【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质教学案 理 新人教A版

1 4 44 4 函数函数y y A Asin sin x x 的图象与性质的图象与性质 考考纲纲要要求求 1 了解函数y Asin x 的物理意义 能画出函数y Asin x 的图象 了解参数A 对函数图象变化的影响 2 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角函数解决一些简单实 际问题 1 y Asin x 的有关概念 振幅周期频率相位初相y Asin x A 0 0 x 0 A T f 1 T x 2 用五点法画y Asin x 一个周期内的简图 用五点法画y Asin x 一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示 x x 0 2 3 2 2 y Asin x 0A0 A 0 3 函数y sin x的图象变换得到y Asin x A 0 0 的图象的步骤 1 把y sinx的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到y sin x的图象 则 1 2 的值为 A 1 B 4 C D 2 1 4 2 已知函数f x 2sin x 其中 0 的最小正周期是 且 2 f 0 则 3 A B 1 2 6 1 2 3 C 2 D 2 6 3 3 2012 安徽高考 要得到函数y cos 2x 1 的图象 只要将函数y cos 2x的图象 2 A 向左平移 1 个单位B 向右平移 1 个单位 C 向左平移 个单位D 向右平移 个单位 1 2 1 2 4 已知函数f x 2sin的图象如图所示 则f x 3 4 7 12 5 2012 湖南高考 已知函数f x Asin x x R R 0 0 的部分 2 图象如图所示 1 求函数f x 的解析式 2 求函数g x f f的单调递增区间 x 12 x 12 一 三角函数y Asin x 的图象 例 1 设函数f x sin x cos x 0 的周期为 3 1 求它的振幅 初相 2 用五点法作出它在一个周期上的图象 3 说明函数f x 的图象可由y sin x的图象经过怎样的变换而得到 方法提炼方法提炼 1 用 五点法 作图应抓住四条 将原函数化为y Asin x A 0 0 或y Acos x A 0 0 的形式 求出周期T 求出振幅A 列出 2 一个周期内的五个特殊点 当画出某指定区间上的图象时 应列出该区间内的特殊点 2 图象变换法 1 平移变换 沿x轴平移 按 左加右减 法则 沿y轴平移 按 上加下减 法则 2 伸缩变换 沿x轴伸缩时 横坐标x伸长 0 1 或缩短 1 为原来的倍 纵坐标y不 1 变 沿y轴伸缩时 纵坐标y伸长 A 1 或缩短 0 A 1 为原来的A倍 横坐标x不变 请做演练巩固提升 2 3 二 求函数y Asin x b的解析式 例 2 1 已知函数f x Asin x b 0 的图象的一部分 2 如图所示 3 1 求f x 的表达式 2 试写出f x 的对称轴方程 例 2 2 已知函数f x sin x cos x 0 0 为 3 偶函数 且函数y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 1 求f的值 8 2 将函数y f x 的图象向右平移个单位后 得到函数y g x 的图象 求g x 的 6 单调递减区间 方法提炼方法提炼 确定y Asin x b A 0 0 的解析式的步骤 1 求A b 确定函数的最大值M和最小值m 则A b M m 2 M m 2 2 求 确定函数的周期T 则 2 T 3 求 常用方法有 1 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时A b已知 或代入图象与直线y b 的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 2 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的特殊点作为突破口 具体如下 第一点 即图象上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图象的 峰点 为 x 第三点 即图象下降时与x轴的交点 为 x 第四点 2 即图象的 谷点 为 x 第五点 为 x 2 3 2 请做演练巩固提升 4 三 三角函数模型的应用 例 3 已知某海湾内海浪的高度y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下表是某日各时刻记录的浪高数据 t03691215182124 y1 51 00 51 01 51 00 50 991 5 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成是函数y Acos t b 1 根据以上数据 求函数y Acos t b的最小正周期T 振幅A及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断 一天内从 8 00 至 20 00 之间 有多少时间可供冲浪者进行运动 方方法提炼法提炼 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 一是已知函数模型 利用三角函数的 有关性质解决问题 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则 二 是把实际问题抽象转化成数学问题 建立三角函数模型 再利用三角函数的有关知识解决 问题 其关键是建模 请做演练巩固提升 5 不理解相位变换而致误 4 典例 2012 天津高考 将函数f x sin x 其中 0 的图象向右平移个单 4 位长度 所得图象经过点 则 的最小值是 3 4 0 A B 1 C D 2 1 3 5 3 解析 解析 f x sin x的图象向右平移个单位长度得 y sin 4 x 4 又所得图象过点 3 4 0 sin 0 sin 0 3 4 4 2 k k Z Z 2k k Z Z 2 0 的最小值为 2 答案 答案 D 答题指导 要熟练掌握 先平移再伸缩 和 先伸缩再平移 这两种变换方案 即前 者平移 个单位 后者平移个单位 原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而 言的 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序 否则会出现错 误 1 设函数f x Asin x 的图象关于直线 A 0 0 2 2 x 对称 它的周期是 则下列结论一定正确的是 2 3 A f x 的最大值为A B f x 的一个对称中心是点 5 12 0 C f x 的图象过点 0 1 2 D f x 在上是减函数 5 12 2 3 2 2013 届山师大附中期中 为得到函数y cos 2x的图象 只需将函数y sin 2x 的图象 