【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点22 等差数列（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 2222 等差数列 解析版 等差数列 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 等差树立的定义 通项 前 n 项和与性质 等差数列性质的应用 二二 知识梳理知识梳理 1 1 等差数列的定义等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差 数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 2 2 等差数列的判定方法等差数列的判定方法 定义法 对于数列 n a 若daa nn 1 常数 则数列 n a是等差数列 等差中项 对于数列 n a 若 21 2 nnn aaa 则数列 n a是等差数列 3 3 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列 n a的首项是 1 a 公差是d 则等差数列的通项为dnaan 1 1 该公式整理 后是关于 n 的一次函数 4 4 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 2 1n n aan S d nn naSn 2 1 1 对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 5 等差中项等差中项 如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头即 2 ba A 或baA 2 在一个等差数列中 从第 2 项起 每一项 有穷等差数列的末项除外 都是它的前一项与后一项 的等差中项 事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 6 6 等差数列的性质等差数列的性质 等差数列任意两项间的关系 如果 n a是等差数列的第n项 m a是等差数列的第m项 且nm 公差为d 则有dmnaa mn 对于等差数列 n a 若qpmn 则 qpmn aaaa 也就是 23121nnn aaaaaa 若数列 n a是等差数列 n S是其前 n 项的和 Nk 那么 k S kk SS 2 kk SS 23 成等差 数列 如下图所示 2 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 7 7 奇数项和与偶数项和的关系 奇数项和与偶数项和的关系 设数列 n a是等差数列 奇 S是奇数项的和 偶 S是偶数项项的和 n S是前 n 项的和 则有如下 性质 前 n 项的和 偶奇 SSSn 当 n 为偶数时 d 2 n S 奇偶 S 其中 d 为公差 当 n 为奇数时 则 中偶奇 aS S 中奇 a 2 1n S 中偶 a 2 1n S 1 1 S S n n 偶 奇 n 偶奇 偶奇 偶奇 SS SS SS Sn 其中 中 a是等差数列的中间一项 8 8 前前 n n 项和与通项的关系 项和与通项的关系 若等差数列 n a的前12 n项的和为 12 n S 等差数列 n b的前12 n项的和为 12 n S 则 12 12 n n n n S S b a 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 等差数列的通项等差数列的通项 例 1 1 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 点 n Sn n N 在函数 f x 3x2 2x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 3 an an 1 解析 1 由已知点 n Sn n N 在函数 f x 3x2 2x 的图象上 可得 Sn 3n2 2n 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当 n 1 时 a1 S1 1 也适合上式 an 6n 5 2 bn 3 anan 1 3 6n 5 6n 1 1 2 1 6n 5 1 6n 1 Tn 1 2 1 1 1 7 1 7 1 13 1 6n 5 1 6n 1 1 1 2 1 6n 1 1 2 1 12n 2 2 2 如果一个等差数列的前 12 项和为 354 前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32 27 求公差 3 分析 等差数列的奇数项成等差数列 偶数项也成等差数列 等差数列中通项公式和前 n 项和公 式中五个量 nn aSnda 1 只要知道其中三个 就可以求其它两个 而da 1 是基本量 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 设等差数列首项为 1 a 公差为 d 则 5 2 025 3546612 27 32 256 2 1 6 256 2 1 6 3541112 2 1 12 1 1 1 1 1 1 d a da da da dda da 2 2 等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和 例 2 设 an 是公比为正数的等比数列 a1 2 a3 a2 4 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 an bn 的前 n 项和 Sn 解析 1 设等比数列 an 的公比为 q 由 a1 2 a3 a2 4 得 2q2 2q 4 即 q2 q 2 0 解得 q 2 或 q 1 舍 q 2 an a1 qn 1 2 2n 1 2n 2 数列 bn 1 2 n 1 2n 1 Sn n 1 2 2 1 2n 1 2 n n 1 2 2n 1 n2 2 3 3 等差数列性质的应用等差数列性质的应用 