【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第十四章 第二节 导数的应用提能精练 理（全国版）

本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 从 f x 的图象可知 f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 在 a b 内只有一个极小值点 答案 A 2 2008 年广东高考 设 a R 若函数 y ex ax x R 有大于零的极值点 则 A a 1 B a 1 C a D a 1 e 1 e 解析 y ex ax y ex a 又 函数 y ex ax 有大于零的极值点 即方程 y ex a 0 有大于零的解 即 a ex x 0 x 0 时 ex 1 a 1 答案 A 3 已知 f x 2x3 6x2 m m 为常数 在 2 2 上有最大值 3 那么此函数在 2 2 上的 最小值是 A 37 B 29 C 5 D 以上都不对 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上为增函数 在 0 2 上为减函数 当 x 0 时 f x m 最大 m 3 从而 f 2 37 f 2 5 最小值为 37 答案 A 4 若函数 f x x3 3x a 有 3 个不同的零点 则实数 a 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 1 D 1 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 且当 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 0 当 x 1 时 f x 有极大值 当 x 1 时 f x 有极小值 要使 f x 有 3 个不同的零点 只需Error Error 解得 2 a 2 答案 A 5 设 f x g x 是 R 上的可导函数 f x g x 分别为 f x g x 的导函数 且满足 f x g x f x g x 0 则当 a x b 时 有 A f x g b f b g x B f x g a f a g x C f x g x f b g b D f x g x f b g a 解析 令 y f x g x 则 y f x g x f x g x 由于 f x g x f x g x 0 所以 y 在 R 上单调递减 又 x b 故 f x g x f b g b 答案 C 6 已知函数 f x 满足 f x f x 且当 x 时 f x x sinx 则 2 2 A f 1 f 2 f 3 B f 2 f 3 f 1 C f 3 f 2 f 1 D f 3 f 1 f 2 解析 由 f x f x 得函数 f x 的图象关于直线 x 对称 又当 x 时 2 2 2 f x 1 cos x 0 恒成立 所以 f x 在 上为增函数 2 2 f 2 f 2 f 3 f 3 且 0 3 1 2 2 所以 f 3 f 1 f 2 即 f 3 f 1 f 2 答案 D 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 函数 y x2ex的单调递增区间为 解析 y x2ex y 2xex x2ex exx 2 x 0 解得 x 0 或 x 2 y x2ex的递增区间为 2 和 0 答案 2 和 0 8 给出定义 若函数 f x 在 D 上可导 即 f x 存在 且导函数 f x 在 D 上也可导 则称 f x 在 D 上存在二阶导函数 记 f x f x 若 f x 0 在 D 上恒成立 则称 f x 在 D 上为凸函数 以下四个函数在 0 上不是凸函数的是 把你认为正确的序号 2 都填上 f x sin x cos x f x ln x 2x f x x3 2x 1 f x xex 解析 对于 f x sin x cos x x 0 时 2 f x 0 恒成立 对于 f x 在 x 0 时 f x 0 恒成立 1 x2 2 对于 f x 6x 在 x 0 时 f x 0 恒成立 2 对于 f x 2 x ex在 x 0 时 f x 0 恒成立 2 所以 f x xex不是凸函数 答案 9 将长为 52 cm 的铁丝剪成 2 段 各围成一个长与宽之比为 2 1 及 3 2 的矩形 那么 面积之和的最小值为 解析 设剪成 2 段中其中一段为 x cm 另一段为 52 x cm 依题意知 S x 6 2x 6 3 52 x 10 2 52 x 10 x2 52 x 2 1 18 3 50 S x 52 x 1 9 3 25 令 S 0 则 x 27 另一段为 52 27 25 此时 Smin 78 答案 78 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 2010 年福州模拟 甲乙两地相距 400 千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得 超过 100 千米 小时 已知该汽车每小时的运输成本 P 元 关于速度 v 千米 小时 的函数关系 是 P v4 v3 15v 1 19 200 1 160 1 求全程运输成本 Q 元 关于速度 v 的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多少速度行驶 并求此时运输成本的最小值 解析 1 Q P v4 v3 15v 400 v 1 19 200 1 160 400 v v3 v2 15 400 1 19 200 1 160 v2 6 000 0 v 100 v3 48 5 2 2 Q 5v v2 16 令 Q 0 则 v 0 舍去 或 v 80 当 0 v 80 时 Q 0 当 80 v 100 时 Q 0 v 80 时 全程运输成本取得极小值 即最小值 从而 Qmin Q 80 元 2 000 3 11 2010 年济南模拟 设函数 y f x 在 a b 上的导数为 f x f x 在 a b 上的导数 为 f x 若在 a b 上 f x 0 恒成立 则称函数 f x 在 a b 上为 凸函数 若函数 f x x4 mx3 x2为区间 1 3 上的 凸函数 试确定实数 m 的值 1 12 1 6 3 2 解析 由函数 f x x4 mx3 x2得 1 12 1 6 3 2 f x x3 mx2 3x 1 3 1 2 f x x2 mx 3 若 f x 为区间 1 3 上的 凸函数 则有 f x x2 mx 3 0 在区间 1 3 上恒成立 由二次函数的图象知 当且仅当 Error Error 即Error Error 得 m 2 12 2010 天津高考 20 已知函数 f x x2 ax 2a2 3a ex x R 其中 a R 1 当 a 0 时 求曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率 2 当 a 时 求函数 f x 的单调区间与极值 2 3 解析 1 当 a 0 时 f x x2ex f x x2 2x ex 故 f 1 3e 所以曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线的斜率为 3e 2 f x x2 a 2 x 2a2 4a ex 令 f x 0 解得 x 2a 或 x a 2 由 a 知 2a a 2 2 3 以下分两种情况讨论 若 a 则 2a a 2 当 x 变化时 2 3 f x f x 的变化情况如下表 x 2a 2a 2a a 2 a 2 a 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以 f x 在 2a a 2 内是增函数 在 2a a 2 内是减函数 函数 f x 在 x 2a 处取得极大值 f 2a 且 f 2a 3ae 2a 函数 f x 在 x a 2 处取得极小值 f a 2 且 f a 2 4 3a ea 2 若 a 则 2a a 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表