高中数学 2.2.2对数函数及其性质同步测控优化训练 新人教A必修1

1 2 2 22 2 2 对数函数及其性质对数函数及其性质 5 5 分钟训练分钟训练 预习类训练 可用于课前 1 函数 f x log2x 的图象是 思路解析 思路解析 考查对数函数的图象及图象变换 注意到 y log2x 的图象应是将 y log2x 的图 象位于 x 轴下方的部分翻折到 x 轴的上方 故选 A 答案 答案 A 2 若 loga 2 logb 2 0 则 a b 满足的关系是 A 1 a b B 1 b a C 0 a b 1 D 0 b a 1 思路解析 思路解析 考查 y loga x 和 y logbx 的图象 当 x 2 时 又 loga 2 logb2 0 所以 y loga x 和 y logbx 为减函数 a b 均小于 1 又由 loga 2 logb2 知 y loga x 的图象与 y logbx 的图象如下图所示 故 0 b a 1 答案 答案 D 3 函数 y loga x 2 1 a 0 且 a 1 恒过定点 思路解析 思路解析 若 x 2 1 则不论 a 为何值 只要 a 0 且 a 1 都有 y 1 答案 答案 3 1 4 函数 f x log a 1 x 是减函数 则 a 的取值范围是 思路解析 思路解析 考查对数函数的概念 性质 注意到 a 1 既受 a 1 0 且 a 1 1 的制约 又受减 函数的约束 由此可列关于 a 的不等式求 a 由题意知 0 a 1 1 1 a 2 答案 答案 1 a 2 1010 分钟训练分钟训练 强化类训练 可用于课中 1 2006 广东高考 函数 f x x x 1 3 2 lg 3x 1 的定义域是 A 3 1 B 3 1 1 C 3 1 3 1 D 3 1 思路解析 思路解析 要使函数有意义 则 013 01 x x 解得 3 1 x 1 答案 答案 B 2 若函数 f x loga x 0 a 1 在区间 a 2a 上的最大值是最小值的 3 倍 则 a 等 于 A 4 2 B 2 2 C 4 1 D 2 1 思路解析 思路解析 本题关键是利用 f x 的单调性确定 f x 在 a 2a 上的最大值与最小值 2 f x loga x 0 a 2 2 2 1 1 xx 即有1 2 1 x x1 1 2 2 x x2 0 lg 1 2 1 x x1 lg 1 2 2 x x2 即 f x1 f x2 成立 f x 在 0 上为减函数 又 f x 是定义在 R 上的奇函数 故 f x 在 0 上也为 减函数 6 作出下列函数的图象 1 y log4x 1 2 y 3 1 log x 1 思路解析 思路解析 1 y log4x 1 的图象可以看成由 y log4x 的图象经过变换而得到 将函数 y log4x 的图象在 x 轴下方部分以 x 轴为对称轴翻折上去 得到 y log4x 的图象 再将 y log4x 的图象向下平移 1 个单位 横坐标不变 就得到了 y log4x 1 的图象 2 y 3 1 log x 1 的图象可以看成由 y 3 1 logx 的图象经过变换而得到 将函数 y 3 1 logx 的图象作出右边部分关于 y 轴的对称图象 即得到函数 y 3 1 log x 的图象 再将所得图象 向左平移一个单位 就得到所求的函数 y 3 1 log x 1 的图象 解 解 函数 1 的图象作法如图 所示 函数 2 的图象作法如图 所示 4 7 函数 y lg x A 是偶函数 在区间 0 上单调递增 B 是偶函数 在区间 0 上单调递减 C 是奇函数 在区间 0 上单调递增 D 是奇函数 在区间 0 上单调递减 思路解析 思路解析 画出函数 y lg x 的草图即得答案 在画函数 y lg x 的草图时 注意应用函数 y lg x 是个偶函数 其图象关于 y 轴对称 比如列表时 要先确定对称轴 然后在对称轴 的两侧取值列表 答案 答案 B 8 已知 f x 1 logx3 g x 2logx2 试比较 f x 与 g x 的大小 思路解析 思路解析 要比较两个代数式的大小 通常采取作差法或作商法 作差时 所得差同零比 较 作商时 应先分清代数式的正负 再将商同 1 比较大小 因为本题中的 f x 与 g x 的正负不确定 所以采取作差比较法 解 解 f x 和 g x 的定义域都是 0 1 1 f x g x 1 logx3 2logx2 1 logx3 logx4 logx 4 3 x 1 当 0 x 1 时 若 0 4 3 x 1 即 0 x 3 4 此时 