浅谈不等式证明的常用方法pdf

浅谈高中数学不等式的几种证明方法 铜仁二中 覃 波 高中数学不等式的证明是高中数学中的一个难点 也是很多 学生害怕的一个知识点 在高中数学中不等式作为一个重不等式作为一个重 要的分析工具和分析手段 在数学解题中具有举足轻重的要的分析工具和分析手段 在数学解题中具有举足轻重的 地位 不等式的证明可分为推理性问题或探索性问题 推地位 不等式的证明可分为推理性问题或探索性问题 推 理性问题即是指在特定条件下 阐述论证过程 揭示内在理性问题即是指在特定条件下 阐述论证过程 揭示内在 规律 基本方法有比较法 分析法 综合法 探索性问题规律 基本方法有比较法 分析法 综合法 探索性问题 大多是与自然数有关的证明问题 常采用观察一归纳一猜大多是与自然数有关的证明问题 常采用观察一归纳一猜 想想 证明的思路 以数学归纳法完成证明 本文主要介绍不等证明的思路 以数学归纳法完成证明 本文主要介绍不等 式证明中的另外三种方法 换元法 构造法 放缩法 式证明中的另外三种方法 换元法 构造法 放缩法 一 放缩法 在证明不等式时 常把菜些项或因式换以较大或较小的数 这种方法叫做放缩法 即在证明过程中 有时把不等式 一边适当放大或缩小 利用不等式的传递性来证明 利用 放缩法证明不等式 既要掌握放缩法的基本方法和技巧 又需熟悉不等式的性质和其他证法 做到放大或缩小恰到 好处 才有利于问题的解决 例1 已知 a 0 b 0 求证 证明 ba ba ba b ba a b b a a ba b b b ba a a a ba 11111 11 11 0 0 所以 原不等式成立 二 换元法 1 1 三角函数是一类重要的函数 利用三角函数证明不等式 使一些看似复杂 甚至无从下手的不等式证明 变得简单明了 2 增量换元法 一般的 对称式 任意互换两个字母 代数式不变 和给定 字母顺序 如a b c等 的不等式 常用增量法进行换元 例2 已知a b c d 都是实数 x 0 y 0 222222 ydcxba 求证 2 22 yx bdac 分析 设 sin cos sin cosydycxbxa 2 0 则 bdac 2 sinsincoscos 22 yx xyxyxy 所以 原不等式成立 例例3 3已知x y ox y o 求证 yxyx 证明 yxyx tyty tyyttyty ttyxyx 故 所以 因为 可设由 2 2 0 0 三 构造函数法证明不等式 函数是贯穿中学数学的一条主线 一些本身无明显的函数关系的问题 通过类比 联想 转化 合理的构造函数模型 从而使问题迎刃而解 本题利用分析法证明过程较复杂 利用构造函数法证明 过程简洁 一目了然 例例4 4已知 ABC 的三边长是a b c 且m 为正数 求证 高中课本 人教版第二册上 mc c mb b ma a 习题6 3 第9 题 证明 证明 故原不等式成立 又 所以 即所以 的三边是三角形因为 为增函数 上 在易知设 mba ba mba b mba a mb b ma a mc c cfbafcba ABCcba mx x xfx mx x xf mba ba 0 0 例例5 5 故原不等式成立 恒成立则 的系数大于又 因为 证明 考虑函数 求证 已知 0 0 0 sinsin 4 cos2 4 coscos4 cos2 coscos 2 cos2cos2cos2 cos2cos2cos2 2 2 222 222 222 222 xf x zy yzzyzy yzzyzyx xzyzxyzyxxf xzyzxyzyx 四 转化为向量证明不等式 若能依据某些不等式的条件和结论 将其转化为向量形式 利用向量的数量积及不等式关系 往往能避免复杂的凑配技巧 使证明过程直观而又容易解 例6 故原不等式成立 则 设证明 求证 已知 2 2 2 2 222 2