【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第二章 函数2．5指数与指数函数教学案 理 新人教A版

1 2 52 5 指数与指数函数指数与指数函数 考考纲纲要要求求 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 理解指数函数的单调性 掌握指数函数图象通过的特殊点 4 知道指数函数是一类重要的函数模型 1 根式 1 根式的概念 2 两个重要公式 Error n an n n 1 且n N N 注意a必须使有意义 n a n a 2 实数指数幂 1 分数指数幂的表示 正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n N N n 1 m n a 正数的负分数指数幂的意义是 a 0 m n N N n 1 m n a 1 n am 0 的正分数指数幂是 0 的负分数指数幂无意义 2 有理指数幂的运算性质 aras a 0 r s Q Q ar s a 0 r s Q Q ab r a 0 b 0 r Q Q 3 无理指数幂 一般地 无理指数幂a a 0 是无理数 是一个 的实数 有理指数幂的运算 法则 于无理指数幂 3 指数函数的图象和性质 函数y ax a 0 且a 1 0 a 1a 1 图象 2 在x轴 过定点 图象特征当x逐渐增大时 图象逐渐 下降 当x逐渐增大时 图象逐渐 上升 定义域 值域 单调性在 R R 上 在 R R 上 当x 0 时 性 质 函数值变 化规律 当x 0 时 当x 0 时 当x 0 时 当x 0 时 1 化简 x 0 y 0 得 4 16x8y4 A 2x2y B 2xy C 4x2y D 2x2y 2 函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则有 A a 1 或a 2 B a 1 C a 2 D a 0 且a 1 3 把函数y f x 的图象向左 向下分别平移 2 个单位长度得到函数y 2x的图象 则 A f x 2x 2 2B f x 2x 2 2 C f x 2x 2 2D f x 2x 2 2 4 函数y 0 a 1 图象的大致形状是 xax x 5 函数f x m a 1 恒过点 1 10 则m 2 23xx a 一 指数式与根式的计算 例 1 计算下列各式的值 1 10 2 1 0 2 3 27 8 1 2 0 002 523 2 1 0 1 5 239 4 5 3 a 0 b 0 3322 1111 4 3342 a bab a ba b 方法提炼方法提炼 指数幂的化简与求值 1 化简原则 化根式为分数指数幂 化负指数幂为正指数幂 化小数为分数 注意运算的先后顺序 提醒 提醒 有理数指数幂的运算性质中 其底数都大于零 否则不能用性质来运算 2 结果要求 若题目以根式形式给出 则结果用根式表示 若题目以分数指数幂 的形式给出 则结果用分数指数幂的形式表示 结果不能同时含有根式和分数指 数幂 也不能既有分母又有负分数指数幂 请做演练巩固提升 4 二 指数函数的图象与性质的应用 3 例 2 1 在同一坐标系中 函数y 2x与y x的图象之间的关系是 1 2 A 关于y轴对称 B 关于x轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线y x对称 例 2 2 已知函数f x 2 43 1 3 axx 1 若a 1 求f x 的单调区间 2 若f x 有最大值 3 求a的值 例 2 3 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 方法提炼方法提炼 1 与指数函数有关的函数的图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 2 如图是指数函数 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的图象 底数 a b c d与 1 之间的大小关系及规律如下 图中直线x 1 与它们图象交点的纵坐标即 为它们各自底数的值 即c1 d1 1 a1 b1 c d 1 a b 即无论在y轴的左侧还 是右侧 底数按逆时针方向变大 3 与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 1 求复合函数的定义域 2 弄清函数是由哪些基本函数复合而成的 3 分层逐一求解函数的单调性 4 求出复合函数的单调区间 注意 同增异减 4 函数y af x 的值域的求解 先确定f x 的值域 再根据指数函数的单调性确定 y af x 的值域 请做演练巩固提升 2 三 指数函数的综合应用 例 3 已知f x ax a x a 0 且a 1 a a2 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 方法提炼方法提炼 1 利用指数函数的性质解决相关的综合问题时 要特别注意底数a的取值范围 并在 必要时进行分类讨论 2 解决恒成立问题 一般需通过分离变量 通过转化为求函数的最值来实现 请做演练巩固提升5 忽略 0 a 1 或弄错x的范围而致误 典例 12 分 已知函数y b a b是常数且a 0 a 1 在区间 2 2xx a 上有ymax 3 ymin 试求a b的值 3 2 0 5 2 分析 分析 先确定t x2 2x在上的值域 再分a 1 0 a 1 两种情况讨论 构 3 2 0 建关于a b的方程组求解 4 规范解答 规范解答 x 3 2 0 t x2 2x x 1 2 1 值域为 1 0 即t 1 0 2 分 1 若a 1 函数y at在 1 0 上为增函数 at 则b 1 a 1 2 2xx a b 1 a b 1 依题意得Error 解得Error 7 分 2 若 0 a 1 函数y at在 1 0 上为减函数 at 则b 9 分 1 1 a 2 2xx a b 1 b 1 a 依题意得Error 解得Error 综上 所求a b的值为Error 或Error 12 分 答题指导 答题指导 1 在解答本题时 有两大误区 1 误将x的范围当成x2 2x的范围 从而造成失误 2 误认为a 1 只按第 1 种情况求解 而忽略了 0 a 1 的情况 从而造成失误 2 利用指数函数的图象 性质解决有关问题时 