【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.5指数与指数函数教案 理 新人教A版

1 2 5 2 5 指数与指数函数指数与指数函数 2014 高考会这样考 1 考查指数函数的求值 指数函数的图象和性质 2 讨论与指数函 数有关的复合函数的性质 3 将指数函数与对数函数 抽象函数相结合 综合考查指数函 数知识的应用 复习备考要这样做 1 重视指数的运算 熟练的运算能力是高考得分的保证 2 掌握两种 情况下指数函数的图象和性质 在解题中要善于分析 灵活使用 3 对有关的复合函数要 搞清函数的结构 1 根式的性质 1 n a n a 2 当n为奇数时 a n an 当n为偶数时 Error n an 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正整数指数幂 an a a n N N a n个 零指数幂 a0 1 a 0 负整数指数幂 a p a 0 p N N 1 ap 正分数指数幂 a a 0 m n N N 且n 1 m n n am 负分数指数幂 a a 0 m n N N 且n 1 m n 1 am n 1 n am 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 2 有理数指数幂的性质 aras ar s a 0 r s Q Q ar s ars a 0 r s Q Q ab r arbr a 0 b 0 r Q Q 3 指数函数的图象与性质 2 y ax a 10 a0 时 y 1 x 0 时 0 y0 时 0 y 1 x1性质 6 在 上是增函数 7 在 上 是减函数 数a按 0 a1 进行分类讨论 难点正本 疑点清源 1 根式与分数指数幂的实质是相同的 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂 的运算 从而可以简化计算过程 2 指数函数的单调性是底数a的大小决定的 因此解题时通常对底数a按 0 a1 进行分类讨论 3 比较指数式的大小方法 利用指数函数单调性 利用中间值 1 化简 2 6 1 0的值为 1 2 答案 7 解析 2 6 1 0 26 1 23 1 7 1 2 1 2 2 若函数y a2 1 x在 上为减函数 则实数a的取值范围是 答案 1 1 22 解析 由y a2 1 x在 上为减函数 得 0 a2 1 1 1 a2 2 即 1 a 2 或 a0 且a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实数a 3 答案 3 解析 当a 1 时 x 0 2 y 0 a2 1 因定义域和值域一致 故a2 1 2 即a 3 当 0 a0 且a 1 的图象可能是 1 a 答案 D 解析 当a 1 时 y ax 为增函数 且在y轴上的截距为 0 1 1 排除 A B 1 a 1 a 当 0 a 1 时 y ax 为减函数 且在y轴上的截距为 1 0 且a 1 f 2 4 A f 2 f 1 B f 1 f 2 C f 1 f 2 D f 2 f 2 答案 A 解析 f x a x a 0 且a 1 f 2 4 a 2 4 a 1 2 f x x 2 x f 2 f 1 故选 A 1 2 题型一 指数幂的运算 例 1 1 计算 124 22 27 16 2 8 1 3 1 2 1 6 3 4 2 3 4 2 已知x x 3 求的值 1 2 1 2 x2 x 2 2 x3 2 x 3 2 3 思维启迪 1 本题是求指数幂的值 按指数幂的运算律运算即可 2 注意x2 x 2 x x 与x x 之间的关系 3 2 3 2 1 2 1 2 解 1 124 22 27 16 2 8 1 3 1 2 1 6 3 4 2 3 11 2 33 24 2 8 1 3 1 2 1 6 3 4 2 3 11 3 23 2 23 3 1 2 2 3 11 8 8 11 33 2 x x 3 x x 2 9 1 2 1 2 1 2 1 2 x 2 x 1 9 x x 1 7 x x 1 2 49 x2 x 2 47 又 x x x x x 1 x 1 3 2 3 2 1 2 1 2 3 7 1 18 3 x2 x 2 2 x3 2 x 3 2 3 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对 于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结 果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又有负指数 计算下列各式的值 1 0 002 10 2 1 0 27 8 2 3 1 2523 2 1 0 1 5 239 4 5 3 a 0 b 0 a3b23ab2 a1 4b 1 2 4a 1 3b 1 3 解 1 原式 1 27 8 2 3 1 500 1 2 10 5 2 500 10 2 1 8 27 2 3 1 25 5 10 10 20 1 4 955 167 9 2 原式 2 1 5 5 2 2 2 1 2 1 55 3 原式 a 1 b1 2 ab 1 a3b2a1 3b 2 3 1 2 ab2a 1 3b 1 3 3 2 1 6 1 3 1 3 1 3 题型二 指数函数的图象 性质的应用 例 2 1 函数f x ax b的图象如图所示 其中a b为常数 则下列结论 