高中数学：计数原理章末测试题 新课标人教A版选修2-3

第一章第一章 计数原理单元测试题计数原理单元测试题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同报名方法共有 A 10 种B 20 种 C 25 种 D 32 种 2 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的选 修方案共有 A 36 种 B 48 种 C 96 种 D 192 种 3 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照 要求排成一排 2 位老人相邻但不排在两端 不同的排法共有 1440 种 960 种 720 种 480 种 4 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成 其中 4 个数字互不相同的牌照号码 共有 2 14 2610 CA个 24 2610 A A个 2 14 26 10C个 24 2610 A个 5 x 2y 10的展开式中 x6y4项的系数是 A 840 B 840 C 210 D 210 6 由数字 0 1 2 3 4 5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 A 72 B 60 C 48 D 52 7 用 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的全部五位数中 若按从小到大的顺序排列 则数字 12340 应是第 个数 A 6 B 9 C 10 D 8 8 AB 和 CD 为平面内两条相交直线 AB 上有 m 个点 CD 上有 n 个点 且两直线上各有一个与交点 重合 则以这 m n 1 个点为顶点的三角形的个数是 A 2121 mnnm CCCC B 21 1 21 mnnm CCCC C 2121 1mnnm CCCC D 2 1 1 1 21 1 mnnm CCCC 9 设 10 10 2 210 10 2xaxaxaax 则 2 921 2 1020 aaaaaa 的 值为 A 0 B 1 C 1 D 10 某城市的街道如图 某人要从A地前往B地 则路程最短的走法有 A 8 种 B 10 种 C 12 种 D 32 种 11 从 6 个正方形拼成的 12 个顶点 如图 中任取 3 个顶点作为一组 其中可以构成三角形的组数 为 A 208 B 204 C 200 D 196 12 从不同号码的五双靴中任取 4 只 其中恰好有一双的取法种数为 A 120 B 240 C 360 D 72 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 今有 2 个红球 3 个黄球 4 个白球 同色球不加以区分 将这 9 个球排成一列 有 种不同的方法 用数字作答 14 用数字 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的五位数 则其中数字 1 2 相邻的偶数有 个 用数字作答 15 若 2x3 x 1 n的展开式中含有常数项 则最小的正整数n 16 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙 二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 从 4 名男生 3 名女生中选出三名代表 1 不同的选法共有多少种 2 至少有一名女生的不同的选法共有多少种 3 代表中男 女生都要有的不同的选法共有多少种 第 10 题 第 11 题 18 平面内有 12 个点 其中有 4 点共线 此外再无任何 3 点共线 以这些点为顶点可得到多少个 不同的三角形 19 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 l 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 20 把 1 2 3 4 5 这五个数字组成无重复数字的五位数 并把它们按由小到大的顺序排列成 一个数列 1 43251 是这个数列的第几项 2 这个数列的第 96 项是多少 3 求所有五位数的各位上的数字之和 4 求这个数列的各项和 21 在的展开式中 如果第 4r 项和第 r 2 项的二项式系数相等 1 求 r 的值 2 写出展开式中的第 4r 项和第 r 2 项 22 本小题满分 12 分 求证 能被 25 整除 第一章 计数原理单元测试题参考答 一 选择题 每题一 选择题 每题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 D 2 C 解析 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的选修方案共有 233 444 96CCC 种 选 C 3 B 解析 5 名志愿者先排成一排 有 5 5 A种方法 2 位老人作一组插入其中 且两位老人有左 右顺序 共有 5 5 2 4 A 960 种不同的排法 选 B 4 A 解析 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成 其中 4 个数字互不相同 的牌照号码共有 2 14 2610 CA个 选 A 5 A 6 B 解析 只考虑奇偶相间 则有 3 3 3 3 2AA种不同的排法 其中 0 在首位的有 3 3 2 2A A种不符 合题意 所以共有 3 3 3 3 2AA60 3 3 2 2 AA种 7 C 解析 比 12340 小的分三类 第一类是千位比 2 小为 0 有6 3 3 A个 第二类是千位为 2 百 位比 3 小为 0 有2 2 2 A个 第三类是十位比 4 小为 0 有 1 个 共有 6 2 1 9 个 所以 12340 是第 10 个数 8 D 解析 在一条线上取 2 个点时 另一个点一定在另一条直线上 且不能是交点 9 C 10 B 11 C 12 A 解析 先取出一双有 1 5 C种取法 再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双 而后从每双中各取一只 有 1 2 1 2 2 