高二数学（理）函数最值、导数应用题人教实验版（A）知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学 理 函数最值 导数应用题人教实验版 高二数学 理 函数最值 导数应用题人教实验版 A 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数最值 导数应用题 二 重点 难点 1 闭区间上的连续函数必有最值 2 求的 n xxxxxfbaxxfy 21 0 1 bfxfxfaf n 值 最大的为最大值 最小的为最小值 3 应用问题 1 选定自变量 x 2 选定函数值 y 3 建立函数关系 xfy 4 确定函数的定义域 5 用导数求最值 典型例题典型例题 例 1 求下列函数最值 1 2 1 155 345 xxxxy 解 解 舍 3 1 0 0 1 3 5 2 xxxxy 7 2 2 1 1 0 10 1 ffff 10 2 minmax yy 2 ln 33 eexxxy 解 解 0 1 ln 1 x x y 12 2 3 332 2 3 3 eefeefeeefex minmax 3yeey e 2 3 2 2 1 3 1 2 3 2 xxxy 0 1 1 3 2 3 2 2 3 1 3 4 3 2 2 xx xx y 2 2 x14 2 3 f 用心 爱心 专心 33 34 2 f 3 4 2 2 f 3 4 2 2 f1 1 1 0 ff 3 max 4 2 2 2 2 ffy 33 min 34 2 fy 例 2 函数 求 1 3 2 a 1 1 2 3 23 xbaxxxf 2 6 1 minmax yy ba 解 解 3 axxxf bafbaf 2 3 1 1 2 3 1 1 baafbf 3 2 1 0 2 6 2 3 1 1 1 0 min max bafy bfy 1 3 6 b a 例 3 求 2 1 6 23 xbaxaxxfy29 3 minmax yyba 解 解 1 4 3 0 xaxxfa 3 2 2916 2 3 0 min max b a bafy bfy 2 4 3 0 xaxxfa 29 2 29 0 316 2 min max b a bfy bafy 或 315 ba 例 4 已知 a 为实数 1 求导数 2 若 4 2 axxxf x f 0 1 f 求 f x 在 2 2 上的最大值和最小值 3 若 f x 在 2 和上都 2 是增函数 求 a 的取值范围 解 解 1 因为axaxxaxxxf44 4 232 用心 爱心 专心 所以423 2 axxxf 2 由 得 此时有0 1 f 2 1 a 2 1 4 2 xxxf 所以 由 得或 又因为43 2 xxxf0 x f 3 4 x1 x 3 4 f 27 50 所以在 2 2 上的最大值为 最小值为0 2 0 2 2 9 1 fff xf 2 9 27 50 3 的图象为开口向上且过点 0 4 的抛物线423 2 axxxf 由条件得 即 解得 所以 a 的取值范0 2 0 2 ff 048 084 a a 22 a 围为 2 2 例 5 已知函数在与 x 1 时都取得极值 cbxaxxxf 23 3 2 x 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对时 不等式恒成立 求 c 的取值范围 2 1 x 2 cxf 解 解 1 cbxaxxxf 23 baxxxf 23 2 由 得0 3 4 9 12 3 2 baf023 1 baf2 2 1 ba 1 23 23 2 xxxxxf 当变化时 的变化情况如下表 x xfx f x 3 2 3 2 1 3 2 1 1 x f 0 0 f x 极大值 27 22 c 极小值 2 3 c 函数 f x 的递增区间是 和 1 递减区间是 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 23 xcxxxxf 又 2 3 1 7 22 3 2 cfcf cf 1 2 2 2 1 cf 为最大值 要使在恒成立2 2 cf 2 cxf 2 1 x 用心 爱心 专心 只需 解得或2 2 2 cfc1 c2 c 例 6 已知函数的图象在点 M 处的切线方程为 xf bx ax 2 6 1 1 f 052 yx 1 求函数的解析式 2 求函数的单调区间 xfy xfy 解 解 1 bx ax xf 2 6 22 2 6 2 bx axxbxa xf 又 函数的图象在点 M 处的切线方程为 xf 1 1 f052 yx 即05 1 21 f 2 1 1 2 1 ff 解得 舍去 3 2 ba1 01 bb 所求函数解析式为 