带电粒子在磁场中的临界问题解题方法

1 带电粒子在磁场中的临界问题解题方法带电粒子在磁场中的临界问题解题方法 带电粒子在磁场中的运动 是历年高考中的一个重要考点 而 带电粒子在有界磁 场中的运动 则是此考点中的一个难点 其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运 动一段圆弧就飞出磁场边界 其轨迹不是完整的圆 它要求考生根据带电粒子运动的几何 图形去寻找几何关系 然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题 下面举例谈谈带 电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题 一 带电粒子在磁场中运动的基本分析方法一 带电粒子在磁场中运动的基本分析方法 1 圆心的确定 圆心的确定 因为洛伦兹力 F 指向圆心 根据 F v 画出粒子运动轨迹中任意两点 一般是射入和 射出磁场两点 先作出切线找出 v 的方向再确定 F 的方向 沿两个洛伦兹力 F 的方向画 其延长线 两延长线的交点即为圆心 或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上 作 出圆心位置 如图 1 所示 2 半径的确定和计算 半径的确定和计算 利用平面几何关系 求出该圆的可能半径 或圆心角 并注意以下两个重要的几何 特点 粒子速度的偏向角 等于转过的圆心角 并等于 AB 弦与切线的夹角 弦切角 的 2 倍 如图 2 所示 即 2 相对的弦切角 相等 与相邻的弦切角 互补 即 180 3 粒子在磁场中运动时间的确定 粒子在磁场中运动时间的确定 若要计算转过任一段圆弧所用的时间 则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角 利 用圆心角 与弦切角的关系 或者利用四边形内角和等于 360 计算出圆心角 的大小 并由表达式 确定通过该段圆弧所用的时间 其中 T 即为该粒子做圆周运动的周Tt 2 期 转过的圆心角越大 所用时间 t 越长 注意 t 与运动轨迹的长短无关 4 带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析 2 穿过矩形磁场区 穿过矩形磁场区 如图 3 所示 一定要先画好辅助线 半径 速度及延长线 a 带电粒子在穿过磁场时的偏向角由 sin L R 求出 L 和 R 见图标 b 带电粒子的侧移由 解出 y 见所图标 222 yRLR c 带电粒子在磁场中经历的时间由得出 Bq m t 穿过圆形磁场区 穿过圆形磁场区 如图 4 所示 画好辅助线 半径 速度 轨迹圆的圆心 连心线 a 带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由 求出 r 和 R 见图标 R r 2 tan b 带电粒子在磁场中经历的时间由得出 Bq m t 二 带电粒子在有界磁场中运动类型的分析二 带电粒子在有界磁场中运动类型的分析 1 给定有界磁场 给定有界磁场 1 确定入射速度的大小和方向 判定带电粒子出射点或其它 确定入射速度的大小和方向 判定带电粒子出射点或其它 例 1 如图 5 所示 在 yl R 如图 9 所示 因朝不同方向发射的 粒子的圆轨迹都过 S 由此可知 某一圆轨迹在图中 N 左侧 与 ab 相切 则此切点 P1就是 粒子能打中的左侧最远点 为定出 P1点的位置 可作平行于 ab 的直线 cd cd 到 ab 的 距离为 R 以 S 为圆心 R 为半径 作弧交 cd 于 Q 点 过 4 Q 作 ab 的垂线 它与 ab 的交点即为 P1 22 1 RlRNP 再考虑 N 的右侧 任何 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2R 以 2R 为半径 S 为圆心作圆 交 ab 于 N 右侧的 P2点 此即右侧能打到的最远点 由图中几何关系得 22 2 2 lRNP 所求长度为 P1P2 NP1 NP2 代入数值得 P1P2 20cm 点评点评 本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小 其对应的轨迹半径也 就确定了 但由于入射速度的方向发生改变 从而改变了该粒子运动轨迹图 导致粒子的 出射点位置变化 在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图 对应的临界 状态的速度的方向 再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围 2 给定动态有界磁场 给定动态有界磁场 1 确定入射速度的大小和方向 判定粒子出射点的位置 确定入射速度的大小和方向 判定粒子出射点的位置 例 4 在以坐标原点 O 为圆心 半径为 r 的圆形区域内 存在磁感应强度大小为 B 方向垂直于纸面向里的匀强磁场 如图 10 所示 一个不计重力的带电粒子从磁场边界 与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿 x 方向射入磁场 恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿 y 方 向飞出 1 请判断该粒子带何种电荷 并求出其比荷 q m 2 若磁场的方向和所在空间范围不变 而磁感应强度 的大小变为 B 该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场 但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60 角 求 磁感应强度 B 多大 此次粒子在磁场中运动所用时间 t 是多 少 解析解析 1 由粒子的飞行轨迹 利用左手定则可知 该 粒子带负电荷 如图 11 所示 粒子由 A 点射入 由 C 点飞出 其速度方 向改变了 90 则粒子轨迹半径 r R 又 R v mBqv 2 则粒子的荷质比为 Br v m q 2 粒子从 D 点飞出磁场速度方向改变了 60 角 故 AD 弧所对圆心角 60 粒子做圆周运动的半径 又 所以 Bq mv R BB 3 3 5 粒子在磁场中飞行时间 v r Tt 3 3 6 1 点评点评 本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小和方向 但由于有界磁 场发生改变 包括磁感应强度的大小或方向的改变 从而改变了该粒子在有界磁场中运动 的轨迹图 导致粒子的出射点位置变化 在处理这类问题时重点是画出磁场发生改变后粒 子运动的轨迹图 再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射点的位置 2 确定入射速度和出射速度的大小和方向 判定动态有界磁场的边界位置 确定入射速度和出射速度的大小和方向 判定动态有界磁场的边界位置 例 5 如图 12 所示 一带电质点 质量为 m 电量为 q 以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第一象限所示 的区域 为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出 可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面 磁感应强度为 B 的匀强磁场 若此磁场仅分布在一个圆形区域内 试求这圆形磁 场区域的最小半径 重力忽略不计 解析解析 质点在磁场中作半径为 R 的圆周运动 qvB Mv2 R 得 R MV qB 根据题意 质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R 的圆上的 1 4 圆周 这段圆弧应与 入射方向的速度 出射方向的速度相切 如图 13 所示 过 a 点作平行于 x 轴的直线 过 b 点作平行于 y 轴的直线 则与这两直线均相距 R 的 O 点就是圆周的圆心 质点在磁场区 域中的轨道就是以 O 为圆心 R 为半径的圆 图中虚线圆 上的圆弧 MN M 点和 N 点 应在所求圆形磁场区域的边界上 在通过 M N 两点的不同的圆周中 最小的一个是以 MN 连线为直径的圆周 所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径 为 Bq mv MNr 2 2 2 1 所求磁场区域如图 13 所示中实线圆所示 点评点评 本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度和出射速度的大小和方向 但 由于有界磁场发生改变 磁感应强度不变 但磁场区域在改变 从而改变了该粒子在有界 磁场中运动的轨迹图 导致粒子的出射点位置变化 在处理这类问题时重点是画出磁场发 生改变后粒子运动的轨迹图 确定临界状态的粒子运动轨迹图 再利用轨迹半径与几何关 系确定对应的磁场区域的位置