【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第12章 曲线与方程、数学归纳法12．2数学归纳法教学案 苏教版

1 12 212 2 数学归纳法数学归纳法 考纲要求 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 1 数学归纳法的定义 对于某些与正整数有关的数学命题 可用下列方法来证明它们的正确性 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 2 等 时结论正确 2 假设当 时结论正确 证明当 时结论也正确 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法 叫做数学归纳法 从数学归纳法的定义我们可以看出 它强调的是两个基本步骤 而这两个步骤是问题 的两个方面 一个是命题成立的基础 一个是命题之间可递推的依据 二者缺一不可 注意 数学归纳法的证明步骤可总结为 奠基步骤不能少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 2 数学归纳法的特点 1 无穷性 数学归纳法所证明的是与正整数有关的命题 实际上就是关于正整数的无 穷性命题 命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的 所以数学归纳法恰恰就是有效地利 用递推关系证明了命题无穷性的正确性 成为 沟通无限与有限的桥梁 2 有穷性 与正整数有关的命题具有无穷性 但是数学归纳法的基本步骤是有穷的 仅仅只有两个步骤 而且这两个步骤缺一不可 数学归纳法是在可靠的基础上利用命题本 身具有的传递性 运用 有限 的手段来解决 无限 的问题 1 已知f n 则f n 1 f n 1 n 1 n 1 1 n 2 1 2n 2 用数学归纳法证明 1 2 3 n 3 2 1 n2 n N N 时 从n k到 n k 1 时 该式左边应添加的代数式是 3 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验第一个值 1 2 n0 4 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N N 在验证 1 an 2 1 a n 1 时 左端计算所得的项为 1 用数学归纳法证明问题关键是哪一步 提示 理解数学归纳法中的递推思想 尤其要注意其中第二步 证明n k 1 命题成 立时必须要用到n k时命题成立这个条件 这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法 的原理与本质 也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向 2 利用数学归纳法证明时应注意哪些问题 提示 1 第一步验证n n0时命题成立 n0是使命题成立的最小正整数 它的取值不 一定是 1 2 数学归纳法证题的关键是合理运用归纳假设 也就是说 没有使用归纳假设的证明 是错误的 搞清命题的结构形式 弄清由k到k 1 时命题的变化是关键 合理拼凑出归纳 假设的形式是目的 要有目标意识 要紧盯n k 1 时的结论 为此 可对n k时的结 论进行一系列的变形 一 用数学归纳法证明等式 例 1 x 1 n a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 an x 1 n n 2 n N N 2 1 当n 5时 求a0 a1 a2 a3 a4 a5的值 2 设bn Tn b2 b3 b4 bn 试用数学归纳法证明 当n 2 时 Tn a2 2n 3 n n 1 n 1 3 方法提炼 用数学归纳法证明恒等式应注意 明确初始值n0的取值并验证n n0时命题的真假 必 不可少 假设n k k N N 且k n0 时命题正确 并写出命题形式分析 n k 1 时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端 变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 简言之 两个步骤 一个结论 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 请做针对训练 1 二 用数学归纳法证明不等式 例 2 设a 2 给定数列 an a1 a an 1an an 1 a n N N 1 2 2n 1 求证 an 2 2 求证 数列 an 是单调递减数列 方法提炼 利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时 在由n k成立到n k 1 成立的证明 过程中 可以利用证明不等式的所有方法进行推导 其中 使用放缩法时 要注意放缩的 方向应朝着结论的方向进行 可通过变化分子或分母 通过裂项相消等方法达到证明的目 的 请做针对训练 2 三 归纳 猜想 证明 例 3 数列 an 满足Sn 2n an n N N 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 方法提炼 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现 结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 这种思维方式是推动数学研究和发展的重要方 式 请做针对训练 3 通过分析近三年的高考试题可以看出 不但考查用数学归纳法去证明现成的结论 还 考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性 数学归纳法只出现在附加题中 对于与正 