例 3 1 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 则 S4 S8 1 3 S8 S16 A B C D 1 8 1 3 1 9 3 10 答案 D 解析 设 a1 a2 a3 a4 A1 a5 a6 a7 a8 A2 a9 a10 a11 a12 A3 a13 a14 a15 a16 A4 数列 an 为等差数列 A1 A2 A3 A4也成等差数列 不妨设 A1 1 则 S4 S8 A1 A1 A2 1 3 A2 2 A3 3 A4 4 故选 D S8 S16 A1 A2 A1 A2 A3 A4 1 2 1 2 3 4 3 10 2 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为 44 偶数项之和为 33 求这个数列的中间项及项数 解 设数列共 2m 1 m N 把该数列记为 an 依题意 a1 a3 a2m 1 44 且 a2 a4 a2m 33 4 即 2 m a2 a2m 33 1 2 1 m a1 a2m 44 2 1 2 得 4 3 1 m m m 3 代入 1 得 a2 a2m 22 am 1 2 22m aa 11 即该数列有 7 项 中间项为 11 4 4 有关等差数列的最值问题有关等差数列的最值问题 例 4 1 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头已知 a3 12 S12 0 S13 0 求公差 d 的取值范围 指出 S1 S2 S12 中哪一个值最大 并说明理由 解 依题意 有 0 2 112 12 12 112 daS 0 2 113 13 13 113 daS 即 2 06 1 0112 1 1 da da 由 a3 12 得 a1 12 2d 3 将 3 式分别代入 1 2 式 得 03 0724 d d 3 7 24 d 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由 d 0 可知 a1 a2 a3 a12 a13 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 因此 若在 1 n 12 中存在自然数 n 使得 an 0 an 1 0 则 Sn就是 S1 S2 S12中的最大值 由于 S12 6 a6 a7 0 S13 13a7 0 即 a6 a7 0 a7 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 由此得 a6 a7 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头因为 a6 0 a7 0 故在 S1 S2 S12中 S6的值最大 2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn且 S15 0 S16 0 则 中最大的是 S1 a1 S2 a2 S15 a15 A B C D S15 a15 S9 a9 S8 a8 S1 a1 答案 C 解析 Error Error Error 0 S1 S2 S9 S10 S15 0 S16 a1 a2 a8 0 a9 最大 故选 C S8 a8 5 5 等差数列的综合运用等差数列的综合运用 例 5 1 1 在直角坐标平面上有一点列 222111nnn yxPyxPyxP 对一切正整数n 点 n P位 5 于函数 4 13 3 xy的图象上 且 n P的横坐标构成以 2 5 为首项 1 为公差的等差数列 n x 求点 n P的坐标 设抛物线列 321n cccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴 第n条抛物线 n c的顶点为 n P 且过点 1 0 2 nDn 记与抛物线 n c相切于 n D的直线的斜率为 n k 求 nn kkkkkk 13221 111 设 1 4 1 2 nyyyTnNnxxxS nn 等差数列 n a的任一项TSan 其中 1 a是TS 中的最大数 125265 10 a 求 n a的通项公式 解 1 2 3 1 1 2 5 nnxn 135 33 44 nn yxn 35 3 24 n Pnn 2 n c 的对称轴垂直于x轴 且顶点为 n P 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 n c的方程为 4 512 2 32 2 nn xay 把 1 0 2 nDn代入上式 得1 a n c 的方程为 1 32 22 nxnxy 32 0 nyk xn 32 1 12 1 2 1 32 12 11 1 nnnnkk nn nn kkkkkk 13221 111 32 1 12 1 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 nn 64 1 10 1 32 1 5 1 2 1 nn 3 1 32 nNnnxxS 1 512 nNnnyyT 1 3 16 2 nNnnyy STT T 中最大数17 1 a 6 设 n a公差为d 则 125 265 917 10 da 由此得 248 12 9 d 12 24 724 n n aTdm mN dan nN 又 说明 本例为数列与解析几何的综合题 难度较大 1 2 两问运用几何知识算出 n k 解决 3 的关键在于算出ST 及求数列 n a的公差 2 2 已知等差数列 an 中 公差 d 0 前 n 项和为 Sn a2 a3 45 a1 a5 18 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn n N 是否存在一个非零常数 c 使数列 bn 也为等差数列 若存在 求出 c 的 Sn n c 值 若不存在 请说明理由 分析 第 1 问是求等差数列的通项公式 需要知道首项 a1和公差 d 的值 由条件 a2 a3 45 a1 a5 18 建立方程组不难求得 第 2 问是构造一个等