logx 4 3 x 0 即 0 x 1 时 f x g x 2 当 x 1 时 若 4 3 x 1 即 x 3 4 此时 logx 4 3 x 0 即 x 3 4 时 f x g x 若 4 3 x 1 即 x 3 4 此时 logx 4 3 x 0 即 x 3 4 时 f x g x 5 若 0 4 3 x 1 即 0 x 3 4 此时 logx 4 3 x 0 即 1 x 3 4 时 f x g x 综上所述 当 x 0 1 3 4 时 f x g x 当 x 3 4 时 f x g x 当 x 1 3 4 时 f x g x 快乐时光快乐时光 七个男人和一个女人七个男人和一个女人 朋友闲来无事 到街上遛达 看到有一录像点高挂着牌子 写着 今晚精彩录像 七个男人与一个女人的故事 莫失良机 朋友好奇心发作 买票进场 待人坐齐以后 开 始放映 一开场屏幕上出现了真实片名 八仙过海 3030 分钟训练分钟训练 巩固类训练 可用于课后 1 如下图 当 a 1 时 在同一坐标系中 函数 y a x与 y loga x 的图象是 思路解析 思路解析 首先把 y a x化为 y a 1 x a 1 0 a 1 1 因此 y a 1 x 即 y a x 的图象是下降的 y loga x 的图象是上升的 答案 答案 A 2 2006 福建高考 文 已知 f x 是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x lgx 设 a f 5 6 b f 2 3 c f 2 5 则 A a b c B b a c C c b a D c a b 思路解析 思路解析 由题意 a f 5 6 f 5 4 f 5 4 lg 5 4 lg 4 5 b f 2 3 f 2 1 f 2 1 lg 2 1 lg2 c f 2 5 f 2 1 lg 2 1 由于 f x lgx 在实数范围内为增函数 所以有 c a0 x x 2 或 x2 GF 答案 答案 A 4 已知函数 f x log2 x2 ax 3a 在 2 上是增函数 则实数 a 的取值范围是 A 4 B 4 4 6 C 4 2 D 4 4 思路解析 思路解析 解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数 令 u x x2 ax 3a 其对称轴 x 2 a 由题意有 2 2 0324 2 a aau 解得 41 的反函数是 A y 12 2 x x x 0 B y 12 2 x x x0 D y x x 2 12 x0 由于 y log2 1 x x x 1 log2 1 x x log2 1 1 1 x 所以 1 1 1 x 2y x 12 1 y 1 12 2 y y 将 x y 对调 可得反函数为 y 12 2 x x x 0 答案 答案 A 6 已知函数 f x loga bx bx a 1 且 b 0 1 求 f x 的定义域 2 判断函数的奇偶性 3 判断 f x 的单调性 并用定义证明 思路解析 思路解析 本题考查定义域 单调性的求法及判断方法 注意要利用定义求解 解 解 1 由 0 0 bx bx bx 解得 x b 或 x b 函数 f x 的定义域为 b b 2 由于 f x loga bx bx loga bx bx loga bx bx 1 loga bx bx f x 所以 f x 为奇函数 3 设 x1 x2是区间 b 上任意两个值 且 x1 x2 则 bx bx 2 2 bx bx 1 1 2 12 21 12 2 1212 2 1212 bxbx xxb bxbx bbxbxxxbbxbxxx 7 b 0 x1 x2 0 x2 b 0 x1 b 0 bx bx 2 2 bx bx 1 1 0 bx bx 2 2 bx bx 1 1 又 a 1 时 函数 y loga x 是增函数 loga bx bx 2 2 loga bx bx 1 1 即 f x2 f x1 函数 f x 在区间 b 上是减函数 同理 可证 f x 在 b 上也是减函 数 7 已知 f x loga x x 1 1 a 0 且 a 1 1 求函数的定义域 2 讨论函数的单调性 3 求使 f x 0 的 x 的取值范围 解 解 1 由 x x 1 1 0 得 1 x 1 函数的定义域为 1 1 2 对任意 1 x1 x2 1 1 1 1 1 x x 2 2 1 1 x x 1 1 2 21 21 xx xx 0 1 1 1 1 x x 1 时 loga 1 1 1 1 x x