高中数学《集合》学案11 湘教版必修1VIP

1 集合集合 一 集合的含义与表示 1 了解集合的含义 元素与集合的 属于 关系 2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 二 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 三 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用韦恩图 Venn 表达集合的关系及运算 一 集合与简易逻辑 一 理解集合中的有关概念 1 集合中元素的特征 确定性 互异性 无序性 集合元素的互异性 如 lg xyxyxA 0 yxB 求A 2 集合与元素的关系用符号 表示 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 基础知识 常见结论基础知识 常见结论 2 3 常用数集的符号表示 自然数集 正整数集 整数集 有 理数集 实数集 4 集合的表示法 列举法 描述法 韦恩图 注意 区分集合中元素的形式 如 12 2 xxyxA 12 2 xxyyB 12 2 xxyyxC 12 2 xxxxD 12 2 ZyZxxxyyxE 12 2 xxyyxF 12 2 x y zxxyzG 5 空集是指不含任何元素的集合 0 和 的区别 0 与三者间的关系 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 注意 条件为BA 在讨论的时候不要遗忘了 A的情况 如 012 2 xaxxA 如果 RA 求a的取值 二 集合间的关系及其运算 1 符号 是表示元素与集合之间关系的 立体几何中的体现 点与直线 面 的关 系 符号 是表示集合与集合之间关系的 立体几何中的体现 面与直线 面 的关系 2 BA BA ACU 3 对于任意集合BA 则 ABBA ABBA BABA ABA ABA UBACU BACU BCAC UU BACU 4 若n为偶数 则 n 若n为奇数 则 n 若n被 3 除余 0 则 n 若n被 3 除余 1 则 n 3 若n被 3 除余 2 则 n 三 集合中元素的个数的计算 1 若集合A中有n个元素 则集合A的所有不同的子集个数为 所有真子集的 个数是 所有非空真子集的个数是 2 BA 中元素的个数的计算公式为 BACard 3 韦恩图的运用 四 xxA 满足条件 p xxB 满足条件 q 若 则p是q的充分非必要条件BA 若 则p是q的必要非充分条件BA 若 则p是q的充要条件BA 若 则p是q的既非充分又非必要条件 五 原命题与逆否命题 否命题与逆命题具有相同的 注意 若qp 则qp 在解题中的运用 如 sinsin 是 的 条件 六 反证法 当证明 若p 则q 感到困难时 改证它的等价命题 若q 则p 成立 步骤 1 假设结论反面成立 2 从这个假设出发 推理论证 得出矛盾 3 由矛盾 判断假设不成立 从而肯定结论正确 矛盾的来源 1 与原命题的条件矛盾 2 导出与假设相矛盾的命题 3 导出一个恒 假命题 适用与待证命题的结论涉及 不可能 不是 至少 至多 唯一 等字眼时 正面词语等于大于小于是都是至多有一个 否定 正面词语至少有一个任意的所有的至多有 n 个任意两个 否定 4 第 1 课时 集合的概念 一 集合 1 集合是一个不能定义的原始概念 描述性定义为 某些指定的对象 就成为一个 集合 简称 集合中的每一个对象叫做这个集合的 2 集合中的元素属性具有 1 确定性 2 3 3 集合的表示法常用的有 和韦恩图法三种 有限集常用 无限集常用 图示法常用于表示集合之间的相互关系 二 元素与集合的关系 4 元素与集合是属于和 的从属关系 若 a 是集合 A 的元素 记作 若 a 不是集合 B 的元素 记作 但是要注意元素与集合是相对而言的 三 集合与集合的关系 5 集合与集合的关系用符号 表示 6 子集 若集合 A 中 都是集合 B 的元素 就说集合 A 包含于集合 B 或集合 B 包含集合 A 记作 7 相等 若集合 A 中 都是集合 B 的元素 同时集合 B 中 都是集合 A 的元素 就说集合 A 等于集合 B 记作 8 真子集 如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集 记作 9 若集合 A 含有 n 个元素 则 A 的子集有 个 真子集有 个 非空 真子集有 