谈高中数学重要方法：数形结合

1 谈高中数学重要方法 数形结合 一 数形结合的的实质 中学数学可以说是由三部分内容组成 基本知识 基本技能 基本思想方法 简称 三基 数学思想方法是数学的重要组成部分 数形结合思想 就是把问题的数量关系和 空间形式结合起来考察的思想 其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽 象思维和形象思维结合起来 通过对图形的处理 发挥直观对抽象的支柱作用 实现抽象概 念与具体形象 表象的联系和转化 化难为易 化抽象为直观 根据解决问题的需要 可以 把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论 或把图形的性质问题转化为数量关系的问 题来研究 换言之 数形之间相互取长补短 二 数形结合的优越性 几何问题比较直观 代数问题比较抽象 抽象的代数问题一旦与几何图形结合就往往使 问题简便 易猜测结果 而且一些纯代数问题结合图形来解 显得特别容易 脑中有图象 直观又形象 数形结合方法作为一种策略思想 能最直接揭示问题的本质 直观地看到问 题的结果 综上所述 数形结合的优越性可以概述为以下三点 1 能够直接导出结果 2 易 于寻找解题思路 3 能避免复杂的计算和推理 简化解题过程 总之 它以解题的直观性和 简捷性被广泛使用 特别是作为高考中重要数学思想方法考查以来 各类题解使用的深度和 广度逐渐升级 形成热点 三 函数中的数形结合 如果说坐标系是数与形结合的纽带 那么我认为函数图象则是数的直观形象的反映 一 次函数 二次函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数 反比例函数都有其对应的图 像 例如 新课标必修 4 中有这样的话 遇到一个新的函数 非常自然的是画出它的图象 观察图象的形状 看看有没有特殊点 并借助图象研究一下它的性质 如 单调性 奇偶性 最大值 最小值等 函数图象则是数的直观形象的反映 在数学教学中要注意培养学生看见 函数式立即想到它的图象 结合实际图象记性质 用性质的好习惯 数形要结合 关键在于 能根据函数式 或方程 画出图形和根据代数式分析其表示的几何意义 1 二次函数与数形结合 例 1 已知函数 0 2 acbxaxy的图像 试判断下列各式的符号 1 cba 00 2 0 0 b a b ca y 2 acb4 2 04 2 acb 3 cba 0 1 fcba 1 x 4 cba 0 1 fcba 5 ba 2 0221 2 abab a b 评析 本题是典型的 形 中觅 数 也是最简单最基本的的数形结合 它要求学生必须 由形到数 也就是要学生读懂图形 例 2 若方程02 13 7 22 aaxax有两根为 21 xx 且10 1 x 21 2 x 求a的取值范围 y o 1 1 2 解 令2 13 7 22 aaxaxy 0 2 0 1 0 0 f f f 03 082 02 2 2 2 aa aa aa 0 1 2 x 12 a或 3 a 4 评析 本题对学生的要求高多了 它要求学生在深入观察数式的特征下 由 数 构 形 再 由 形 构 式 2 一次函数与数形结合 例 3 已知集合 A x y 1 2 3 x y x y R B x y y ax 2 x y R 若 A B 求 a 的值 解 集合 A 表示不含点 2 3 的直线l y x 1 集合 B 表示直线 m y ax 2 1 当直线l与直线 m 平行时 A B 此时 a 1 2 当直线 m 经过点 2 3 时 A B 此时 3 2a 2 解得 a 2 1 所以所求的 a 的值是 1 或 2 1 评析 数学题目本来并无思想 她的思想是人给予的 本题应该是集合运算的范围的 但是 我给这些数和式以 形 的直观 使抽象空洞的集合运算变得形象具体起来 3 函数不等式与数形结合 例 4 解不等式 2 54xxx 分析 令 2 1 54yxx 2 yx 12 y y为两个不同的函数 2 y 画出函数 12 y y的图象 1 y的曲线是以 c 2 0 为圆心 以 3 为半径的上半圆 2 y的曲线是 两个象限角的平分线 x 5C 2 0 o1 y Y2 x O y 1 2 y x 1l y x 2 y x 2 2 1 2 3 2 3 当 12 yy 时 有一个交点即245xx x x 1 2 14 则由图观察 12 yy 可知其解集为 142 5 2 xx 评析 本题当然也可用纯代数的方法解 但是用数形结合解就显得快捷得多 而且直观形象 一目了然 避免了复杂的计算与推理 