空间向量在立体几何中的应用

活用向量法 巧解立几题 纵观近几年立几高考题 集中于论证空间平行和垂直关系 求空间角 距 等问大的优离题 空间向量将立体几何代数化 思路简明 较传统法是一种极 化 以下举例说明 例1 2011天津 11111 BC如图 在三棱柱ABC A中 H 是正方形AABB的中心 1 2AA 2 1 CH平面 11 AABB 1 5 且CH 11 1 ACB求异面直线与A所成角的余弦值 111 2 AACB 求二面角的正弦值 1111111 3 NBCBC 设为棱的中点 点M 在平面AABB内 且M N平面A 求线段BM的长 A 1 A B 1 B C H X Y Z 1 C 1 分析 题为求线线角问题 相关要点回放 12 llm n 设直线 方向向量分别为 cos mn m n 夹角为则 2 题为求面面角问题 相关要点回放 lm n 若二面角 两个半平面的法向量分别为 其大小为 mn m n 则cos 二法向量同时指向二面角的内部或外部时 mn m n 或cos 二法向量一个指向二面角的外部一个指向二面角的内部时 3 题涉及线面垂直问题 要点回放 lmna 设直线方向向量为平面法向量为lm 则n 22 0解 如上图 以点H 为坐标原点建立空间直角坐标系 依题意得A 111 2 2 0 2 2 0 0 0 5 BC A 0 2 2 5 C 1 11 2 2 5 2 2 0 0 ACAB 设已知两异面直线所成的角为 则 11 11 2 2 5 2 2 0 0 2 33 2 2 AC AB AC AB cos 11111 0 2 2 0 2 2 5 225AAACBC 2 易得 111 11 1111 02 20 111111 02250 n AAy n ACxyz AACnx y z 设平面法向量则 即 111 0 5 2 y 则不妨令x得z 1 5 0 2 n 21 1 21 1 0 1112222 0 n AC n BC ABCnx y z 设平面法向量则 222 222 2250 2250 xyz xyz 即 2222 0 5 2 0 5 2 yzn 则x令得可得 12 12 223 5 sin 777 7 n n n n qq cos 1112 3 MNABCMNn 面由 2 得 2 225 5 2 222 MNn 设 即 x y 0 23 223 2 0 2424 xyM 解得 22 0 24 BM 10 4 BM 引申与回味 2 mnn 题 1 2 涉及线线角 面面角问题 面面角最终转化为线线角 与所成的角 sin mn mn m n 类比可得线面角的求法设直线方向向量为 平面法向量为则 题 3 涉及线面垂直问题 依空间平行 垂直的概念知 线与面 面与面平行 系垂直关均可转化为线线关系 故可类比得以下结论 12 l lm np q 设直线方向向量分别为 面法向量分别为则 1 2 3 4 1 lmp ap q 12 llmn pq 2 2008例安徽 4 如图 在四棱锥O ABC D 中 底面ABC D 是边长为1的菱形 ABC O A底面ABC D O A 2 M 为O A的中点 N 为BC 的中点 1 证明 直线M N 面O C D 2 求异面直线AB与M D 所成角的大小 3 求点B到O C D 的距离 A M O Z B Z P Y N D C 1 分析可证M N 与面O C D 法向量垂直 naaa 2 为求点面距问题 要点回放 设面法向量为 若A是面外一点 B是面内一点 AB n d n a 则点A到面距离 解 作APC D 于点P 如图 分别以AB AP AO 所在直线为x y z轴建立空间直角坐标系 22222 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 22244 DOMN 则A 0 0 0 B 1 0 0 P 0 22222 1 1 1 0 2 2 44222 MNOPOD 2 20 0 2 022 20 22 y z n OP n ODy xz n 设面O C D 法向量为 x y z 则 即 22 2 0 4 2 1 1 0 4 2 0 44 nMN n 取z 则 MN OCD面 3 p 2 易得所求角的大小为 过程从略 2 1 0 2 3 OB n OBd n 3 设点B到平面O C D 的距离为d 由得 2 3 所以点B到平面