高中数学奥林匹克竞赛讲座 09圆

1 竞赛讲座竞赛讲座 0909 圆 圆 基础知识基础知识 如果没有圆 平面几何将黯然失色 圆是一种特殊的几何图形 应当掌握圆的基本性质 垂线定理 直线与圆的位置关系 和圆有关的角 切线长定理 圆幂定理 圆和圆的位置关系 多边形与圆的位置关系 圆的几何问题不是独立的 它与直线形结合起来 将构成许多丰富多彩的 漂亮的几何 问题 三角形的心 几何著名的几何定理 共圆 共线 共点 直线形 将构成圆 的综合问题的基础 本部分着重研究下面几个问题 1 角的相等及其和 差 倍 分 2 线段的相等及其和 差 倍 分 3 二直线的平行 垂直 4 线段的比例式或等积式 5 直线与圆相切 6 竞赛数学中几何命题的等价性 命题分析 例 1 已知A为平面上两个半径不等的 1 O和 2 O的一个交点 两圆的外公切线分别 为 2121 QQPP 1 M 2 M分别为 11Q P 22Q P的中点 求证 2121 AMMAOO 例 2 证明 唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形 例 3 延长AB至D 以AD为直径作半圆 圆心为H G是半圆上一点 ABG 为 锐角 E在线段BH上 Z在半圆上 EZ BG 且 2 EZEDEH BT HZ 求 证 ABGTBG 3 1 例 4 求证 若一个圆外切四边形有两条对边相等 则圆心到另外两边的距离相等 例 5 设A 是 ABC中最小的内角 点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧 U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点 线段AB和AC的垂直平分线分别 交线段AU于V和W 直线BV和CW相交于T 证明 TCTBAU 例 6 菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于HGFE 在 EF与 GH上分别作 O切线交AB于M 交BC于N 交CD于P 交DA于Q 求证 MQ NP 例 7 1 O和 2 O与 ABC的三边所在直线都相切 HGFE 为切点 并且 FHEG 的延长线交于点P 求证 直线PA与BC垂直 例 8 在圆中 两条弦CDAB 相交于E点 M为弦AB上严格在E B之间的 2 点 过MED 的圆在E点的切线分别交直线BC AC于GF 已知t AB AM 求 EF CE 用t表示 例 9 设点D和E是 ABC的边BC上的两点 使得CAEBAD 又设M和 N分别是 ABD ACE的内切圆与BC的切点 求证 NENCMDMB 1111 例 10 设 ABC满足 90A CB 过A作 ABC外接圆W的切线 交 直线BC于D 设A关于直线BC的对称点为E 由A到BE所作垂线的垂足为X AX的中点为Y BY交W于Z点 证明直线BD为 ADZ外接圆的切线 例 11 两个圆 1 和 2 被包含在圆 内 且分别现圆 相切于两个不同的点M和N 1 经过 2 的圆心 经过 1 和 2 的两个交点的直线与 相交于点A和B 直线MA和直线 MB分别与 1 相交于点C和D 求证 CD与 2 相切 例 12 已知两个半径不相等的 1 O和 2 O相交于M N两点 且 1 O 2 O分别 与 O内切于S T两点 求证 MNOM 的充要条件是S N T三点共线 例 13 在凸四边形ABCD中 AB与CD不平行 1 O过A B且与边CD相切于点 P 2 O过C D且与边AB相切于点Q 1 O和 2 O相交于E F 求证 EF平分 线段PQ的充要条件是BC AD 例 14 设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直 且两对边AB与CD不平 行 点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点 且在四边形的内部 求证 A B C D四点共圆的充要条件为 PCDPAB SS 训练题 1 ABC内接于 O 90BAC 过B C两点 O的切线交于P M为 BC的中点 求证 1 BAC AP AM cos 2 PACBAM 2 已知CBA 分别是 ABC外接圆上不包含CBA 的弧 ABCABC 的中点 BC分别和AC BA 相交于M N两点 CA分别和BA CB 相交于P Q两点 AB分别和CB AC 相交于R S两点 求证 RSPQMN 的充要条件是 ABC为等边三角形 3 以 ABC的边BC为直径作半圆 与AB CA分别 交于点D和E 过D E作 BC的垂线 垂足分别为F G 线段DG EF交于点M 求证 BCAM 4 在 ABC中 已知B 内的旁切圆与CA相切于D C 内的旁切圆与AB相切于 E 过DE和BC的中点M和N作一直线 求证 直线MN平分 ABC的周长 且与 3 A 的平分线平行 5 在 ABC中 已知 过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F 在BC边 上取点P使得BCBP 3 求证 BBFP 2 1 6 半圆圆心为O 直径为AB 一直线交半圆于DC 交AB于M MDMCMAMB 设K是 AOC与 DOB的外接圆除点O外之另一交点 求证 MKO 为直角 7 已知 AD是锐角 ABC的角平分线 BAC ADC 且 2 coscos 求证 DCBDAD 2 8 M为 ABC的边AB上任一点 rrr 21 分别为 AMC BMC ABC的内 切圆半径 21 分别为这三个三角形的旁切圆半径 在ACB 内部 求证 rrr 2 2 1 1 9 设D是 ABC的边BC上的一个内点 AD交 ABC外接圆于X P Q是 X分别到AB和AC的垂足 O是直径为XD的圆 证明 PQ与 O相切当且仅当 ACAB 10 若AB是圆的弦 M是AB的中点 过M任意作弦CD和EF 连DECD 分别 交AB于YX 则MYMX 11 设H为 ABC的垂心 P为该三角形外接圆上的一点