【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第10篇 第3讲 二项式定理限时训练 理

1 第第 3 3 讲讲 二项式定理二项式定理 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 蚌埠模拟 在 24的展开式中 x的幂指数是整数的项共有 x 1 3 x A 3 项 B 4 项 C 5 项 D 6 项 解析 Tr 1 C 24 r r C x12 故当r 0 6 12 18 24 时 幂指数为整数 r24x 1 3 x r24 5r 6 共 5 项 答案 C 2 设 n的展开式的各项系数之和为M 二项式系数之和为N 若M N 240 则展 5x 1 x 开式中x的系数为 A 150 B 150 C 300 D 300 解析 由已知条件 4n 2n 240 解得n 4 Tr 1 C 5x 4 r r 1 r54 rC x4 r4 1 x r4 3r 2 令 4 1 得r 2 T3 150 x 3r 2 答案 B 3 2013 兰州模拟 已知 8展开式中常数项为 1 120 其中实数a是常数 则展开 x a x 式中各项系数的和是 A 28 B 38 C 1 或 38 D 1 或 28 解析 由题意知 C a 4 1 120 解得a 2 令x 1 得展开式各项系数和为 4 8 1 a 8 1 或 38 答案 C 4 2012 天津 在 5的二项展开式中 x的系数为 2x2 1 x 2 A 10 B 10 C 40 D 40 解析 因为Tr 1 C 2x2 5 r r C 25 r 1 rx10 3r 所以 10 3r 1 所以 r5 1 x r5 r 3 所以x的系数为 C 25 3 1 3 40 3 5 答案 D 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2011 湖北 18的展开式中含x15的项的系数为 结果用数值表示 x 1 3x 解析 Tr 1 Cx18 r r 1 rCrx18 r 令 18 r 15 解得r 2 所以 r18 1 3x r18 1 3 3 2 3 2 所求系数为 1 2 C 2 17 2 18 1 3 答案 17 6 2012 浙江 若将函数f x x5表示为f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5为实数 则a3 解析 f x x5 1 x 1 5 它的通项为Tr 1 C 1 x 5 r 1 r T3 C 1 x r52 5 3 1 2 10 1 x 3 a3 10 答案 10 三 解答题 共 25 分 7 12 分 已知二项式 n的展开式中各项的系数和为 256 3 x 1 x 1 求n 2 求展开式中的常数项 解 1 由题意 得 C C C C 256 即 2n 256 解得n 8 0n1n2nn n 2 该二项展开式中的第r 1 项为Tr 1 C 8 r r C x 令 r8 3 x 1 x r8 8 4r 3 0 得r 2 此时 常数项为T3 C 28 8 4r 32 8 8 13 分 在杨辉三角形中 每一行除首末两个数之外 其余每个数都等于它肩上的两数 之和 1 试用组合数表示这个一般规律 2 在数表中试求第n行 含第n行 之前所有数之和 3 试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数 使它们的比是 3 4 5 并 证明你的结论 第 0 行 1 第 1 行 1 1 3 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 解 1 C C C rn 1r nr 1n 2 1 2 22 2n 2n 1 1 3 设 C C C 3 4 5 r 1nr nr 1n 由 得 Cr 1n Cr n 3 4 r n r 1 3 4 即 3n 7r 3 0 由 得 Cr n Cr 1n 4 5 r 1 n r 4 5 即 4n 9r 5 0 解 联立方程组 得n 62 r 27 即 C C C 3 4 5 266227622862 分层 B 级 创新能力提升 1 已知 0 a0 与y logax 的大致图象如图所示 所以n 2 故 x 1 n x 1 11 x 2 1 2 x 2 1 11 所以a1 2 C 2 11 9 1011 答案 B 2 2012 湖北 设a Z 且 0 a 13 若 512 012 a能被 13 整除 则a A 0 B 1 C 11 D 12 解析 512 012 a 13 4 1 2 012 a被 13 整除余 1 a 结合选项可得a 12 时 512 012 a能被 13 整除 答案 D 4 3 若x4 x 3 8 a0 a1 x 2 a2 x 2 2 a12 x 2 12 则 log2 a1 a3 a11 解析 令x 1 28 a0 a1 a2 a11 a12 令 x 3 0 a0 a1 a2 a11 a12 28 2 a1 a3 a11 a1 a3 a11 27 log2 a1 a3 a11 log227 7 答案 7 4 2011 浙江 设二项式 6 a 0 的展开式中x3的系数为A 常数项为B 若 x a x B 4A 则a的值是 解析 由Tr 1 Cx6 r r C a rx6 r r6 a x1 2 r6 3 2 得B C a 4 A C a 2 B 4A a 0 a 2 4 62 6 答案 2 5 已知 a2 1 n展开式中的各项系数之和等于 5的展开式的常数项 而 a2 1 16 5 x2 1 x n的展开式的系数最大的项等于 54 求a的值 解 5的展开式的通项为Tr 1 C5 r r 5 rC x 令 16 5 x2 1 x r5 16 5 x2 1 x 16 5 r5 20 5r 2 20 5r 0 得r 4 故常数项T5 C 16 又 a2 1 n展开式的各项系数之和等 4 5 16 5 于 2n 由题意知 2n 16 得n 4 由二项式系数的性质知 a2 1 n展开式中系数最大 的项是中间项T3 故有 Ca4 54 解得a 2 43 6 已知 n 1 2 2x 1 若展开式中第 5 项 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式 系数最大项的系数 2 若展开式前三项的二项式系数和等于 79 求展开式中系数最大的项 解 1 C C 2C n2 21n 98 0 4n6n5n n 7 或n 14 当n 7 时 展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数为 C 423 T5的系数为 C 324 70 当n 14 时 展开式中二项式 3 7 1 2 35 24 7 1 2 系数最大的项是T8 T8的系数为 C 727 3 432 7 14 1 2 5 2 C