个 10 空集 是一个特殊而又重要的集合 它不含任何元素 是任何集合的 是任何非空集合的 解题时不可忽视 例例 1 1 已知集合 8 6 AxNN x 试求集合A的所有子集 典型例题典型例题 基础过关基础过关 5 例例 2 2 例 2 设集合 2 2 3 23 Uaa 21 2 Aa 5 U C A 求实数 a 的值 例例 3 3 已知集合 A x mx2 2x 3 0 m R 1 若 A 是空集 求 m 的取值范围 2 若 A 中只有一个元素 求 m 的值 3 若 A 中至多只有一个元素 求 m 的取值范围 例 4 若集合 A 2 4 32 27aaa B 1 a 1 2 22aa 2 1 38 2 aa 32 37aaa 且 A B 2 5 试 求实数a的值 变式训练 1 若 a b R 集合 1 0 b ab ab a 求 b a 的值 变式训练 2 1 P x x2 2x 3 0 S x ax 2 0 S P 求 a 取值 2 A 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 B A 求 m 变式训练 3 1 已知 A a 2 a 1 2 a2 3a 3 且 1 A 求实数 a 的值 2 已知 M 2 a b N 2a 2 b2 且 M N 求 a b 的值 变式训练 4 已知集合 A a a d a 2d B a aq 2 aq 其中 a 0 若 A B 求 q 的值 归纳小结归纳小结 6 1 本节的重点是集合的基本概念和表示方法 对集合的认识 关键在于化简给定的集合 确定集合的元素 并真正认识集合中元素的属性 特别要注意代表元素的形式 不要将点集 和数集混淆 2 利用相等集合的定义解题时 特别要注意集合中元素的互异性 对计算的结果要加以检 验 3 注意空集 的特殊性 在解题时 若未指明集合非空 则要考虑到集合为空集的可能 性 4 要注意数学思想方法在解题中的运用 如化归与转化 分类讨论 数形结合的思想方法 在解题中的应用 第 2 课时 集合的运算 一 集合的运算 1 交集 由 的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集 记作 A B 即 A B 2 并集 由 的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集 记作 A B 即 A B 3 补集 集合 A 是集合 S 的子集 由 的元素组成的集合 叫做 S 中子集 A 的补 集 记作 S C A 即 S C A 二 集合的常用运算性质 1 A A A A B B A A A A A B B A 2 U AC A U AC A U C C A 3 U CAB U CAB 4 A B A A B A 例 1 设全集UR Mm 方程 2 10mxx 有实数根 Nn 方程 2 0 xxn 有实数根 求 U C MN 基础过关基础过关 典型例题典型例题 小结归纳小结归纳 7 例 2 已知 3 Ax axa 1Bx x 或5 x 1 若AB 求a的取值范 围 2 若ABB 求a的取值范围 变式训练 1 已知集合 A 6 1 R 1 xx x B 2 20 x xxm 当 m 3 时 求 R AC B 变式训练 2 设集合 A 2 320 x xx B 22 2 1 5 0 x xaxa 1 若 A B 2 求实数 a 的值 2 若 A B A 求实数 a 的取值范围 1 在解决有关集合运算题目时 关键是准确理解题目中符号语言的含义 善于转化为文字 语言 2 集合的运算可以用韦恩图帮助思考 实数集合的交 并运算可在数轴上表示 注意在运 算中运用数形结合思想 3 对于给出集合是否为空集 集合中的元素个数是否确定 都是常见的讨论点 解题时要 有分类讨论的意识 8 集合单元测试题 一 选择题 1 设全集 U R A x N 1 x 10 B x R x 2 x 6 0 则下图中阴影表示的集合 为 A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 2 当 x R 下列四个集合中是空集的是 A x x2 3x 2 0 B x x2 x C x x2 2x 3 0 C x sinx cosx 6 5 3 设集合 2 5 log 3 Aa 集合 Ba b 若 2 AB 则AB 等于 A 1 2 5 B 1 2 5 C 2 5 7 D 7 2 5 4 设集合 2 1Ay yx 2 