnp xpxpx 2211 精典范例精典范例 例例 1 1 某校高一年级的甲 乙两个班级 均为 50 人 的语文测试成绩如下 总分 150 试 用心 爱心 专心 2 确定这次考试中 哪个班的语文成绩更好一些 甲班 1128610684100 87112949499 10810096115111 10410711910793 92102938494 1059810294107 901209895119 10495108111105 1029811211299 941009084114 乙班 1169510996106 9498105101115 10810011098107 10710611112197 107111114106104 9810899110103 10411210111396 8710810610397 107114122101107 10495111111110 分析 我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平 因此 分别求得甲 乙两个班级 的平均分即可 解 用科学计算器分别求得甲班的平均分为 101 1 乙班的平均分为 105 4 故这次考试 乙班成绩要好于甲班 例例 2 2 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表 单位 h 试估计该学生的日平均睡眠 时间 睡眠时间人 数频 率 5 6 650 05 7 5 6170 17 5 7 7330 33 8 5 7370 37 5 8 860 06 9 5 820 02 1001 分析 要确定这 100 名学生的平均睡眠时间 就必须计算其总睡眠时间 由于每组中的 个体睡眠时间只是一个范围 可以用各组区间的组中值近似地表示 解 解法 1 总睡眠时间约为 3775 7 3325 71775 6525 6 739275 8 625 8 h 故平均睡眠时间约为 7 39h 解法 2 求组中值与对应频率之积的和 37 0 75 7 33 025 7 17 0 75 605 0 25 6 39 7 02 0 75 8 06 0 25 8 h 用心 爱心 专心 3 答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7 39h 例例 3 3 某单位年收入在 10000 到 15000 15000 到 20000 20000 到 25000 25000 到 30000 30000 到 35000 35000 到 40000 及 40000 到 50000 元之间的职工所占的比分别为 10 15 20 25 15 10 和 5 试估计该单位职工的平均年收入 分析 上述比就是各组的频率 解 估计该单位职工的平均年收入为 2022500 1517500 1012500 1532500 2527500 545000 1037500 26125 元 答 估计该单位人均年收入约为 2125 元 例例 4 4 学校对王老师与张老师的工作态度 教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步的 评估 成绩如下表 工作态度教学成绩业务学习 王老师 989596 张老师 909998 1 如果以工作态度 教学成绩及业务学习三个方面的平均分来计算他们的成绩 作为评 优的依据 你认为谁会被评为优秀 2 如果三项成绩的比例依次为 20 60 20 来计算他们的成绩 结果又会如何 解 1 王老师的平均分是 989596 396 张老师的均分是 909998 395 7 王老师的平均分较高 评王老师为优秀 2 王老师的平均分是 98 20 95 60 96 20 95 8 张老师的平均分为 90 20 99 60 98 20 97 张老师的得分高 评张老师为优秀 追踪训练追踪训练 1 期中考试之后 班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M 如果把 M 当成一个同学 的分数 与原来的 40 个分数一起 算出这 41 个分数的平均值为 N 那么M N 为 A 40 41 B 1 C 41 40 D 2 2 从某校全体高考考生的数学成绩中任意抽取 20 名考生的成绩 单位 分 总分 150 分 为 102 105 131 95 83 121 140 100 97 96 95 121 124 135 106 109 110 101 98 97 试估计该校全体考生数学平均成绩 解 样本的平均数为 108 3 估计该校全体考生数学平均成绩为 108 分 3 某教师出了一份共 3 道题的测试卷 每道题 1 分 全班得 3 分 2 分 1 分和 0 分的学生 所占比例分别为 30 50 10 10 1 若全班共 10 人 则平均分是多少 2 若全班共 20 人 则平均分是多少 3 如果该班人数未知 能求出该班的平均分吗 解 1 10 115233 2 用心 爱心 专心 4 2 20 2110263 2 3 可以21 015 023 03 第第 8 8 课时平均数及其估计课时平均数及其估计 分层训练分层训练 1 某运动员参加体操比赛 当评委亮分后 其成绩往往是先去掉一个最高分 去掉一个最 低分 再计算剩下分数的平均值 这是因为 A 减少计算量 B 避免故障 C 剔除异常值 D 活跃赛场气氛 2 某房间中 10 个人平均身高为 1 74 米 身高为 1 85 米的第 11 人进入房间后 求 11 个人 的平均身高 3 如上题 某房间中 10 个人平均身高为 1 74 米 求第 11 人身高为多少时 使得房间中所 有 11 人的平均身高达到 1 78 米 4 从 1 2 3 4 5 6 这 6 个数中任取 2 个 求所有这样的两数之积的平均数 5 用甲 乙两台半自动车床加工同一型号的产品 各生产 1000 只产品中次品数分别用 x 和 y 表示 经过一段时间的观察 发现 x 和 y 的频率分布如下表 问 哪一台车床生产的产品 质量较好 x0123 p0 70 10 10 1 y0123 p0 50 30 20 6 某工厂一个月 30 天 中的日产值如下 日产值 万元 5 15 25 35 45 55 65 7 天数 2368731 试计算该厂这个月的平均日产值 7 证明 0 1 xxxx n 8 为了检验某自来水消毒设备的效果 现从消毒后的水中随机抽取 50 升 化验每升水中大 肠杆菌的个数 结果如下 大肠杆菌个数 升 01234 频 数 17201021 则所取 50 升水中平均含有大肠杆菌 个 升 用心 爱心 专心 5 估计全部消毒过的自来水中平均每升水的大肠杆菌的含量为 个 拓展延伸拓展延伸 9 有一个容量为 100 的某校毕业生起始月薪的样本 数据的分组及各组的频数如下 起始月 薪 百元 14 13 15 14 16 15 17 16 频 数 7112623 起始月 薪 百元 18 17 19 18 20 19 21 20 频 数 15846