例 5 解不等式 22 2 xx 1 5 2 x 2 解 原不等式变形为 1 1 2 x 1 5 2 x 2 令 y 2 1 则有 22 1 yx 22 5 yx 2 由双曲线的定义及性质 满足 式的点 x y 是在双曲线 x 3 2 3 2 y 1 的两支之间 从 而原不等式等价于混合组 1 1 3 3 2 2 y y x 3 3 32 x 3 3 32 原不等式的解集为 3 3 32 x 3 3 32 评析 这是一种典型的 由形到数 的解题模式 这样解题 使问题解得简单 直观 明了 省略了繁杂的运算 4 函数方程与数形结合 在考试大纲上 是找不到 函数方程 这个考点的 函数方程所涉及的不是一个具体的 知识内容 而是一种有指导性 带全局性的数学思想 因此 高考中的 函数方程考题 是跨考点 跨板块 跨题型的 考查数学思想的深层试题 比如 例 6 方程sinlgxx 的实数根的个数是 A 1 B 2 C 3 D 大于 3 分析 如图在同一直角坐标系内分别 画出函数 1 sinyx 和 2 lgyx 的图象 由于 y2 1 sinyx 1 所以当 x 大于 10 时 两个函数不可能有交点 即交点的横坐标只 能在 10 以内 通过观察易知两个 函数曲线相交有三个交点 故选 C 评析 本题看似方程 实是函数 用代数的方法在高中阶段是无法解决的 但如能由数式 y o 1 2 3 x 3 4 巧构函数模型 则易如反掌 充分的体现了数形结合的优越性 1 例 7 实数 p 取什么值时 方程 x 2 4x 3 px 有四个不同的实数根 解 设 pxy xxy 34 2 这两个方程表示的曲线如图所示 由 图中不难看出 当方程 表示的直线和 x 轴重合时 直线与曲线有 2 个交点 当方 程 表示的直线和曲线 y x 2 4x 3 相切时 方程 表示的直线与曲线有 3 个交点 当方程 表示的直线在 x 轴和切 线 1 l之间时 直线与曲线有 4 个公共点 即原方程有 4 个不等实数根 34 2 pxy xxy x 1 3 消去 y 得方程 x 2 p 4 x 3 0 x 1 3 p 4 2 12 p 2 8p 4 令 0 解得 p 4 23 又当 p 4 23时 x 3 1 3 所以舍去 当 p 4 23时 x 3 1 3 故当 0 p 4 23时方程有四个不同的实数根 评析 原题本来只是方程 如用代数的方法来解方程 那将是多么艰难的一项工作啊 但是如用数式巧构函数模型 则思路清晰 计算简单 逻辑性强 但数形结合的直观思考 离不开代数知识或几何知识的严格的逻辑推理 四 三角中的数形结合 在三角函数这一章中数形结合更是贯穿始终 1 特别强调了单位圆的直观作用 借助 单位圆直观地认识任意角 任意角的三角函数 理解三角函数的周期性 诱导公式 同角三 角函数关系式以及三角函数的图象 2 利用单位圆给出三角函数的定义 并推导出了同角 三角函数问的基本关系 3 借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性 最 大和最小值 图象与 x 轴的交点等性质 4 利用三角函数线画正 余 弦及正切和三角函数 的图象 并利用图象进一步分析函数的有关性质 例 8 已知 为锐角 且1 cos cos cos 222 x y O123 1 l l 4 5 求证 22 tan tan tan 分析 题目中出现了三个角 看似复杂 但如果有数形转换意识 由已知三个角 的余 弦的平方和等于 1 就会与原有经验中的知识类比联系 这种数式的特点与长方体 1111 DCBAABCD的对角线与从A出发的相邻三条棱的交角相类比 于是设长方体三条棱 为cba 便有以下证明 22 2 2 2 a c tan tan tan 222222 c ab b ca a bc c b b a a cb 例 9 已知acos bsin c acos bsin c ab 0 k k Z Z 求证 22 2 2 2 cos ba c 知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A B两点坐标 特点知其在单位圆上 技巧与方法 善于发现条件的几何意义 还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义 这样才能巧用数形结合方法完成解题 证明 在平面直角坐标系中 点A cos sin 与点 B cos sin 是直线l ax by c与单位圆x2 y2 1 的 两个交点如图 从而 AB 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2cos 