高考数学复习点拨 走进三角看风景

用心 爱心 专心 走进三角看走进三角看 风景风景 三角函数是以角为自变量的函数 也是以实数为自变量的函数 同时又广泛应用于客 观实际 在三角函数中 展现着一道道美丽的 风景 现在就和同学们一起走进各个 景 点 逛一逛 看一看 去愉悦 陶醉我们的心情 景点一 三角函数的概念和公式景点一 三角函数的概念和公式 景观 任意角和弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的关系式 诱导公式景观 任意角和弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数的关系式 诱导公式 聚焦聚焦 1 1 已知扇形的圆心角是 半径为 则扇形的面积为 72 20 观赏 扇形的弧长为 扇形的面积为 72 2 5 2 5 20 8 1 2 8 20 80 2 感言 1 角度制与弧度制是不同的量角制 但它们之间是一一对应的 角度转换成弧度 将角度 乘以 弧度转换成角度 将弧度 乘以 180 180 180 2 用弧度为单位表示角时 弧度数常写成多少 的形式 如无特殊要求 保留分数 形式 3 弧度制下得到弧长公式及扇形面积公式有着较广泛的应用 1 2 2 使用上述公式需注意两点 圆心角 必须用弧度制给出 用求圆心角时 其结果 是圆心角的弧度数的绝对值 运算涉及四个元素 弧长 半径 圆心角 扇形面积 这四个量 已知其中两个可求另两个 聚焦聚焦 2 2 1 是第四象限的角 则 tan 5 12 2 在下列各数中 与的值最接近的是 sin 2009 A B C D 1 2 3 2 1 2 3 2 观赏 1 由 得即 cos tan 5 12 sin2 cos2 1 sin2 5 12 2 1 sin2 25 169 又 是第四象限的角 故 0 5 13 2 故选 sin 2009 360 5 209 sin 209 180 29 sin 29 sin 30 1 2 C 感言 求一个已知角的三角函数值 或已知角的三角函数值求这个角的其他三角函数 值 通常要先确定角的终边位置 再利用三角函数中同角三角函数关系式和诱导公式确定 角的大小 利用三角函数定义 可以得到诱导公式 即与 之间的函数值关 2 系 其规律是 奇变偶不变 符号看象限 应用同角三角函数关系式中的平方关系时 常用到开方 要注意角的范围的确定 用心 爱心 专心 聚焦聚焦 3 3 若 则在平面直角坐标系中 点 3 4 5 4 在 sin cos sin cos A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 观赏 由 知 易知选 B 3 4 5 4 sin cos 0 感言 同一个角的正弦 余弦的和与差的符号可由下图确定 y y x sin cos 0 O x sin cos 0 O x 0 2 2 2 3 对称 它的最小正周期是 则下列表述正确的是 A 函数的图象过点 B 函数在 上是减函数 0 1 2 5 12 2 3 C 函数的 最大值是 D 函数的对称中心是 4 5 12 0 观赏 1 3 6 2 故函数的最小值为 2sin 3 sin 3 sin 3 1 2 函数是周期为 的偶函数 故选 B sin 2 1 12 3 由已知可得 且 2 2 sin 2 2 3 1 4 3 2 用心 爱心 专心 的对称中心为 sin 2 6 sin 2 6 12 2 0 当时 的对称中心为 故选 D 1 5 12 0 A 不确定是正数还是负数 则排除 B C 验证排除 A 故选 D 感言 求函数的最值 最小正周期等都需要将函数等价转化为一个函数的形式 三角 函数图象的对称性如下 正弦函数的图象的对称中心为 k 对称 sin 0 轴为直线 余弦函数的图象的对称中心为 k 2 cos 2 0 对称轴为直线 正切函数 没有对称轴 掌握这些图象的对称性 tan 的图象的对称中心为 2 0 对解决有关问题十分重要 聚焦聚焦 7 7 设函数 图象的一条对称轴是 sin 2 0 直线 8 1 求 2 求函数的单调递减区间 观赏 1 为图象的一条对称轴 8 则 即 8 1 4 1 解得 0 0 而当时 则不能把看作整体直接套用的单调区间求解 可用诱导公 0 sin 式将函数变为 则 的增区间为原函数的减区间 减区间为原函数的额增区间 聚焦聚焦 8 8 1 若函数 则函数的最大值是 3sin 1 2 0 3 用心 爱心 专心 A B C D 1 2 2 3 2 2 3 2 2 设关于 的函数的最小值为 试确定满 2cos2 2 2 2 1 足的 值 并对此时的 值求 的最大值 1 2 观赏 1 函数 3sin 1 2 0 3 1 2 0 6 3sin 1 2 3 2 即函数的最大值是 故选 D 3 2 2 由 及 2cos2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 4 得 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2 式 y 1 O x 11 12 观赏 因为图象过点 是第五个特征点 当时 相位的值 11 12 0 11 12 是 即 2 11 12 2 而点 在第一 第二两特征点之间 所以且 01 0 0 22sin 0 1 可解得 2 6 函数解析式为 2sin 2 6 感言 我们学习的是利用 五点法 来作的简图的 即利用 sin 在同一个周期内的五个特征点 反过来 我们可以由图象上已知的特征运 sin 0 2 用 五点法 求其解析式 其依据是 对于图象上的已知点 确定它是 五点 中的第几 点 它与函数的相位的第几个取值 2 相对应 由 sin 0 2 3 2 此我们可以求解各种类型的三角函数解析式 聚焦聚焦 11 11 某 海之旅 表演队在一海滨区域进行集训 该海滨区域的海浪高度 米 随着时间单位 小时 而周期性变化 为了了解变化规律 该队观察若干天 0 24 后 得到每天各时刻 的浪高数据的平均值如下表 t 时 03691215182124 y 米 1 01 41 00 61 01 40 90 41 0 1 试画出散点图 2 观察散点图 从 中选择一个 sin cos 合适的函数模型 并求出该拟合模型的解析式 3 如果确定当浪高不低于 米时才能进行训练 试安排恰当的训练时间段 0 8 观赏 1 作出散点图 y 用心 爱心 专心 1 5 1 0 0 5 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t 2 由散点图可知 选择函数模型较为合适 sin 由图可知 则 1 4 0 6 2 2 5 12 1 4 0 6 2 1 2 12 6 2 5sin 6 1 把 代入 得即 0 1 6 0 0 0 2 5sin 6 1 0 24 3 由即 2 5sin 6 1 4 5 0 24 sin 6 1 2 则 得 6 2 6