正确的是 A a 1 b1 b 0 C 0 a0 D 0 a 1 b 0 2 求函数f x 3的定义域 值域及其单调区间 x2 5x 4 思维启迪 对于和指数函数的图象 性质有关的问题 可以通过探求已知函数和指数 函 数的关系入手 答案 1 D 解析 由f x ax b的图象可以观察出函数f x ax b在定义域上单调递减 所以 0 a 1 函数f x ax b的图象是在f x ax的基础上向左平移得到的 所以b1 由复合函数的单调性 可知f x 3在 1 上是减函数 x2 5x 4 在 4 上是增函数 探究提高 1 与指数函数有关的函数的图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 6 通过平移 对称变换得到其图象 2 对复合函数的性质进行讨论时 要搞清复合而成的两个函数 然后对其中的参数进 行讨论 1 函数y 的图象大致为 ex e x ex e x 答案 A 解析 y 1 当x 0 时 e2x 1 0 且随着x的增大而增大 故 ex e x ex e x 2 e2x 1 y 1 1 且随着x的增大而减小 即函数y在 0 上恒大于 1 且单调递 2 e2x 1 减 又函 数y是奇函数 故只有 A 正确 2 若函数f x e x 2 e 是自然对数的底数 的最大值是m 且f x 是偶函数 则m 答案 1 解析 由于f x 是偶函数 所以f x f x 即 e x 2 e x 2 x 2 x 2 0 f x e x2 又y ex是 R R 上的增函数 而 x2 0 f x 的最大值为 e0 1 m m 1 题型三 指数函数的综合应用 例 3 1 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 2 已知定义在 R R 上的函数f x 2x 1 2 x 7 若f x 求x的值 3 2 若 2tf 2t mf t 0 对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 思维启迪 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题 恒成立可以通过分离参数求 最 值或值域来解决 解 1 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于 x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图 所示 当k 0 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方 程 无解 当k 0 或k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象 有唯一的交点 所以方程有一解 当 0 k 1 时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同的交点 所以方程有两 解 2 当x0 x 1 当t 1 2 时 2t m 0 22t 1 22t 2t 1 2t 即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 22t 1 17 5 故m的取值范围是 5 探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提 方程f x g x 解的个数 即为函数y f x 和y g x 图象交点的个数 复合函数问题的关键是通过换元得到两 个新的函数 搞清复合函数的结构 已知f x ax a x a 0 且a 1 a a2 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 8 解 1 因为函数的定义域为 R R 所以关于原点对称 又因为f x a x ax f x a a2 1 所以f x 为奇函数 2 当a 1 时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函 数 所以f x 为增函数 当 0 a 1 时 a2 10 且a 1 时 f x 在定义域内单调递增 3 由 2 知f x 在 R R 上是增函数 所以在区间 1 1 上为增函数 所以f 1 f x f 1 所以f x min f 1 a 1 a a a2 1 1 a a2 1 1 a2 a 所以要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 3 利用方程思想和转化思想求参数范围 典例 14 分 已知定义域为 R R 的函数f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求a b的值 2 若对任意的t R R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求k的取值范围 审题视角 1 f x 是定义在 R R 上的奇函数 要求参数值 可考虑利用奇函数的性质 构建 方 程 f 0 0 f 1 f 1 2 可考虑将t2 2t 2t2 k直接代入解析式化简 转化成关于t的一元二次不等 式 也可 考虑先判断f x 的单调性 由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式 规范解答 解 1 因为f x 是 R R 上的奇函数 所以f 0 0 即 0 