又 单位圆的圆心到直线l的距离 22 ba c d 由平面几何知识知 OA 2 2 1 AB 2 d2即 ba c d 2 2 2 4 cos 22 1 22 2 2 2 cos ba c 五 解析几何中的数形结合 解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一 其本质是用代数方法研究图形的几何性 质 体现了数形结合的重要数学思想 曲线 与 方程 是同一对象 即点的轨迹 的两种 表现形式 曲线是轨迹的几何形式 方程是轨迹的代数形式 它们在表现和研究轨迹的性质 时 各有所长 几何形式具有直观形象的优点 代数形式具有便于运算的优势 因而具有操 作程序化的长处 具体解题时最好将二者结合起来 这就是 数形结合 思想 在解析几何 中 学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程 运用代数方法研究它们的几何性 质及其相互位置关系 并了解空间直角坐标系 体会数形结合的思想 初步形成用代数方法 解决几何问题的能力 解析几何最核心的思想方法即数形结合的思想 1 利用圆锥曲线的定义性质由数构形 5 6 例 10 2007 年重庆卷第 22 题 如图 1 求得 椭圆的方程1 2736 22 yx 在椭圆上任取三个不同点 321 PPP 使 133221 FPPFPPFPP 证明 1 1 1 321 FPFPFP 为定值 并求此定值 说明说明 心里有什么 眼里就看到什么 对于本题 心里有函数的人首先看到了函数 FP1 FP2 FP3 都是角 xFP1的函数 心里有方程的人 首先看到了方程 FP1 cos x c x是点P1的横坐标 心里既有函数又有方程的人 不仅同时看到了本题中函数与方程 而且还看到了函数与 方程的关系 解析解析 设 自变量 xFP1 于是有 xFP2 3 2 xFP3 3 4 设 FP1 r1 由图 2 可得 FM r1cos 由e 2 1 得 P1Q 2r 于是有 方程 r1cos 2r1 12 3 9 从而有 函数 r cos2 9 继而有 方程 9 cos21 1 r 同理有 9 3 2 cos 2 1 2 r 9 3 4 cos 2 1 3 r 于是有 函数方程的统一体 1 1 1 321 FPFPFP 3 2 3 9 2 3 4 cos 3 2 cos cos3 9 2 评析 圆锥曲线定义是运用数形结合思想解题的依据 把一些代数问题通过转化 运用 圆锥曲线的定义与几何性质解题是简化解题过程的最佳手段 例 11 3 2 22 的最大值为 则满足 如果实数 x y yxyx 评析评析 6 7 例 12 分析 分析 构造直线的截距的方法来求之 最小截距相切时 有最大截距与与椭圆由图形知 当直线1 2516 3 22 yx bxy 形象直感是数学直觉思维的源泉之一 他是一种几何直觉或空间观念的表现 通过构 造题目中所描述数学对象的几何图形 把研究的问题从几何上视觉化 类似的思维活动 学 生一旦形成习惯 在处理 数 的问题时 便会具有自觉转化为 形 的意识 用 形 的 直观引发出直觉 从而定位解题方向 2 利用复数的性质由数构形 例 10 分析 分析 3 多次转化 再由数构形 例 11 分析分析 转化出一元二次函数求最值 倘若对式子平方处理 将会把问题复杂化 因此该题用常规解 法显得比较困难 考虑到式中有两个根号 故可采用两步换元 解 解 第一象限的部分 包括端点 有公共点 如图 7 8 8 相切于第一象限时 u 取最大值 在解析几何初步的教学中 教师应帮助学生经历如下的过程 首先将几何问题代数化 用代数的语言描述几何要素及其关系 进而将几何问题转化为代数问题 处理代数问题 分 析代数结果的几何含义 最终解决几何问题 这种思想应贯穿解析几何教学的始终 帮助学 生不断地体会 数形结合 的思想方法 六 向量中的数形结合 向量是近代数学中重要和基本的概念之一 有深刻的几何背景 是解决几何问题的有力 工具 向量概念引入后 全等和平行 平移 相似 垂直 勾股定理就可转化为向量的加 减 法 数乘向量 数量积运算 运算律 从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系 向量是沟通代数 几何与三角函数的一种工具 有着极其丰富的实际背景 在数学和物理学 科中具有广泛的应用 平面向量是新高考中增加的最重要的内容 由于它的加入 代数和几 何的研究全面改观 数形结合是高考的重要思想之一 而平面向量则为数形结合铺就了宽广 的道路 1 