高中数学《导数的概念-曲线的切线》教案1 新人教A版选修1-1

用心 爱心 专心 1 课课 题 题 3 3 1 1 导数的概念 一 导数的概念 一 曲线的切线曲线的切线 教学目的 1 了解曲线的切线的概念 2 掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法 3 并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 教学重点 理解曲线在一点处的切线的定义 以及曲线在一点处的切线的斜率的定义 光滑 曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景 教学难点 会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教 具 多媒体 实物投影仪 内容分析 导数是解决函数的最大值 最小值问题的有力工具 导数的知识形成一门学科 就是我 们通常所说的微积分 微积分除了解决最大值 最小值问题 还能解决一些复杂曲线的切线 问题 导数的思想最初是法国数学家费马 Fermat 为解决极大 极小问题而引入的 但导数 作为微分学中最主要概念 却是英国科学家牛顿 Newton 和德国数学家莱布尼兹 Leibniz 分别在研究力学与几何学过程中建立的 微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响 主要是靠了牛顿和莱 布尼兹的工作 但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执 其实 他们差不多是在相同 的时间相互独立地发明了微积分 方法类似但在用语 符号 算式和量的产生方式稍有差异 牛 顿在 1687 年以前没有公开发表 莱布尼兹在 1684 年和 1686 年分别发表了微分学和积分学 所以 就发明时间而言 牛顿最于莱布尼兹 就发表时间而言 莱布尼兹则早于牛顿 关于 谁是微积分的第一发明人 引起了争论 而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的 而 英国认为牛顿为第一发明人 拒绝使用莱布尼兹发明的符号 因此 使自己远离了分析的 主流 教学过程 一 复习引入 圆与圆锥曲线的切线定义 与曲线只有一个公 共点并且位于曲线一边的直线叫切线 二 讲解新课 曲线的切线 如图 设曲线 c 是函数 yf x 的图象 点 00 P xy是曲线 c 上一点作割线 PQ 当点 Q 沿 着曲线 c 无限地趋近于点 P 割线 PQ 无限地趋近 于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT 叫做曲线 c 在点 P 处的切线 y f x x y Q MP x O y 切 切 x O y 用心 爱心 专心 2 2 确定曲线 c 在点 00 P xy处的切线斜率的方法 因为曲线 c 是给定的 根据解析几何中直线的点斜是方程的知识 只要求出切线的斜 率就够了设割线 PQ 的倾斜角为 切线 PT 的倾斜角为 既然割线 PQ 的极限位置上的 直线 PT 是切线 所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率 tan 即 tan 0 lim x x y 0 lim x 0 f xxf x x 我们可以从运动的角度来得到切线 所以 可以用极限来定义切线 以及切线的斜率 那么 以后如果我们碰到一些复杂的曲线 也可以求 出它在某一点处的切线了 三 讲解范例 例 1 曲线的方程为y x2 1 那么求此曲线 在点P 1 2 处的切线的斜率 以及切线的方 程 解 k x xfxxf x lim 00 0 22 00 1 1 1 1 11 limlim xx fxfx xx 2 00 2 limlim 2 2 xx xx x x 切线的斜率为 2 切线的方程为y 2 2 x 1 即y 2x 例 2 求曲线f x x3 2x 1 在点 1 4 处的切线方程 解 k x fxf x xfxxf xx 1 1 lim lim 0 00 0 33 0 1 2 1 1 12 1 1 lim x xx x 23 0 53 lim x xxx x 2 0 lim 53 5 x xx 切线的方程为y 4 5 x 1 即y 5x 1 例 3 求曲线f x 3 1 x3 x2 5 在x 1 处的切线 的 倾斜角 分析 要求切线的倾斜角 也要先求切线的斜率 再根据斜率k tan 求出倾斜角 解 tan x fxf x xfxxf xx 1 1 lim lim 0 00 0 y x2 1 y 2x P 1 2 x O y y x3 2x 1 y 5x 1 P 1 4 x O y 用心 爱心 专心 3 32 0 11 1 1 5 1 5 33 lim x xx x 3 0 1 3 lim x xx x 2 0 1 lim 1 1 3 x x 0 4 3 切线的倾斜角为 4 3 例 4 求曲线y sinx在点 2 1 6 处的切线方程 解 k x x x fxf xx 6 sin 6 sin lim 6 6 lim 00 0 131 cossin 222 lim x xx x 00 1 cos13sin limlim 22 xx xx xx 2 0 2sin 13 2 lim 22 x x x 2 0 2 sin 13 2 lim 222 2 x x x x 133 1 0 222 切线方程是 6 2 3 2 1 xy 即 2 1 12 3 2 3 xy 例 5 y x3在点P处的切线斜率为 3 求点P的坐标 解 设点P的坐标 x0 x03 斜率 3 x xfxxf x lim 00 0 33 00 0 lim x xxx x 223 00 0 33 lim x xxxxx x 222 000 0 lim 33 3 x xxxxx 用心 爱心 专心 4 3x02 3 x0 1 P点的坐标是 1 1 或 1 1 四 课堂练习 1 已知曲线y 2x2上一点A 1 2 求 1 点A处的切线的斜率 2 点A处的切线方程 解 1 k x x x fxf xx 22 00 12 1 2 lim 1 1 lim 4 24 lim 24 lim 0 2 0 x x xx xx 点A处的切线的斜率为 4 2 点A处的切线方程是y 2 4 x 1 即y 4x 2 2 求曲线y x2 1 在点P 2 5 处的切线方程 解 k x x x fxf xx 1 2 1 2 lim 2 2 lim 22 00 4 4 lim 4 lim 0 2 0 x x xx xx 切线方程是y 5 4 x 2 即y 4x 3 点评 求切线的斜率与方程 主要转化为求极限 要从切线的斜率的定