4 CCC种不同的取法 共有 1 5 C120 1 2 1 2 2 4 CCC种不同的取法 二 二 填空题填空题 每小题每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 1260 解析 由题意可知 因同色球不加以区分 实际上是一个组合问题 共有 423 953 1260C C C AA 14 24 解析 可以分情况讨论 若末位数字为 0 则 1 2 为一组 且可以交换位置 3 4 各为 1 个数字 共可以组成 3 3 212A 个五位数 若末位数字为 2 则 1 与它 相邻 其余 3 个数字排列 且 0 不是首位数字 则有 2 2 24A 个五位数 若末位数 字为 4 则 1 2 为一组 且可以交换位置 3 0 各为 1 个数字 且 0 不是首位数字 则有 2 2 2 2 A 8 个五位数 所以全部合理的五位数共有 24 个 15 7 解析 若 2x3 x 1 n的展开式中含有常数项 3 1 1 2 n rn rr rn TCx x 为常数项 即 7 3 2 r n 0 当n 7 r 6 时成立 最小的正整数n等于 7 16 36 种 解析 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员 再从 4 人 中选 2 人担任学习委员和体育委员 不同的选法共有 12 34 3 4 336CA 种 三 解答题三 解答题 17 解 1 即从 7 名学生中选出三名代表 共有选法 3 7 35C 种 2 至少有一名女生的不同选法共有 12213 34343 31C CC CC 种 3 男 女生都要有的不同的选法共有 333 743 30CCC 种 18 解 把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准 第一类 共线的 4 点中有两点为三角形的顶点 共有 个 第二类 共线的 4 点中有一点为三角形的顶点 共有 个 第三类 共线的 4 点中没有点作为三角形的顶点 共有 个 由分类计数原理知 共有三角形 个 答 可得到 216 个不同的三角形 19 19 解析 解析 l l 方法一 方法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个 有种站 法 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法480 种 方法二 方法二 由于甲不站两端 这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站 有种站 法 然后中间 4 人有种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法480 种 方法三 方法三 若对甲没有限制条件共有种站法 甲在两端共有种站法 从总数中减 去这两种情况的排列数 即得所求的站法数 共有480 种 2 2 方法一 方法一 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 有种站法 再把甲 乙 进行全排列 有种站法 根据分步乘法计数原理 共有240 种 站 法 方法二 方法二 先把甲 乙以外的 4 个人作全排列 有种站法 再在 5 个空档中选出一 个供甲 乙放入 有种方法 最后让甲 乙全排列 有种方法 共有 240 种 3 3 因为甲 乙不相邻 中间有隔档 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的 4 个人 站队 有种 第二步再将甲 乙排在 4 人形成的 5 个空档 含两端 中 有种 故共有站法为 480 种 也可用 间接法 6 个人全排列有种站法 由 2 知甲 乙相邻有240 种站法 所以不相邻的站法有 720 240 480 种 4 4 方法一 方法一 先将甲 乙以外的 4 个人作全排列 有种 然后将甲 乙按条件插入站队 有种 故共有种站法 方法二 方法二 先从甲 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲 乙之间的两个位置上 有种 然后把甲 乙及中间 2 人看作一个 大 元素与余下 2 人作全排列有种方法 最后对 甲 乙进行排列 有种方法 故共有144 种站法 5 5 方法一 方法一 首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有种 再让其他 4 人在中间位置 作全排列 有种 根据分步乘法计数原理 共有种站法 方法二 方法二 首先考虑两个特殊位置 甲 乙去站有种站法 然后考虑中间 4 个位置 由 剩下的 4 人去站 有种站法 由分步乘法计数原理共有种站法 6 6 方法一 方法一 甲在左端的站法有种 乙在右端的站法有种 且甲在左端而乙在右端 的站法有种 共有种站法 方法二 方法二 以元素甲分类可分为两类 甲站右端有种 甲在中间 4 个位置之一 而乙不在右端有种 故共有 504 种站法 20 解 先考虑大于 43251 的数 分为以下三类 第一类 以 5 打头的有 4 4 A 24 第二类 以 45 打头的有 3 3 A 6 第三类 以 435 打头的有 2 2 A 2 故不大于 43251 的五位数有 88 2 2 3 3 4 4 5 5 AAAA 个 即 43251 是第 88 项 数列共有 A 120 项 96 项以后还有 120 96 24 项 即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项 即为 45321 3 因为 1 2 3 4 5 各在万位上时都有 4 4 A个五位数 所以万位上各个数字的和为 1 2 3 4 5 4 4 A 同理它们在千位 百位 十位 个位上也都有个 4 4 A五位数 所有五位数的各位上的数字 之和 5 1 2 3 4 5 4 4 A 1800 4 因为 1 2 3 4 5 各在万位上时都有 4 4 A个五位数 所以万位上数字的和为 1 2 3 4 5 4 4 A 10000 同理它们在千位 百位 十位 个位上也都有 4 4 A个五位数 所以这个数列各项和为 1 2 3 4 5 4 4 A 1 10 100 1000 10000 21 解 1 展开式第 4r 项的二项式系数为 第 r 2 项的