【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.9.3空间点、直线、平面之间的位置关系 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 9 31 9 3 空间点 直线 平空间点 直线 平 面之间的位置关系面之间的位置关系 文文 一 选择题 1 下列各图是正方体或正四面体 P Q R S 分别是所在棱的中点 这四个点不共面的 一个图是 答案 D 2 下列命题中 正确的个数是 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角或直角相等 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直 那么这两个角相等或互补 如果两条直线同平行于第三直线 那么这两条直线互相平行 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 可能相等 也可能互补 在空间中不成立 所以 正确 故选 C 答案 C 3 已知 a b c d 是空间四条直线 如果 a c b c a d b d 那么 A a b 且 c d B a b c d 中任意两条可能都不平行 C a b 或 c d D a b c d 中至多有一对直线互相平行 解析 若 a 与 b 不平行 则存在平面 使得 a 且 b 由 a c b c 知 c 同理 d 所以 c d 若 a b 则 c 与 d 可能平行 也可能不平行 结合各选项 知选 C 答案 C 4 如图 M 是正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点 给出下列四个命题 2 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB B1C1 都相交 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB B1C1 都垂直 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB B1C1 都相交 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB B1C1 都平行 其中真命题是 A B C D 解析 由于两相交直线可确定一个平面 设 l 过 M 点 与AB B1C1 均相交 则 l 与 AB 可 确定平面 l 与 B1C1 可确定平面 又 AB 与 B1C1 为异面直线 l 为平面 与平面 的交线 如图所示 GE 即为 l 故 正确 由于 DD1 过点 M DD1 AB DD1 B1C1 BB1 为 AB B1C1 的公垂线 DD1 BB1 故 正 确 显然 正确 过 M 点有无数个平面与 AB B1C1 都相交 故 错误 答案 C 5 在三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC AC BC PA AC BC 则直线 PC 与 AB 所成角的大 小是 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 分别取 PA AC CB 的中点 F D E 连接 FD DE EF AE 则 FDE 是直线 PC 与 AB 所成角或其补角 设 PA AC BC 2a 在 FDE 中 易求得 FD a DE a FE a 226 根据余弦定理 得 cos FDE 2a2 2a2 6a2 2 2a 2a 1 2 所以 FDE 120 所以 PC 与 AB 所成角的大小是 60 答案 C 6 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 P 为棱 BB1 的中点 则在平面 BCC1B1 内过点 P 且与直线 AC 成 50 角的直线有 条 3 A 0 B 1 C 2 D 无数 解析 依题意 直线 AC 与平面 BCC1B1 所成的角为 因为直线与平面所成的角是这条直 4 线与平面内的直线所成的角中最小的角 所以在平面 BCC1B1 内过点 C 有两条直线与直线 AC 成 50 角 所以在平面 BCC1B1 内过点 P 亦有两条直线与直线 AC 成 50 角 选择 C 答案 C 二 填空题 7 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 为 C1D1 的中点 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦 值为 解析 取 A1B1 的中点 F 连接 EF FA 则有 EF B1C1 BC AEF 即是直线 AE 与 BC 所成 的角或其补角 设正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2a 则有 EF 2a AF a AE 3a 在 AEF 中 2a 2 a25 2a 2 2a 2 a2 cos AEF 因此 异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦 AE2 EF2 AF2 2AE EF 9a2 4a2 5a2 2 3a 2a 2 3 值是 2 3 答案 2 3 8 如图所示 表示一个正方体表面的一种展开图 图中的四条线段 AB CD EF 和 GH 在原 正方体中相互异面的有 对 解析 还原如图 相互异面的线段有 AB 与 CD EF 与 GH AB 与 GH 3 对 答案 3 9 已知 a b 为不垂直的异面直线 是一个平面 则 a b 在 上的射影可能是 两条平行直线 两条互相垂直的直线 同一条直线 一条直线及其外一点 则在上面的结论中 正确结论的编号是 写出所有正确结论的编号 解析 对应的情况如下 4 用反证法证明 不可能 答案 三 解答题 10 在空间四边形 ABCD 中 已知 AD 1 BC 且 AD BC 对角线 BD AC 3 13 2 求 AC 和 BD 所成的角 3 2 解析 如图所示 分别取 AD CD AB BD 的中点 E F G H 连接 EF FH HG GE GF 由三角形的中位线定理 知 EF AC 且 EF GE BD 且 GE 3 4 13 4 GE 和 EF 所成的锐角 或直角 就是 AC 和 BD 所成的角 同理 GH HF GH AD HF BC 1 2 3 2 又 AD BC GHF 90 GF2 GH2 HF2 1 在 EFG 中 EG2 EF2 1 GF2 GEF 90 即 AC 和 BD 所成的角为 90 11 如图 四边形 ABEF和 ABCD 都是直角梯形 BAD FAB 90 BC 綊 AD BE 綊 1 2 FA G H 分别为 FA FD 的中点 1 2 5 1 证明 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 解析 1 由已知 FG GA FH HD 可得 GH 綊 AD 1 2 又 BC 綊 AD GH 綊 BC 1 2 四边形 BCHG 为平行四边形 2 方法一 由 BE 綊 AF G 为 FA 中点知 BE 綊 FG 1 2 四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG 由 1 知 BG CH EF CH EF 与 CH 共面 又 D FH C D F E 四点共面 方法二 如图 延长 FE DC 分别与 AB 交于点 M M BE 綊 AF B 为 MA 中点 1 2 BC 綊 AD B 为 M A 中点 1 2 M 与 M 重合 即 FE 与 DC 交于点 M M C D F E 四点共面 12 已知正三棱柱 ABC A1B1C1 所有的棱长都为 2 E 是 A1B 的中点 F 在棱 CC1 上 1 当 C1F CF 时 求多面体 ABCFA1 的体积 1 2 2 当点 F 使得 A1F BF 为最小时 求异面直线 AE 与 A1F 所成的角 解析 1 C1F CF AC CC1 2 1 2 6 CF 1 AA FC S梯形 4 3 10 3 由正三棱柱知 ABC 的高为且等于四棱锥 B A1ACF 的高 3 1 BA ACF V 1 3 10 33 10 93 即多面体 ABCFA1 的体积为 10 93 2 将侧面 BCC1B1 展开到侧面 A1ACC1 得到矩形 ABB1A1 连接 A1B 交 C1C 于点 F 此时点 F 使得 A1F BF 为最小 此时 FC 平行且等于 A1A 的一半 F 为 C1C 的中点 过 E 作 EG A1F 交 BF 于 G 则 AEG 就是 AE 与 A1F 所成的角或所成角的补角 过 G 作 GH BC