考前最后一轮基础知识巩固之第八章第1课直线的方程

第 1 课 直线的方程 考点导读 理解直线倾斜角 斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 掌握直线方程的几种形 式 能根据条件 求出直线的方程 高考中主要考查直线的斜率 截距 直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线 方程 属中 低档题 多以填空题和选择题出现 每年必考 基础练习 1 直线 xcos y 2 0 的倾斜角范围是3 5 0 66 2 过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3 2 P 10320 或xyxy 3 直线 l 经过点 3 1 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 则直线 l 的方程为 42 或yxyx 4 无论取任何实数 直线必经过一定点 P 则 P 的坐k 14232 140k xk yk 标为 2 2 5 已知直线 l 过点 P 5 4 且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 个平方单位 求直线 l 的方 程 28 612 55 或yxyx 范例导析 例例 1 1 已知两点 A 1 2 B m 3 1 求直线 AB 的斜率 k 2 求直线 AB 的方程 3 已知实数 m 求直线 AB 的倾斜角 的取值范围 3 1 31 3 分析 运用两点连线的子斜率公式解决 要注意斜率不存在的情况 解 1 当 m 1 时 直线 AB 的斜率不存在 当 m 1 时 1 1 k m 2 当 m 1 时 AB x 1 当 m 1 时 AB 1 21 1 yx m 3 当 m 1 时 2 当 m 1 时 13 3 13 k m 2 6 223 故综合 得 直线 AB 的倾斜角 2 63 点拨 本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论 例例 2 2 直线 l 过点 P 2 1 且分别交 x 轴 y 轴的正半轴于点 A B O 为坐标原点 1 当 AOB 的面积最小时 求直线 l 的方程 2 当 PA PB 取最小值时 求直线 l 的方程 分析 分析 引进合适的变量 建立相应的目标函数 通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程 解解 1 设直线 l 的方程为 y 1 k x 2 则点 A 2 0 B 0 1 2k 且 2 0 1 2k 0 即 1 k 1 k k 0 AOB 的面积 S 1 2k 2 4k 4 4 当 4k 即 k 时 AOB 的 1 2 1 k 1 2 1 k 1 k 1 2 面积有最小值 4 则所求直线方程是 x 2y 4 0 2 解法一 由题设 可令直线方程 l 为 y 1 k x 2 分别令 y 0 和 x 0 得 A 2 0 B 0 1 2k 1 k PA PB 当且仅当 k2 1 即 k 1 时 22 22 11 44 1 84 4kk kk PA PB 取得最小值 4 又 k 0 k 1 这是直线 l 的方程是 x y 3 0 解法二 如下图 设 BAO 由题意得 0 且 PA PB 2 4 4 sincossin2 PEPF 当且仅当 时 PA PB 取得最小值 4 此时直线 l 的斜率为 1 直线 l 的方程是 x y 4 3 0 点评点评 求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法 求直线的基本量 在研究最值问题时 可以从几何图形开始 找到取最值时的情形 也可 y xO P E F B A 例 2 图 以从代数角度出发 构建目标函数 利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值 例例 3 3 直线 l 被两条直线 l1 4x y 3 0 和 l2 3x 5y 5 0 截得的线段中点为 P 1 2 求直线 l 的方程 分析分析 本题关键是如何使用好中点坐标 对问题进行适当转化 解 解法一解 解法一 设直线 l 交 l1于 A a b 则点 2 a 4 b 必在 l2 所以有 解得 430 3 2 5 4 50 ab ab 2 5 a b 直线 l 过 A 2 5 P 1 2 它的方程是 3x y 1 0 解法二解法二 由已知可设直线 l 与 l1的交点为 