高中数学一轮复习 第4讲 基本不等式及不等式的应用

用心 爱心 专心1 第第4 4讲讲 基本不等式及不等式的应用基本不等式及不等式的应用 随堂演练巩固随堂演练巩固 1 设x y为正数 则的最小值为 14 xy xy A 9 B 12 C 15D 6 答案 A 解析 当且仅当y 2x时 成立 414 552 49 y x xy xyyx 2 若且x 2y 3 则的最小值为 0 x y 11 xy A 2B 3 2 C D 2 2 1 3 32 2 答案 C 解析 2 1111 3 xy xyxy 22 11 12 32 33 yy xx xyxy 当且仅当时 等号成立 2 2 1 3 2y x yx 3 下列结论正确的是 A 当x 0且时 lg 1x 1 2 lgx x B 当x 0时 1 2x x C 当时的最小值是2 2x 1 x x D 当时无最大值 02x 1 x x 答案 B 解析 当且仅当即x 1时等号成立 11 22xx xx 1 x x 4 若R R 且ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 a b A B 22 2abab 2abab C D 112 ab ab 2 ba ab 答案 D 解析 由ab 0 可知a b同号 当a 0 b 0时 B C不成立 当a b时 A不成立 由不等式的性 质可知 D成立 5 设R R 且则的最小值为 x y 0 xy 2 x 22 11 yx 2 4 y 答案 9 解析 2222 2222 111 4 545xyx y yxx y 22 22 1 2 4549x y x y 用心 爱心 专心2 课后作业夯基 基础巩固 1 若alga lgb R lg则 1 1lga lgb 2 bPQ 2 ab A R P Q B P Q R C Q P RD P Rlgb 0 lga lg即Q P 1 2 lga lgbb 又 a b 1 2 ab ab lglglga lgb 2 ab 1 2 ab 即R Q P Q R 2 下列函数中 y的最小值为4的是 A 4 yx x B R R 2 2 2 3 2 x yx x C y ee 4 x x D y sin 4 0 sinx xx 答案 C 解析 对于A 当x 0时 最小值不存在且y 0 排除A B中当且仅当1时等号成立 这样的实数x 2 2 22 2 3 1 2 2 4 22 x yx xx 2 2x 不存在 故R R 取不到最小值4 B错误 2 2 2 3 2 x y x x 同理对于D 等号成立的条件为sin这也是不可能的 2 4x 只有C y ee当且仅当e即x ln2时等号成立 函数有最小值4 4 x 4 x 2 x 3 2012山东潍坊月考 已知则f x 有 1 2 0 f xxx x A 最大值为0 B 最小值为0 C 最大值为 4 D 最小值为 4 答案 C 解析 x0 11 2 2 xx xx 1 2 24 x x 等号成立的条件是即x 1 1 x x 4 x0 是 的 22 2 xy xy A 充分不必要条件 用心 爱心 专心3 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由x0知xyc恒成立的c的取值范围是 82 1 ab A 0 10 B 0 10 C 0 18 D 0 18 答案 D 解析 82 1 ab a b 1 abab 2 a 88 2 a bb 2 8 b a 82 10102 8218 ab ba 当且仅当b 2a 12时 等号成立 c 18 又 c为正数 0 c0时 2 1 1 31 3 x xx x x 1 2x x 2 11 235 31 x xx 恒成立 2 31 x a xx 1 5 a 9 当时 函数f x log的图象恒过定点A 若点A在直线mx y n 0上 则01aa 1 1 a x 的最小值是 42 mn 答案 2 2 解析 由题意知点A 2 1 故2m n 1 2 422 422 22 2 mnmnm n 当且仅当即2m n 42 mn 即时取等号 11 24 nm 的最小值为 42 mn 2 2 10 已知函数为常数 且p 0 若f x 在上的最小值为4 则实数p的 1 p f xxp x 1 值为 答案 9 4 解析 由题意得x 1 0当且仅当时 取等号 则 1121 1 p f xxp x 1xp 解得 214p 9 4 p 11 设a b c都是正数 求证 111111 222abcbccaab 证明 a b c都是正数 11111 2 22 2 abab ab 同理可证 11111111 2 222 22bcbccaca 三式相加得 111111 222abcbccaab 当且仅当a b c时取等号 12 1 求函数y x a 2x x 0 a为大于2x的常数 的最大值 2 当点 x y 在直线x 3y 4 0上移动时 求表达式的最小值 3272 xy 解 1 x 0 a 2x y x 1 2 2 2 2 axx ax 2 2 2 2 1 228 xax a 当且仅当时取等号 故函数的最大值为 4 a x 2 8 a 2 由x 3y 4 0得x 3y 4 3 3272332 xyxy 33 2 332232 xyxy 4 2 3220 用心 爱心 专心5 当且仅当且x 3y 4 0 即时等号成立 3 33 xy 2 3 2xy 13 已知lg 3x lgy lg x y 1 1 求xy的最小值 2 求x y的最小值 解 由lg 3x lgy lg x y 1 得 0 0 31 x y xyxy 1 x 0 y 0 3121xyxyxy 3210 xyxy 即 2 3 210 xyxy 31 1 0 xyxy 1xy 1xy 当且仅当x y 1时 等号成立 xy的最小值为1 2 x 0 y 0 2 133 2 xy xyxy 2 3 4 40 xyxy 3 x y 2 x 2 0y 2xy 当且仅当x y 1时取等号 x y的最小值为2 拓展延伸 14 某单位用2 160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2 000平方米 的楼 房 经测算 如果将楼房建为层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 为 10 x x 了 使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 解 设将楼房建为x层 则每平方米的平均购地费用为 4 2160 1010800 2000 xx 每平方米的平均综合费