平面向量与数形结合 例 12 若平面向量b与向量 2 1 a的夹角是 180 且53 b 则向量 b A 6 3 B 6 3 C 3 6 D 3 6 解 由向量a与b为方向相反的共线向量 如图 1 将两向 量起点移到原点 显然得到 b 6 3 故选 A 点评 此题主要涉及平面向量的模 夹角 共线的充要条件等基础知识 在解题是要 灵活运用不同的方法 如利用数形结合 可直观地得到结果 例 13 已知向量 15sin 15cos 75sin 75cos ba 求ba 的值 解 如图 2 将向量a b的起点都移到原点 即OAa OBb 则BAba 且 15 75 xOBxOA 于是 60 AOB 又因1 ba 则AOB 为正三角形 从而 x y A B O 图 2 y 1 6 O 图 1 3 a b 2 9 9 C A B P F E D 1 baBA 点评 本题一般的解法是将ba 平方 然后利用向量的数量积解决问题 但若能利用 其几何意义 则根本不用计算即可解决问题 例 14 已知 5 0 3kba 若a与b的夹角为 4 3 则k的值为 分析 本题若直接用夹角的一般方法求解 比较烦琐 而借助于图形 则很快得以解决 2 空间向量与数形结合 例 16 如图 在三棱椎P ABC中 PA 平面ABC 90 BAC D E F分别是棱 AB BC CP的中点 AB AC 1 PA 2 求直线PA与平面DEF所成角的大小 求 点P到平面DEF的距离 解 以A为坐标原点 建立如图空间直角坐标系 易知 A 0 0 0 B 1 0 0 P 0 0 2 1 0 0 2 D 1 1 0 2 2 E 1 0 1 2 F 0 0 2 AP 1 0 0 2 DE 1 1 1 2 2 DF 设 nx y z 是平面DEF的一个法向量 则 0 0 n DE n DF 即 1 0 2 11 0 22 y xyz 取x 1 则 1 1 0 2 n 设PA与平面 DEF所成的角为 则 155 sin arcsin 55 5 2 4 PA n PA n 例 17 如图 在正三棱柱A1B1C1 ABC中 D E分别是棱BC 1 CC的中点 AB AA1 2 证明 1 BEAB 求二面角 1 BABD 的大小 求异面直线 1 AB与 BE 的距离 证明 以A为原点 建立如图的空间直角坐标系 易知各点坐标 A 0 0 0 B 3 1 0 B1 3 1 0 E 0 2 1 则 1 3 1 2 3 1 1 ABBE x y A B O 图 3 C a b 10 10 1 3 1 2 3 1 1 3 120ABBE 1 ABBE 即 11 ABBE 易知 3 3 0 22 D 1 3 1 0 3 1 2 ABAB 设 1111 nx y z 是平面 1 BAB的一个法向量 则 11 111 30 320 xy xyz 令 1 3 x 则 1 3 3 0 n 3 3 0 22 AD 1 3 1 2 AB 设 2222 nxyz 是平面 1 DAB一个法向量 则 22 222 33 0 22 320 xy xyz 令 2 3 x 则 2 3 1 1 n 设二面角 1 BABD 为 则 12 12 615 cos 5 125 nn nn 设 nx y z 是 1 AB与BE的法向量 则 320 30 xyz xyz 可得 3 2 yz 取 y 3 可知 3 3 2 3 n 1 0 0 2 BB 1 3 0 0 2 3 2 430 3 5 140 94 33 BBn d n 向量之所以有用 关键是它具有一套良好的运算性质 通过向量可把空间图形的性质转 化为向量的运算 这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 将 向量与坐标联系起来 把关于向量的代数运算与数量 向量的坐标 的代数运算联系起来 这 就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法 向量法和坐标法 通过建立直角坐标 系 给出了向量的另一种表示式 坐标表示式 这样就使得向量与它的坐标建立起了一一 对应的关系 然后给出了向量的加法 减法及实数与向量的积的坐标运算 这就为用 数 的运算处理 形 的问题搭起了桥梁 向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一 种关系 特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题 把向量的数量积应用到三角形 中 还能解决三角形边角之间的有关问题 七 运用数形结合的