高中数学《函数及其表示》文字素材（2） 新人教A版必修1

用心 爱心 专心1 函数及其表示函数及其表示 三角函数是中学阶段所学初等函数中重要的一个 除给出三角函数定义外 最重要的 是研究三角函数所具备的函数的通性及其三角函数的特性 在第一单元 任意角的三角函 数中已经给出了三角函数定义 第二单元又为研究三角函数所需变形作好了准备 所以本 单元在第四章中的地位可理解为 第一 二两个单元是本单元的预备知识 本单元是前两 个单元的应用与归宿 最终为三角函数应用科学技术作好理论准备 三角函数性质的研究方法和研究二次函数 指数函数 对数函数一样是用数形结合的 方法 由简单到复杂 特殊到一般 由具体到抽象的方法逐步深入 数 与 形 是数学 研究的两类不同的对象 它们既是对立的 又是统一的 每一个几何图形中的都蕴含着反 映该图形性质的数量关系 反之 数量关系及其性质又常常可以通过几何图形的性质来反 映 来描述 所以本单元在三角函数定义 特别是三角函数的向量定义 单位圆中的三 角函数线为基础 推出的定义域 值域 从而确定了xyxycos sin 图象的存在范围 同样的定义和单位圆发现随变化时的一些特殊点xyxycos sin yx 最大值点 最小值点 零点 以正弦值在上变化顺次地重复了在区间 1 2 2 k 上的变化 从而找到了用列表描点和单位圆描点的 十三点 法画出了 2 0 的图象 反过来用图象进一步研究了的性质 接xyxycossin 和xyxycos sin 下来用变量代换的方法研究了图象的画法及图象的关系 xyxAy sin sin xysin 进一步研究图象的画法与图象的关系 最后研究用变量代换的方法xAy sin xysin 和化归的思想画出的图象并讨论了与图象的关系 其知 sin xAyxysin 识系统及其结构如下面框图所示 用心 爱心 专心2 在建立上述体系中不仅告诉我们本单元知识发生发展的过程及其逻辑结构 更重要的 是让我们体会到 1 正 余弦函数图象是本单元的核心 只要掌握了正 余弦函数图象的画法 并画出 其图象 正 余弦函数的性质就一目了然 y Asin x 图象用换元的方法也就可以转 化为y Asinx的图象 根据 y sinx 的基本性质很容易讨论y Asin x 的性质 这里 体现了特殊与一般的关系 同时也告诉我们复杂的问题总是转化为简单的问题来研究 并 获得解决 这体现了数学中的转化能力和数学变式能力 2 在由y sinx的图象转化为y Asin x K的图象过程中反复 使用了由 数 形 或由 形 数 的转化 使我们由函数式y Asin x K想到正弦曲线 的图形 由正弦曲线的图形可以求出三角函数表达式 这是数形结合的典范 三 角 函 数 定 义 坐标定义 几何定义一单位圆 中的三角函数线 特殊角三角 函数值 正切函数图 象法及性质 应用 已知三角函 数值求角 sin xAy 的图象 xyxycos sin 的基本性质 sin xAy 的性质 用心 爱心 专心3 正余弦图象和性质概念辨析 1 函数的增减性质与图像的升降形态是一个事物的两种不同的表现形式 当函数单调 递增时 反映到图像是上升的趋势 当函数单调递减时 反映到图像是下降趋势 增 减 用到函数上 升 降 用到图像上 2 函数的单调性可以看作函数的 局部 性质 它在定义域的某一个子区间上单调递 增 减 因此正弦函数的单调增区间有无数多个 可以简写为 xysin 2 2 2 2 kk Zk 就是说 k每取一个整数值 就得到一个单调递增区间 而不能写成 2 2 3 2 2 这里并集符号 用错了 3 周期通常指最小正周期 4 并不是所有周期函数都有最小正周期 如 1 xf 5 不只三角函数才是周期函数 如 2 2 kxxfy 12 12 kkx 也是周期函数 它的周期