3 62 2 x x xf 2 22 2 3 6122 x x xf 令 解得0 x f323 323 21 xx 当或时 323 x323 x0 x f 当时 323323 x0 x f 在 和 内是减函数 在 3 62 2 x x xf323 323 内是增函数323 323 例 7 设函数 其中 86 1 32 23 axxaxxfRa 1 若在 x 3 处取得极值 求常数 a 的值 xf 2 若 f x 在 0 上为增函数 求 a 的取值范围 解 解 1 1 66 1 66 2 xaxaxaxxf 在取得极值 解得 xf3 x0 13 3 6 3 af3 a 经检验知时 x 3 为 f x 为极值点3 a 用心 爱心 专心 2 令得0 1 6 xaxxf1 21 xax 当时 若 则1 a 1 ax0 xf 在和上为增函数 故当时 在 0 上 xf a 1 10 a xf 为增函数 当时 若 则1 a 1 ax0 x f 在 和 上为增函数 从而当时 在上 xf1 a1 a xf 0 也为增函数 综上所述 当时 在 0 上为增函数 0 a xf 例 8 求证 0 x1 1 3 2 1 2 11 ln 32 xx x x 证 证 令 32 1 3 2 1 2 11 ln xx x xxf 3 3 2 2 12 1 1 2 1 11 x xx xx xx xf x 0 1 1 1 y 0 y 恒成立1 1 min fy 0 x1 1 fxf 1 1 3 2 1 2 11 ln 32 xx x x 例 9 求抛物线上与点 A 6 0 距离最近的点 2 2 1 xy 解 解 设 M x y 为抛物线上一点 2 2 1 xy 则 4222 4 1 6 6 xxyxMA 与 2同时取到极值 令MAMA 42 2 4 1 6 xxMAxf 由得0 62 2 2 xxxxf2 x 当或时 f x x xMA 用心 爱心 专心 x 2 是 f x 的最小值点 此时 x 2 y 2 即抛物线上与点 A 6 0 2 2 1 xy 距离最近的点是 2 2 例 10 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 如下图所示 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为多少时 帐 篷的体积最大 解 解 设 OO1为 xm 则 1 x0 xgxgxfxf 时 则时 0 0 xgxf0 x A B 0 0 xgxf0 0 xgxf C D 0 0 xgxf0 0 xgxf 7 07 陕西 理 11 f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 对任意正数 若 则必有 0 xfxf xba ba A B bfaaf afbbf 用心 爱心 专心 C D abfbaf bafabf 8 已知在 R 上不是单调增函数 则的范围为 3 2 3 1 23 xbbxxyb 9 对正整数 n 设曲 线在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 则数 1 xxy n n a 列的前 n 项和的公式是 1 n an 10 已知函数 若在区间 1 内恒成立 实数 a 的取值xaxxfln 1 xf 范围为 11 函数的单调递减区间为 2ln 2 xxy 12 若函数在 0 2 内单调递减 则实数 a 的取值范围是 4 23 axxy 13 1 的增区间为 2 的减区间为 32 24 xxxf 2 2 xxxf 14 函数在区间 3 0 上的最值为 1 2 xxxf A 最大值为 13 最小值为 4 3 B 最大值为 1 最小值为 4 C 最大值为 13 最小值为 1 D 最大值为 1 最小值为 7 15 函数在 0 1 上的最大值为 xxy 1 A B 1 C 0 D 不存在2 16 函数在区间 2 1 上的最小值为 1 23 xxxy A B 2 C 1 D 4 27 22 17 函数在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 13 3 xxxf A 1 1 B 1 17 C 3 17 D 9 19 18 函数的定义域为 R 导函数的图像如图所示 则函数 f x xf x f 用心 爱心 专心 A 无极大值点 有四个极小值点 B 有三个极大值点 两个极小值点 C 有两个极大值点 两个极小值点 D 有四个极大值点 无极小值点 19 函数取得极大值或极小值时的 x 的值分别为 0 和 则 23 bxaxy 3 1 A B 02 ba02 ba C D 02 ba02 ba 20 若函数 则 f x