高中数学论文：巧解外接球的问题

4 2 20201 巧解外接球问题巧解外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多 面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也 是高考考查的一个热点 考查学生的空间想象能力以及化归能力 研究多面体的外接球 问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何 元素与球的半径之间的关系 而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的 作用 一 直接法一 直接法 公式法公式法 1 求正方体的外接球的有关问题 例 1 2006 年广东高考题 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表 面积为 解析 要求球的表面积 只要知道球的半径即可 因为正方体内接于球 所以它的体对 角线正好为球的直径 因此 求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长 再计算半径 故表面积为27 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上 若该正方体的表面积为24 则该球 的体积为 解析 要求球的体积 还是先得求出球的半径 而球的直径正好是正方体的体对角线 因此 由正方体表面积可求出棱长 从而求出正方体的体对角线是2 3所以球的半径为 3 故该球的体积为4 3 2 求长方体的外接球的有关问题 例 3 2007 年天津高考题 一个长方体的各顶点均在同一球面上 且一个顶点上的三 条棱长分别为1 2 3 则此球的表面积为 解析 关键是求出球的半径 因为长方体内接于球 所以它的体对角线正好为球的直 径 长方体体对角线长为 14 故球的表面积为14 例 4 2006 年全国卷 I 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 体积为 16 则这个球的表面积为 A 16 B 20 C 24 D 32 解析 正四棱柱也是长方体 由长方体的体积 16 及高 4 可以求出长方体的底面边长为 2 因此 长方体的长 宽 高分别为 2 2 4 于是等同于例 3 故选 C 4 2 20202 3 求多面体的外接球的有关问题 例 5 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同 一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 则这个球的体积为 9 8 解 设正六棱柱的底面边长为 高为 则有 xh 2 63 1 2 93 6 3 84 x x x h h 正六棱柱的底面圆的半径 球心到底面的距离 外接球的半径 1 2 r 3 2 d 22 1Rrd 4 3 V 球 小结 本题是运用公式求球的半径的 该公式是求球的半径的常用公式 222 Rrd 二 构造法二 构造法 补形法补形法 1 构造正方体 例 5 2008 年福建高考题 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 且侧棱长均为 3 则其 外接球的表面积是 解析 此题用一般解法 需要作出棱锥的高 然后再设出球心 利用直角三角形计算 球的半径 而作为填空题 我们更想使用较为便捷的方法 所以三条侧棱两两垂直 使我们 很快联想到长方体的一个角 马上构造长方体 且侧棱长均相等 所以可构造正方体模型 如图 1 则AC BC CD 3 那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线 故 所求表面积是9 如图 1 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 3 解 据题意可知 该三棱锥的三条侧棱两两垂直 把这个三棱锥可以补成一个棱长 为的正方体 于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 3 设其外接球的半径为 则有 R 222 2 23339R 2 9 4 R 故其外接球的表面积 2 49SR 小结 一般地 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就 abc 可以将这个三棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径 设其外接球的半径为 则有 R 222 2Rabc 4 2 20203 出现 墙角 结构利用补形知识 联系长方体 原理 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 则体对角线长为 几何体的外接球直径为体对角线长 即 例题 在四面体中 共顶点的三条棱两两垂直 其长度分别为 若该四面体的四个顶点在一个球面上 求这个球的表面积 解 因为 长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以 四面体外接球的直径为的长 即 所以 球的表面积为 例 6 2003 年全国卷 一个四面体的所有棱长都为 2 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 A 3 B 4 C 3 3 D 6 A D CB 图 1 4 2 20204 解析 一般解法 需设出球心 作出高线 构造直角三角形 再计算球的半径 在此 由于所有棱长都相等 我们联想只有正方体中有这么多相等的线段 所以构造一个正方体 再寻找棱长相等的四面体 如图 2 四面体A BDE 满足条件 即 AB AD AE BD DE2BE 由此可求得正方体的棱长为 1 体对角线为 3 从 而外接球的直径也为 3 所以此球的表面积便可求得 故选 A 如图 2 例 7 2006 年山东高考题 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 0 DAB 60 E为AB的中点 将ADE 与 BEC 分布沿ED EC向上折起 使A B 重合于点P 则三棱锥P DCE的外接球的体积为 A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 解析 如图 3 因为AE EB DC 1 0 DAB CBE DEA 60 所以 AE EB BC DC DE CE 1AD 即三棱锥P DCE为正四面体 至此 这与例 6 就完全相同了 故选 C 例 8 2008 年浙江高考题 已知球O的面上四点 A B C D DA ABC 平面 AB BC DA AB BC 3 则球O的体积等于 解析 本题同样用一般方法时 需要找出球心 求出球的半径 而利用长方体模型很快 便可找到球的直径 由于DA ABC 平面 AB BC 联想长方体中的相应线段关系 构造如图 4 所示的长方体 又因为DA AB BC 3 则此长方体为正方体 所以CD长 即为外接球的直径 利用直角三角形解出CD 3 故球O的体积等于 9 2 如图 4 A B E D C D C E P 图 3 D A CB O 图 4 4 2 20205 2 构造长方体 例 9 2008 年安徽高考题 已知点 A B C D 在同一个球面上 BBCDA 平面 BC DC 若 6 AC 2 13 AD 8AB 则球的体积是 解析 首先可联想到例 8 构造下面的长方体 于是AD为球的直径 O 为球心 OB OC 4为半径 要求 B C 两点间的球面距离 只要求出BOC 即可 在 Rt ABC 中 求出 4BC 所以 0 C 60BO 故 B C 两点间的球面距离是 4 3 如图 5 本文章在给出图形的情况下解决球心位置 半径大小的问题 三三 多面体几何性质法多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 体积为 16 则这个球的表 面积是 A B C D 16 20 24 32 解 设正四棱柱的底面边长为 外接球的半径为 则有 解得 xR 2 416x 2x 这个球的表面积是 选 C 222 22242 6 6RR 2 424R 小结 本题是运用 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 这一性质来求解 的 四四 寻求轴截面圆半径法寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 点 SABCD 2 C D A B S O1 图 3 A C B D O 图 5 4 2 20206 都在同一球面上 则此球的体积为 SABCD 解 设正四棱锥的底面中心为 外接球的球心为 如图 1 所示 由球的截面的 1OO 性质 可得 1OOABCD 平面 又 球心必在所在的直线上 1SOABCD 平面O 1SO 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就是外接球的半径 ASC 在中 由 得 ASC 22SASCAC 222 SASCAC ASCAC 是以为斜边的R t 是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 1 2 AC 4 3 V 球 小结 根据题意 我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接 球半径的通解通法 该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆 从而把立体几何 问题转化为平面几何问题来研究 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 五五 确定球心位置法确定球心位置法 例 5 在矩形中 沿将矩形折成一个直二面角 ABCD 4 3ABBC ACABCD 则四面体的外接球的体积为 BACD ABCD A B C D 125 12 125 9 125 6 125 3 解 设矩形对角线的交点为 则由矩形对角线互相平分 可知 O 点到四面体的四个顶点的 OAOBOCOD OABCD 距离相等 即点为四面体的外接球的球心 如图 2 所示 外接球的 O 半径 故 选 C 5 2 ROA 3 4125 36 VR 球 出现两个垂直关系 利用直角三角形结论 原理 直角三角形斜边中线等于斜边一半 球心为直角三角形斜边中点 例题 已知三棱锥的四个顶点都在球的球