还有以下几个误区 在备考中要高度 关注 1 忽视函数的定义域而失误 2 未能将讨论的结果进行整合而失误 3 利用幂的运算性质化简指数式时失误 4 在用换元法时忽视中间元的范围而失误 1 2012 天津高考 已知a 21 2 b 0 8 c 2log52 则a b c的大小关系为 1 2 A c b a B c a b C b a c D b c a 2 在同一个坐标系中画出函数y ax y sin ax的部分图象 其中a 0 且a 1 则下列所给图象中可能正确的是 3 类比 两角和与差的正 余弦公式 的形式 对于给定的两个函数 S x C x 其中a 0 且a 1 下面正确的运算公式是 ax a x 2 ax a x 2 S x y S x C y C x S y S x y S x C y C x S y C x y C x C y S x S y C x y C x C y S x S y A B C D 4 计算 lg 1 4 lg 25 1 2 100 5 5 若函数y 为奇函数 a 2x 1 a 2x 1 1 求a的值 2 求函数的定义域 3 讨论函数的单调性 6 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 xn a 正数 负数 两个 相反数 2 a a a a 2 1 0 2 ar s n am 1 m n a ars arbr 3 确定 同样适用 3 上方 0 1 R R 0 递减 递增 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 基础自测基础自测 1 D 解析 解析 4 16x8y4 1 84 4 16 x y 1 484 4 2 xy 111 484 444 2 xy 2 x 2 y 2x2y 2 C 解析 解析 由已知 得Error 即Error a 2 3 C 解析 解析 因为将函数y 2x的图象向上平移 2 个单位长度得到函数y 2x 2 的图 象 再向右平移 2 个单位长度得到函数y 2x 2 2 的图象 所以 函数f x 的解析式为 f x 2x 2 2 4 D 解析 解析 当x 0 时 y ax 当x 0 时 y ax 故选 D 5 9 解析 解析 f x m在x2 2x 3 0 时过定点 1 1 m 或 3 1 m 2 23xx a 1 m 10 解得m 9 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 1 原式 21 32 27110 1 850052 10 2 1 2 1 3 2 8 500 27 5 10 10 20 1 4 955 167 9 2 原式 2 1 5 r 5 2 2 2 1 2 1 55 3 原式 ab 1 121 32 332 11 2 33 a b a b ab a b 3 1111 112 26333 ab 例 2 1 A 解析 解析 y x 2 x 1 2 它与函数y 2x的图象关于y轴对称 例 2 2 解 1 当a 1 时 f x 2 43 1 3 xx 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 7 而y g x 在 R R 上单调递减 1 3 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的递增区间是 2 递减区间是 2 2 令h x ax2 4x 3 y h x 1 3 由于f x 有最大值 3 所以h x 应有最小值 1 因此必有Error 解得a 1 即当f x 有最大值 3 时 a的值等于 1 例 2 3 解 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位长 度后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 当k 0 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0 或k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有唯一的交点 所以方程有 一解 当 0 k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同交点 所以方程有两 解 例 3 解 1 函数定义域为 R R 关于原点对称 又 f x a x ax f x a a2 1 f x 为奇函数 2 当a 1 时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 f x 为增函数 当 0 a 1 时 a2 1 0 y ax为减函数 y a x为增函数 从而y ax a x为减函数 f x 为增函数 故当a 0 且a 1 时 f x 在定义域内单调递增 3 由 2 知f x 在 R R 上是增函数 f x 在区间 1 1 上为增函数 f 1 f x f 1 f x min f 1 a 1 a a a2 1 1 a a2 1 1 a2 a 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 演练巩固提升演练巩固提升 1 A 解析 解析 a 21 2 b 0 8 20 8 1 2 21 2 20 8 1 a b 1 c 2log52 log54 1 c b a 2 D 解析 解析 若a 1 则y ax是增函数 且y sin ax的周期T 2 2 a 8 若 0 a 1 则y ax是减函数 且y sin ax的周期T 2 2 a 3 A 解析 解析 S x y S x C y C x S y ax y a x y 2 ax a x 2 ay a y 2 ax a x 2 ay a y 2 ax y ax y ay x a x y 4 S x y ax y ax y ay x a x y 4 2ax y 2a x y 4 ax y a x y 2 故 正确 同理可知 也正确 故选 A 4 20 解析 解析 lg lg 25 lg 1 4 1 2 100 1 4 1 25 1 2 1 100 lg lg 10 2 2 10 20 1 100 1 100100 5 解 函数y a 2x 1 a 2x 1 y a 1 2x 1 1 由奇函数的定义 可得f x f x 0 即a a 0 1 2 x