A 1 m 2 n 则直线 l 与 l2的交点为 B 1 m 2 n 且 l 的斜率 k A B 两点分别 l1和 l2上 n m 消去常数项得 3m n 所以 k 3 4 1 2 30 3 1 5 2 50 mn mn 从而直线 l 的方程为 3x y 1 0 解法三解法三 设 l1 l2与 l 的交点分别为 A B 则 l1关于点 P 1 2 对称的直线 m 过点 B 利用对称关系可求得 m 的方程为 4x y 1 0 因为直线 l 过点 B 故直线 l 的方程可设为 3x 5y 5 4x y 1 0 由于直线 l 点 P 1 2 所以可求得 18 从而 l 的方 程为 3x 5y 5 18 4x y 1 0 即 3x y 1 0 点评点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法 本题也可以先设直线方程 然后求交点 再根据中点坐标求出直线 l 的斜率 但这种解法思路清晰 计算量大 解法一和解法二灵活 运用中点坐标公式 使计算简化 对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在 直线方程 解法三是利用直线系方程求解 对学生的思维层次要求较高 反馈练习 反馈练习 1 已知下列四个命题 经过定点 P0 x0 y0 的直线都可以用方程 y y0 k x x0 表示 经过任意 两个不同点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 不经过原 点的直线都可以用方程 1 表示 经过定点 A 0 b 的直线都可以用方程 y kx b 表 a x b y 示 其中正确的是 2 设直线 l 的方程为 当直线 l 的斜率为 1 时 k 值为 5 232603xkykk 当直线 l 在 x 轴 y 轴上截距之和等于 0 时 k 值为 1 或 3 3 设直线 ax by c 0 的倾斜角为 且 sin cos 0 则a b满足的关系式为 0 ba 4 若直线 l y kx与直线 2x 3y 6 0 的交点位于第一象限 则直线 l 的倾斜角的取值3 范围是 2 6 5 若直线 4x 3y 12 0 被两坐标轴截得的线段长为 则 c 的值为 c 1 5 1 6 过点 P 1 1 作直线 l 与两坐标轴相交所得三角形面积为 10 则直线 l 有 4 条 7 若三点共线 则的值等于 2 2 0 0 0 AB aCb ab 11 ab 1 2 8 若直线 m2 1 x y 2m 1 0 不经过第一象限 则实数 m 的取值范围是 1 1 2 9 已知直线 被两直线 4x y 6 0 与 3x 一 5y 一 6 0 截得的线段中点为坐标原点 ll 1 l 2 那么直线 的方程是 x 6y 0 l 10 已知两直线 a1x b1y 1 0 和 a2x b2y 1 0 的交点为 P 2 3 求过两点 Q1 a1 b1 Q2 a2 b2 a1 a2 的直线方程 分析 利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解 P 2 3 在已知直线上 2a1 3b1 1 0 2a2 3b2 1 0 2 a1 a2 3 b1 b2 0 即 21 21 aa bb 3 2 所求直线方程为 y b1 x a1 3 2 2x 3y 2a1 3b1 0 即 2x 3y 1 0 点拨 1 由已知求斜率 2 运用了整体代入的思想 方法巧妙 11 在 ABC 中 BC 边上的高所在的直线方程为 x 2y 1 0 A 的平分线所在直线方程为 y 0 若点 B 的坐标为 1 2 求点 A 和点 C 的坐标 分析 分析 利用高线与 A 的平分线求得点 A 坐标 然后求出直线 AC 与 BC 的方程 从而求出 C 点坐标 解解 A 点既在 BC 边的高线上 又在 A 的平分线上 由得 A 1 0 kAB 1 而 x 轴是角 A 的平分线 kAC 1 210 0 xy y AC 边所在直线方程为 y x 1 又 kBC 2 BC 边所在直线方程为 y 2 2 x 1 联立 得 C 的坐标为 5 6 点拨 点拨 综合运用三角形和直线有关知识 寻找解题突破口 将问题转化为先求一些直线 方程 再求直线的交点 这是解决这一类问题的常用办法 12 一条直线经过点 P 3 2 并且分别满足下列条件 求直线方程 1 倾斜角是直线 x 4y 3 0 的倾斜角的 2 倍 2 与 x y 轴的正半轴交于 A B 两点 且 AOB 的面积最小 O 为坐标原点 解 1 设所求直线倾斜角为 已知直线的倾斜角为