【步步高】2013-2014学年高中数学 第2章 2.4.2抛物线的几何性质(一)同步训练 苏教版选修2-1

1 2 4 22 4 2 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 一一 一 基础过关 1 设点A为抛物线y2 4x上一点 点B 1 0 且AB 1 则A的横坐标的值为 2 以x轴为对称轴的抛物线的通径长为 8 若抛物线的顶点在坐标原点 则其方程为 3 经过抛物线y2 2px p 0 的焦点作一直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 的值是 y1y2 x1x2 4 过抛物线y2 2px的焦点F的直线与抛物线交于A B两点 若A B在准线上的射影 为A1 B1 则 A1FB1 5 等腰 Rt ABO内接于抛物线y2 2px p 0 O为抛物线的顶点 OA OB 则 Rt ABO 的面积是 6 如图所示 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线l交抛物线于点A B 交其准线 于点C 若BC 2BF 且AF 3 则此抛物线的方程为 7 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A B两点 设A x1 y1 B x2 y2 若 x1 x2 6 则AB 二 能力提升 8 如图所示是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面 2 m 水面宽 4 m 水位下降 1 m 后 水面宽 m 9 已知 ABC的三个顶点都在y2 32x上 A 2 8 且这个三角形的重心与抛物线的焦 点重合 则直线BC的斜率是 10 正三角形的一个顶点位于坐标原点 另外两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 求这 个正三角形的边长 11 线段AB过x轴正半轴上一定点M m 0 端点A B到x轴的距离之积为 2m 以x轴为 对称轴 过A O B三点作抛物线 求抛物线的方程 12 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为 2的直线交抛物线于A x1 y1 2 2 B x2 y2 x10 的焦点F的直线交抛物线于A B两点 设A x1 y1 B x2 y2 则称AB为抛物线的焦点弦 求证 1 y1y2 p2 x1x2 p2 4 2 1 FA 1 FB 2 p 3 答案答案 1 0 2 y2 8x或y2 8x 3 4 4 90 5 4p2 6 y2 3x 7 8 8 2 6 9 4 10 解 如图所示 设正三角形OAB的顶点A B在抛物线上 且坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则y 2px1 2 1 y 2px2 2 2 又OA OB 所以x y x y 2 12 12 22 2 即x x 2px1 2px2 0 2 12 2 整理得 x1 x2 x1 x2 2p 0 x1 0 x2 0 2p 0 x1 x2 由此可得 y1 y2 即线段AB关于x轴对称 由此得 AOx 30 y1 x1 3 3 与y 2px1联立 解得y1 2p 2 13 AB 2y1 4p 3 11 解 画图可知抛物线的方程为 y2 2px p 0 直线AB的方程为x ky m 由Error 消去x 整理得y2 2pky 2pm 0 由根与系数的关系得y1y2 2pm 由已知条件知 y1 y2 2m 从而p 1 故抛物线方程为y2 2x 12 解 1 直线AB的方程是 y 2 2 x p 2 与y2 2px联立 从而有 4x2 5px p2 0 所以x1 x2 由抛物线定义得 5p 4 4 AB x1 x2 p 9 所以p 4 抛物线方程为y2 8x 2 由p 4 4x2 5px p2 0 化简得x2 5x 4 0 从而x1 1 x2 4 y1 2 2 y2 4 从而A 1 2 B 4 4 222 设 x3 y3 1 2 4 4 OC 22 1 4 2 4 22 又y 8x3 即 2 2 1 2 2 32 8 4 1 即 2 1 2 4 1 解得 0 或 2 13 证明 1 如图所示 抛物线y2 2px p 0 的焦点 F 准线方程 x p 2 0 p 2 设直线AB的方程为x ky 把它代入y2 2px p 2 化简 得y2 2pky p2 0 y1y2 p2 x1x2 y2 1 2p y2 2 2p y1y2 2 4p2 p2 2 4p2 p2 4 2 根据抛物线定义知 FA AA1 x1 p 2 FB BB1 x2 p 2 1 FA 1 FB 1 x1 p 2 1 x2 p 2 2 2x1