1Bx yx 则下列关系中正确的是 A AB B AB C BA D 1 AB 5 设 M P 是两个非空集合 定义 M 与 P 的差集为 M P x x M 且 x p 则 M M P 等于 A P B M P C M P D M 6 已知 2 230 Ax xxBx xa 若AB 则实数a的取值范围是 A 1 B 3 C 3 D 3 7 集合 M x x sin 3 n n Z N x x cos 2 n n Z M N A 1 0 1 B 0 1 C 0 D 8 已知集合 M x Zk k x 4 1 2 N x Zk k x 2 1 4 则 A M NB M N C M ND M N 9 设全集 x 1 x 9 x N 则满足 1 3 5 7 81 3 5 7 U C B 的所有集合 B 的 个数有 A 1 个 B 4 个 C 5 个 D 8 个 9 10 已知集合 M x y y 2 9x N x y y x b 且 M N 则实数 b 应 满足的条件是 A b 23 B 0 b 2 C 3 b 23 D b 23或 b 3 二 填空题 11 设集合 32 Axx 2121 Bxkxk 且AB 则实数k的取值范 围是 12 设全集 U R A 2 21 ln 1 x x xBx yx 则右图中阴影部分表示的 集合为 13 已知集合 A 4 3 2 1 那么 A 的真子集的个数是 14 若集合 Rx 1 2 1 y yS x 1x 1x logy yT 2 则TS 等于 15 满足 0 1 2 0 1 2 3 4 5 A 的集合 A 的个数是 个 16 已知集合 1 3 2 Pxx 函数 2 2 log 22 f xaxx 的定义域为 Q 1 若 1 2 2 3 2 3 PQPQ 则实数 a 的值为 2 若PQ 则实数a的取值范围为 三 解答题 17 已知函数 1 2 x f x x 的定义域集合是 A 函数 22 lg 21 g xxaxaa 的定 义域集合是 B 1 求集合 A B 2 若 AB B 求实数a的取值范围 18 设UR 集合 2 320Ax xx 2 1 0Bx xmxm 若 10 BACU 求m的值 19 设集合 4232 1 x xA 0123 22 mmmxxxB 1 当 Zx 时 求 A 的非空真子集的个数 2 若 B 求 m 的取值范围 3 若BA 求 m 的 取值范围 20 对于函数 f x 若 f x x 则称 x 为 f x 的 不动点 若 xxff 则称 x 为 f x 的 稳定点 函数 f x 的 不动点 和 稳定点 的集合分别记为 A 和 B 即 xxfxA xxffxB 1 求证 A B 2 若 2 1 f xaxaR xR 且AB 求实数 a 的取值范围 11 单元测试参考答案 一 选择题 1 答案 A 2 答案 C 3 答案 A 4 提示 0 Ay y 11 Bx xx 或 答案 D 5 答案 B 6 答案 B 7 由 3 n 与 2 n 的终边位置知 M 2 3 0 2 3 N 1 0 1 故选 C 8 C 9 D 10 D 11 提示 2121kk B 答案 1 1 2 k 12 答案 0 2 1 AB 图中阴影部分表示的集合为 1 2 U AB 13 答案 15 14 答案 1 y y 15 答案 7 16 答案 3 2 a 4 a 17 解 1 A 12x xx 或 B 1x xaxa 或 2 由 A B B 得 A B 因此 1 12 a a 所以11a 所以实数 的取值范围 是 1 1 18 解 2 1A 由 U C ABBA 得 当1m 时 1B 符合BA 当1m 时 1 Bm 而BA 2m 即2m 1m 或2 19 解 化简集合 A 52 xx 集合 B 可写为 0 12 1 mxmxxB 1 5 4 3 2 1 0 1 2 AZx 即 A 中含有 8 个元素 A 的非空真子集数为 254228 个 1 显然只有当 m 1 2m 1 即 m 2 时 B 2 当 B 即 m 2 时 AB 当 B 即2 m时 12 当 m 2 时 B m 1 2m 1 要AB 只要 21 512 21 m m m 综合 知 m 的取值范围是 m 2 或 2 1 m 20 证明 1 若 A 则 A B 显然成立 若 A 设 t A 则 f t t f f t f t t 即 t B 从而 A B 解 2 A 中元素是方程 f x x 即 xax 1 2 的实根 由 A 知 a 0 或 041 0 a a 即 4 1 a