整数有关命题的证明可用数学归纳法 例如根据递推公式写出数列的前几项 通过观察项 与项数的关系 猜想出数列的通项公式 再用数学归纳法进行证明 初步形成 观察 归 纳 猜想 证明 的思维模式 利用数学归纳法证明不等式时 要注意放缩法的应用 放 缩的方向应朝着结论的方向进行 可通过变化分子或分母 通过裂项相消等方法达到证明 的目的 1 设f n 1 n N N 1 2 1 3 1 n 求证 f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N N 2 已知在正项数列 an 中 a1 1 an 1 1 n N N 用数学归纳法证明 an 1 an an an 1 n N N 3 3 已知点的序列An xn 0 n N N x1 0 x2 a 0 A3是线段A1A2的中点 A4是线 段A2A3的中点 An是线段An 2An 1的中点 1 写出xn与xn 1 xn 2之间的关系式 n 3 2 设xn 1 xn an 计算a1 a2 a3 由此推测数列 an 的通项公式 并加以证明 4 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 2 n k k N N k n0 n k 1 基础自测基础自测 1 解析 解析 f n 1 f n 1 2n 1 1 2n 2 1 n 1 n 1 1 n 2 1 2n 1 2n 1 1 2 n 1 1 n 1 n 1 1 n 2 1 2n 1 2n 1 1 2n 2 1 n 2 2k 1 解析 解析 n k 1 时 要证 1 2 3 k k 1 k 3 2 1 k 1 2 所以该式左边应添加的代数式是 2k 1 3 3 4 1 a a2 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解 设当n 5 时 原等式变为 x 1 5 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a3 x 1 3 a4 x 1 4 a5 x 1 5 令x 2 得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243 2 证明 因为 x 1 n 2 x 1 n 所以a2 C 2n 2 2n bn 2C n n 1 n 2 a2 2n 32n 当n 2 时 T2 2 b2 2 2 1 2 T2 b2 等式成立 2 2 1 2 1 3 假设当n k k 2 k N N 时 等式成立 即Tk k k 1 k 1 3 那么 当n k 1 时 Tk 1 Tk bk 1 k 1 k 1 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k k 1 k 1 3 k k 1 k 1 3 1 k k 1 k 2 3 k 1 k 1 1 k 1 1 3 故当n k 1 时 等式成立 综合 当n 2 时 Tn n n 1 n 1 3 例 2 证明 1 由an 1an an 1 a 得an 1 1 2 2n a2n 2 an 1 用数学归纳法证明an 2 当n 1 a1 a 2 结论成立 假设当n k k 2 k N N 时结论成立 即ak 2 那么当n k 1 时 ak 1 2 0 即ak 1 2 a2k 4ak 4 2 ak 1 ak 2 2 2 ak 1 由 可知对n N N 都有an 2 2 an 1 an an a2n 2 an 1 5 2 an 1 an 数列 an 是单调递减数列 例 3 1 解 当n 1 时 a1 S1 2 a1 a1 1 当n 2 时 a1 a2 S2 2 2 a2 a2 3 2 当n 3 时 a1 a2 a3 S3 2 3 a3 a3 7 4 当n 4 时 a1 a2 a3 a4 S4 2 4 a4 a4 15 8 由此猜想an n N N 2n 1 2n 1 2 证明 当n 1 时 a1 1 结论成立 21 1 20 假设当n k k 1 且k N N 时 结论成立 即ak 那么当n k 1 时 2k 1 2k 1 ak 1 Sk 1 Sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak ak 1 2 ak 2 2 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 2k 这表明n k 1 时 结论成立 由 知猜想an 成立 2n 1 2n 1 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 证明 当n 2 时 左边 f 1 1 右边 2 1 1 1 2 1 左边 右边 等式成立 假设n k k N N k 2 时 结论成立 即f 1 f 2 f k 1 k f k 1 那么 当n k 1 时 f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k k 1 k k 1 f k 1 k 1 k 1 f k 1 1 f k 1 1 k 1 所以当n k 1 时结论仍然成立 所以f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n 2 n N N 2 证明 当n 1 时 a2 1 a1 a2 a1 1 a1 3 2 所以n 1 时 不等式成立 假设当n k k N N 时 ak0 ak 1 ak 1 ak 1 ak 1 即ak 1 ak 2 所以n k 1 时 不等式成立 综上所述 不等式an an 1 n N N 成立 3 解 1 由中点公式 得xn n 3 xn 1 xn 2 2 2 a1 x2 x1 a a2 x3 x2 x2 x2 x1 2 x1 x2 2 a 2 a3 x4 x3 x3 x3 x2 2 x2 x3 2