第1讲--繁分数--教师版

1 第一讲第一讲 繁分数 教师版 繁分数 教师版 课课 题题第一讲第一讲 繁分数繁分数 授课时间及时段 授课时间及时段 2013 9 72013 9 7 10 1210 12 教学内容教学内容 分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数 繁分数的运算过程就是化简的过程 要分别对分 子和分母逐步进行计算 这需要扎实的基本功 概念清楚 运算迅速正确 而且还需要探索和掌握一些灵活的解题 方法 化 繁 为 简 例例1 计算5 1 4 1 3 1 2 1 分析 分析 象这样迭塔式繁分数是繁分数计算的基本类型 这样的题目处理的方式可以从最下面的分母开始逐层进 行计算 另外 在计算中可以利用倒数的概念直接将分子 分母根据算出结果 解答 解答 原式 5 21 1 3 1 2 1 21 5 3 1 2 1 21 68 1 2 1 68 21 2 1 68 157 1 157 68 例例2 已知 11 8 4 1 1 2 1 1 1 a 则 a 分析 分析 这类题可以通过倒推的方法进行解答 将分母中的繁分数通过层层设为 X 然后根据法则进行解答 2 解答 解答 设 1 1 1 a 11 8 解得 1 1 a 8 11 1 a 8 3 又设 2 2 1 a 8 3 解 2 2 a 3 8 2 a 3 2 即 4 1 1 a 3 2 解 a 4 5 例例3 若 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 那么四个 中的数的和是多少 分析分析 观察题目左右两边 左边可以计算出结果 然后连 续利用倒数关系逐个求出 中的数 解答解答 原式左边 12 7 原式右边 5 2 1 1 1 1 5 7 1 1 1 7 5 1 1 7 12 1 12 7 2 1 2 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 1 1 所以 四个 中的数的和是 1 1 2 2 6 说明说明 繁分数计算中 经常运用倒数关系进行计算 例例4 计算 119991998 199919971998 分析 分析 仔细观察 可以发现 分子和分母能够变成相同的一个算式 将分母 1998 1999 1 可以变形为 1997 1999 1999 1 1997 1999 1998 与分子的式子完全相同 可以通过约分 算出最后的值 解答解答 原式 11999 19991997 199919971998 199719991998 199919971998 1 说明说明 这道题表面看来数字非常大 计算很复杂 但通过观察不难发现可以将分子或分母变形后 简便计算 看来 拿到一道计算题后 也要认真观察 仔细审题 运用技巧进行计算 这样 使计算变得简单多了 例例5 3 99 1 1 3 1 1 2 1 1 99 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 4 1 3 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 分析 分析 在这道题目中 分母都含有算式 我们不妨先将分母进行计算整理 看一看能不能发现规律 然后考虑 运用一些计算的法则 技巧算出结果 解答 解答 原式 99 100 3 4 2 3 99 1 4 5 3 4 2 3 4 1 3 4 2 3 3 1 2 3 2 1 10099 2 54 2 43 2 32 2 2 10099 1 54 1 43 1 32 1 2 100 1 99 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 100 1 2 1 50 49 说明 说明 有些题目一开始虽然看不出能利用简便方法进行计算 我们可以先按照计算的顺序进行计算整理 在计 算过程中 随时发现可以简便计算时再进行简便计算 例如此题 开始时完全按照计算的方法将分母进行计算整理 然后 根据分数与除法的关系 将此题转变为分子是 2 的繁分数 再根据乘法分配率 将 2 提出 再将括号中进行 整理后 得到结果 例例6 计算 1 8910 321 99 531 100 642 22222222 分析分析 观察分子和分母 会发现它们有各自的规律可循 分母的数列排列的规律是从 1 加到 10 再加回到 1 计 算时只要计算 1 2 10 2 再减 10 分子的规律注意是两个和相减 可以根据减法性质将括号打开进行计算 解答 解答 分母 1 2 3 10 2 10 100 分子 2 22222222 99 531100 64 99100 34 12 222222 2 1 2 1 4 3 4 3 100 99 100 99 3 7 11 199 3 199 50 2 101 50 4 所以 原式 100 50101 2 101 说明说明 在繁分数计算时 不要一味 傻算 硬算 可以先找规律 再运用学过的各种运算技巧进行计算 另外 本例应用了一个非常重要的代数公式平方差公式 即 22 bababa 下一讲中将对它进行更详细的介 绍 阅读材料阅读材料 战争中的数学撷趣 一 战争中的数学撷趣 一 1991 年海湾战争时 有一个问题放在美军计划人员面前 如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉 那么冲天的 黑烟会造成严重的后果 这还不只是污染 满天烟尘 阳光不能照到地面 就会引起气温下降 如果失去控制 造 成全球性的气候变化 可能造成不可挽回的生态与经济后果 五角大楼因此委托一家公司研究这个问题 这个公司 利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型 经过计算机仿真 得出结论 认为点燃所有的油井后 果是严重的 但只会波及到海湾地区以至伊朗南部 印度和巴基斯坦北部 不至于产生全球性的后果 这对美国军 方计划海湾战争起了相当的作用 所以有人说 第一次世界大战是化学战争 炸药 第二次世界大战是物理学战 争 为原子弹 而海湾战争是数学战争 练习题练习题 1 计算 2 1 3 1 4 1 5 1 解答 解答 原式 2 7 1 4 1 5 1 7 2 4 1 5 1 7 30 1 5 1 30 7 5 1 157 30 30 157 1 2 计算 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 解答 解答 原式 5 4 2 7 4 5 8 7 3 1 5 3 1 5 3 已知 96 67 1 4 1 3 1 2 1 1 1 a 求 a 提示 提示 此题可用倒推法解答 a 2 4 计算 222345567 566345567 解答 解答 原式 由于 567 345 566 567 345 567 345 567 345 222 所以 原式 1 5 计算 223345568 567345568 解答 解答 原式 分母 568 354 567 345 345 223 567 354 568 所以 原式 1 6 计算 30 28 57 29 27 55 5 3 7 4 2 5 3 1 3 30 29 28 29 28 27 5 4 3 4 3 2 3 2 1 解答 解答 原式 0 5 7 计算 若 54 17 2 6 5 1 4 1 3 6 5 8 7 1 3 2 2 则 解答解答 8 7 8 计算 666600660000 565656 解答解答 原式 33 28 666666 565656 说明 说明 关键是找出分子 分母的公约数 10101 9 计算 若 1 7 1 7 1 7 1 1 1 1 1 那么 四个中 的数的乘积是多少 6 解答 解答 原式左边 3