浅谈数形结合思想

浅谈数形结合思想浅谈数形结合思想 摘要摘要 本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题 及其应注本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题 及其应注 意的事项 意的事项 关键词关键词 数形结合 数形结合思想 以形助数 以数解形数形结合 数形结合思想 以形助数 以数解形 中学数学研究的对象可分为两大部分 一部分是数 一部分是形 但数与 形是有联系的 这个联系称之为数形结合 或形数结合 我国著名数学家华罗 庚曾说过 数形结合百般好 隔裂分家万事非 数 与 形 反映了事 物两个方面的属性 我们认为 数形结合 主要指的是数与形之间的一一对应 关系 数形结合就是把抽象的数学语言 数量关系与直观的几何图形 位置关 系结合起来 通过 以形助数 或 以数解形 即通过抽象思维与形象思维的 结合 可以使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从而起到优化解题途径的目 的 作为一种数学思想方法 数形结合的应用大致又可分为两种情形 或者借 助于数的精确性来阐明形的某些属性 或者借助形的几何直观性来阐明数之间 某种关系 即数形结合包括两个方面 第一种情形是 以数解形 而第二种 情形是 以形助数 以数解形 就是有些图形太过于简单 直接观察却看 不出什么规律来 这时就需要给图形赋值 如边长 角度等等 特别是在做选 择题时 只有一个答案是正确答案 用此种方法就可能起到意想不到的效果 由于这 以数解形 比较简单 所以这里就不多做介绍了 以形助数 是指 把抽象的数学语言转化为直观的图形 可避免繁杂的计算 获得出奇制胜的解 法 学生通常把 数形结合 就理解为 以形助数 也可以这么说 理解了 并掌握了 以形助数 这种思想方法 就是理解了 数形结合 以形助数 中的 形 或有形或无形 若有形 则可为图表与模型 若无形 则可另行 构造或联想 因此 以形辅数 的途径大体有三种 一是运用图形 二是构造 图形 三是借助于代数式的几何意义 以下我将从 数形结合 在哪些题型中 可以应用和使用 数形结合 时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结 合这种思想方法 1 1 数形结合思想的应用数形结合思想的应用 1 1 在方程 函数问题中的应用 方程 f x g x 0 的解情况 可化为 f x g x 的解情况 也可看 作函数 y f x 与 y g x 图像的交点的横坐标的情况 所以只要我们准确 地画出这两个函数的图像 再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点 及 交点大致的位置或坐标 还有一些其它的重要信息 这样我们就可以根据这些 信息来解题 特别是选择题 对于计算题 我们也可以用数形结合这种方法为 自己提供一种思考问题的思路 也可以用来检查自己到底有没有做错 例 例 抛物线 与 x 轴的两个交点为 点 4 8k 在抛物线上且 AQ BQ 则 分析 这样的题目 用常规的解法很难找到突破口 如图 所示 我们 不难发现 不论函数图像开口向上还是向下 a k 总是异号的 即 再看看各 个备选项 不难发现只有 表示的是小于 的 故本题选 例 例 方程 的实数根个数有 分析 直接去解这个方程 对于中学学生来说是不可能的事 判断原方程 的根的个数就是判断图像 与 的交点个数 画出这两个函数图像 图 1 从图形中我们很明显地知 道这两个图像只有两个交点 故本题选 例 例 若关于 x 的方程 的两根都在 与 之间 求 k 的取值范围 分析 令 如图 1 3 所示 其图像与 x 轴交点的横坐 标就是方程 f x 0 的解 要使两根都在 之间 只需 f 1 0 f 3 0 1 kg x 这样的不等式 跟上面所提的方程 f x g x 的类 似 方程问题的是看两个函数图像有几个交点这类的信息 而这里不等式问题 的是看不同的区间内 两个函数图像谁上谁下 从而知道谁大谁小了 也就是 不等式的解区间了 区间的端点就是方程问题所要讨论的 1 4 在解析几何中的应用 例 例 已知集合 与集合 则 中的元素个数有 分析 画出圆 和抛物线 的图像 如图 1 9 所示 根据图像 答案一目了然 选 例 例 如图 1 10 所示 F1 F2双曲线 的左右 焦点 是其上任意一点 P F2的中点 到 点的距离为 求 点 到其左准线的距离 分析 如图 1 10 所示 连接 F1 OQ 就可以看出 OQ 是 F2F1 中 F1 边上的中位线 则 F1 所以点 到其左准线的距离就是 2 2 用数形结合时应注意的几个问题 误区 用数形结合时应注意的几个问题 误区 数形结合 它直观 形象 可避免繁杂的计算 证明等 获取出奇制胜 的解法 然而 它并不是 万能 的 图形虽然直观 形象 但它是一个部分 而不是全部 甚是有些图形是有误差的 并不准确 所以我们不能以点代面 不能简单地根据图形就获取答案 就是要用到图形 我们在作图时或画草图时 也要注意一些细节 不能马虎应付 用数形结合时要注意以下这几个主要事项 2 1 精确作图 避免潦草作图而导出的错误 在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时 我们一定要注意函数图像的 延伸趋势以及伸展 速度 因为我们画出的只是函数图像的一小部分 而不 是全部 常言到 知人知面不知心 同样的 我们从函数图像的部分而知道 它的全部 在没画出来的部分图像是怎么样的呢 我们只有根据函数图像的延 伸趋势以及伸展 速度 来判断了 例 例 判断命题 当 a 1 时 关于 x 的方程 无实数解 正确与否 错解 在同一坐标系中 分别画出函数 a 1 及 a 1 的图像 如图 2 1 所示 可见它们没有公共点 所以方程确无实数解 故命题正确 评析 实际上对不同的实数 a 及 的图像的延伸趋势不