A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 2 2 C 向左平移个长度单位D 向右平移个长度单位 4 4 3 2012 浙江高考 把函数y cos 2x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 然后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图象是 5 4 2012 重庆高考 设函数f x Asin x 其中A 0 0 在x 处取得最大值 2 其图象与x轴的相邻两个交点的距离为 6 2 1 求f x 的解析式 2 求函数g x 的值域 6cos4x sin2x 1 f x 6 5 如图 某市拟在长为 8 km 的道路OP的一侧修建一条运动赛道 赛道的前一部分为 曲线段OSM 该曲线段为函数y Asin x A 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最 高点为S 3 2 赛道的后一部分为折线段MNP 为保证参赛运动员的安全 限定 3 MNP 120 1 求A 的值和M P两点间的距离 2 应如何设计 才能使折线段赛道MNP最长 6 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 2 2 2 2 3 2 2 3 A A 1 1 基础自测基础自测 1 C 解析 解析 y sin xy sin sinx 1 2 横坐标变为原来的2倍 1 2 1 2x 1 4 1 4 2 D 解析 解析 由题意得 2 2 T f x 2sin 2x 又f 0 即 2sin 33 sin 3 2 2 故选 D 3 3 C 解析 解析 y cos 2x 1 cos 2 x 1 2 只须将y cos 2x的图象向左平移 个单位即可得到y cos 2x 1 的图象 1 2 4 0 解析 解析 由图象知T 3 2 所以T 所以 3 2 3 所以f x 2sin 3x 3 4 故f 2sin 0 7 12 7 4 3 4 5 解 1 由题设图象知 周期T 2 11 12 5 12 所以 2 2 T 因为点在函数图象上 5 12 0 所以Asin 0 2 5 12 即 sin 0 5 6 又因为 0 所以 2 5 6 5 6 4 3 从而 即 5 6 6 又点 0 1 在函数图象上 所以Asin 1 得A 2 6 故函数f x 的解析式为 7 f x 2sin 2x 6 2 g x 2sin 2sin 2 x 12 6 2 x 12 6 2sin 2x 2sin 2x 3 2sin 2x 2 1 2sin 2x 3 2 cos 2x sin 2x cos 2x 2sin 3 2x 3 由 2k 2x 2k 2 3 2 得k x k k Z Z 12 5 12 所以函数g x 的单调递增区间是 k Z Z k 12 k 5 12 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 1 f x sin x cos x 2 2sin 3 1 2sin x 3 2 cos x x 3 又 T 即 2 2 f x 2sin 2x 3 函数f x sin x cos x的振幅为 2 初相为 3 3 2 列出下表 并描点画出图象如图 2x 3 0 2 3 2 2 x 6 12 3 7 12 5 6 y 2sin 2x 3 020 2 0 3 把y sin x图象上所有的点向左平移个单位 得到y sin的图象 再 3 x 3 把y sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 得到y sin x 3 1 2 的图象 然后把y sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐 2x 3 2x 3 标不变 即可得到y 2sin的图象 2x 3 8 例 2 1 解 1 由图象可知 函数的最大值M 3 最小值m 1 则A 2 b 1 3 1 2 3 1 2 又T 2 2 3 6 2 2 T 2 f x 2sin 2x 1 将x y 3 代入上式 6 得 sin 1 3 2k k Z Z 3 2 即 2k k Z Z 6 又 2 6 f x 2sin 1 2x 6 2 由 2x k k Z Z 得x k k Z Z 6 2 6 1 2 f x 2sin 1 的对称轴方程为 x k k Z Z 2x 6 6 1 2 例 2 2 解 1 f x sin x cos x 3 2 3 2 sin x 1 2cos x 2sin x 6 因为f x 为偶函数 所以对x R R f x f x 恒成立 因此 sin sin 即 sin xcos cos xsin x 6 x 6 6 sin xcos cos xsin 6 6 6 整理得 sin xcos 0 6 因为 0 且x R R 所以 cos 0 6 又因为 0 故 6 2 所以f x 2sin 2cos x x 2 由题意得 2 所以 2 2 2 故f x 2cos 2x 因此f 2cos 8 42 9 2 将f x 的图象向右平移个单位后 得到f的图象 6 x 6 所以g x f x 6 2cos 2cos 2 x 6 2x 3 当 2k 2x 2k k Z Z 3 即k x k k Z Z 时 g x 单调递减 6 2 3 因此g x 的单调递减区间为 k Z Z k 6 k 2 3 例 3 解 1 由表中数据 知周期T 12 2 T 2 12 6 由t 0 y 1 5 得A b 1 5 由t 3 y 1 0 得b 1 0 A 0 5 b 1 振幅为 1 2 y cost 1 1 2 6 2 由题知 当y 1 时才可对冲浪者开放 cost 1 1 cost 0 1 2 6 6 2k t 2k k Z Z 2 6 2 即 12k 3 t 12k 3 k Z Z 0 t 24 故可令 中的k分别为 0 1 2 得 0 t 3 或 9 t 15 或 21 t 24 在规定时间 8 00 至 20 00 之间 有 6 个小时的时间可供冲浪者运动 即 9 00 至 15 00 演练巩固提升演练巩固提升 1 B 2 C 解析 解析 因为y sin 2x cos cos 2 2x 2x 2 cos 所以为了得到函数y cos 2x的图象 只需将函数y sin 2x的图 2 x 4 象向左平移个单位 选 C 4 3 A 解析 解析 y cos 2x 1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得y1 cos x 1 再向左平移 1 个单位长度得y2 cos x 1 1 再向下平移 1 个单位长度得 y3 cos x 1 故相应图象为 A 4 解 1 由题设条件知f x 的周期T 即 解得 2 2 因f x 在x 处取得最大值 2 6 所以A 2 从而 sin 1 2 6 10 所以 2k k Z Z 3 2 又由 得 6 故f x 的解析式为 f x 2sin 2x 6 2 g x 6cos4x sin2x 1 2sin 2x 2 6cos4x cos2x 2 2cos 2x 2cos2x 1