loga 2 2 1 1 x x 即 f x1 f x2 当 0 aloga 2 2 1 1 x x 即 f x1 f x2 当 a 1 时 f x 为 1 1 上的增函数 当 0 a0 loga 1 当 a 1 时 x x 1 1 1 即 x x 1 1 1 x x 1 2 0 2x x 1 0 0 x 1 当 0 a 1 时 1 1 1 0 1 1 x x x x 解得 1 x1 时 f x 0 的解为 0 1 当 0 a0 的解为 1 0 8 8 设函数 f x x2 x b 且 f log2a b log2 f a 2 a 1 求 f log2x 的 最小值及对应的 x 的值 思路解析 思路解析 关键是利用已知的两个条件求出 a b 的值 解 解 由已知得 2 log loglog 2 2 2 2 2 baa bbaa 即 2 1 4 0 1 loglog 2 2 2 baa aa 由 得 log2a 1 a 2 代入 得 b 2 f x x2 x 2 f log2x log22x log2x 2 log2x 2 1 2 4 7 当 log2x 2 1 时 f log2x 取得最小值 4 7 此时 x 2 9 设 a 0 对于函数 f x log3 ax2 x a 1 若 x R R 求实数 a 的取值范围 2 若 f x R R 求实数 a 的取值范围 思路解析 思路解析 f x 的定义域是 R 等价于 ax2 x a 0 对一切实数都成立 而 f x 的值域 为 R 等价于其真数 ax2 x a 能取遍大于 0 的所有实数值 1 与 2 虽只有一字之差 但结果却大不相同 解 解 1 f x 的定义域为 R 则 ax2 x a 0 对一切实数 x 恒成立 其等价条件是 0 41 0 2 a a 解得 a 2 1 2 f x 的值域为 R 则真数 ax2 x a 能取遍大于 0 的所有实数 其等价条件是 0 41 0 2 a a 解得 0 a 2 1 10 已知 a 0 且 a 1 f loga x 1 2 a a x x 1 1 试证明函数 y f x 的单调性 2 是否存在实数 m 满足 当 y f x 的定义域为 1 1 时 有 f 1 m f 1 m2 0 若存在 求出其取值范围 若不存在 请说明理由 3 若函数 f x 4 恰好在 2 上取负值 求 a 的值 1 证明 证明 由 f loga x 1 2 a a x x 1 得 f x 1 2 a a ax a x x R R 任取 x11 时 1 x a0 0 a 2 x a a2 1 0 综上可得 f x1 f x2 即函数为减函数 2 解 解 因为 f x 1 2 a a ax a x f x 即函数为奇函数 f 1 m f 1 9 m2 0 可转化为 f 1 m f m2 1 所以 1 1 111 111 2 2 mm m m 解得 1 m 2 3 解 解 f x 4 恰好在 2 的值为负 即当 x 2 时 有 f x 41 b 0 1 求 y f x 的定义域 2 在函数图象上是否存在不同两点 使过这两点的直线平行于 x 轴 思路解析 思路解析 2 的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题 解 解 1 由 ax bx 0 得 b a x 1 b a 0 b a 1 x 0 函数的定义域为 0 2 先证明 f x 是增函数 对于任意 x1 x2 0 a 1 b 0 1 x a 2 x a 1 x b 2 x a 2 x b lg 1 x a 1 x b lg 2 x a 2 x b f x1 f x2 f x 在 0 上为增函数 假设 y f x 上存在不同的两点 A x1 y1 B x2 y2 使直线 AB 平行于 x 轴 则 x1 x2 y1 y2 这与 f x 是增函数矛盾 y f x 的图象上不存在两点 使过这两点的直线平行于 x 轴 12 2006 年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声 某报记者用仪器测量到最响亮的一 次音量达到了 90 1 分贝 分贝是计量声音强度相对大小的单位 物理学家引入了声压级 spl 来描述声音的大小 把一很小的声压 P0 2 10 5帕作为参考声压 把所要测量的声 压 P 与参考声压 P0的比值取常用对数后乘以 20 得到的数值称为声压级 声压级是听力学中 最重要的参数之一 单位是分贝 dB 分贝值在 60 以下为无害区 60 110 为过渡区 110 以上为有害区 1 根