解得b 1 1 b 2 a 9 从而有f x 4 分 2x 1 2x 1 a 又由f 1 f 1 知 2 1 4 a 1 2 1 1 a 解得a 2 7 分 2 方法一 由 1 知f x 2x 1 2x 1 2 又由题设条件得 0 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 22t2 k 1 22t2 k 1 2 即 22t2 k 1 2 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 22t2 k 1 1 因底数 2 1 故 3t2 2t k 0 12 分 上式对一切t R R 均成立 从而判别式 4 12k 0 解得k 14 分 1 3 方法二 由 1 知f x 2x 1 2x 1 2 1 2 1 2x 1 由上式易知f x 在 R R 上为减函数 又因为f x 是奇函数 从而不等式f t2 2t f 2t2 k 0 等价于f t2 2t 2t2 k 12 分 即对一切t R R 有 3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 解得k 14 分 1 3 温馨提醒 1 根据f x 的奇偶性 构建方程求参数体现了方程的思想 在构建方程时 利用 了特殊值的方法 在这里要注意 有时利用两个特殊值确定的参数 并不能保证对所 有 的x都成立 所以还要注意检验 2 数学解题的核心是转化 本题的关键是将f t2 2t f 2t2 k 2t2 k恒成立 这个转化易出错 其次 不等式t2 2t 2t2 k恒成立 即 对一切t R R 有 3t2 2t k 0 也可以这样做 k 3t2 2t t R R 只要k比 3t2 2t 的最小值小即可 而 3t2 2t的最小值为 所以k0 a 1 的性质和a的取值有关 一定要分清a 1 与 0 a 1 3 对和复合函数有关的问题 要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成 失误与防范 1 恒成立问题一般与函数最值有关 要与方程有解区别开来 2 复合函数的问题 一定要注意函数的定义域 3 对可化为a2x b ax c 0 或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换 元法解 决 但应注意换元后 新元 的范围 时间 60 分钟 A 组 专项基础训练 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 设 2a 5b m 且 2 则m等于 1 a 1 b A B 10 10 C 20 D 100 答案 A 解析 2a 5b m a log2m b log5m 1 a 1 b 1 log2m 1 log5m logm2 logm5 logm10 2 m 10 2 函数y x2 2x的值域是 1 2 A R R B 0 C 2 D 1 2 答案 D 11 解析 x2 2x x 1 2 1 1 x2 2x 故选 D 1 2 1 2 3 函数y 0 a0 时 函数是一个指数 xax x 函数 因为 0 a 1 所以函数在 0 上是减函数 当x 0 时 函数图象与指数函 数y ax x 0 0 a0 a 1 满足f 1 则f x 的单调递减区间是 1 9 A 2 B 2 C 2 D 2 答案 B 解析 由f 1 得a2 a a 舍去 1 9 1 9 1 3 1 3 即f x 2x 4 1 3 由于y 2x 4 在 2 上递减 在 2 上递增 所以f x 在 2 上递增 在 2 上递减 故选 B 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 5 已知a 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系 5 1 2 为 答案 m n 解析 0 a f n m0 a 1 在 1 2 中的最大值比最小值大 则a的值为 a 2 答案 或 1 2 3 2 12 解析 当 0 a1 时 a2 a a 或a 0 舍去 a 2 3 2 综上所述 a 或 1 2 3 2 7 2012 洛阳调研 已知函数f x ax b a 0 且a 1 的图象如 图所 示 则a b的值是 答案 2 解析 Error Error a b 2 三 解答题 共 25 分 8 12 分 设函数f x 2 x 1 x 1 求使f x 2的x的取值范围 2 解 y 2x是增函数 f x 2等价于 2 x 1 x 1 3 2 1 当x 1 时 x 1 x 1 2 式恒成立 2 当 1 x 1 时 x 1 x 1 2x 式化为 2x 即 x0 且a 1 函数y a2x 2ax 1 在 1 1 上的最大值是 14 求a的值 解 令t ax a 0 且a 1 则原函数化为y t 1 2 2 t 0 当 0 a0 所以a 1 3 13 当a 1 时 x 1 1 t ax 1 a a 此时f t 在上是增函数 1 a a 所以f t max f a a 1 2 2 14 解得a 3 a 5 舍去 综上得a 或 3 1 3 B 组 专项能力提升 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 设函数f x Error 若F x f x x x R R 则F x 的值域为 A 1 B 2 C 1 2 D 1 2 答案 C 解析 当x 0 时 F x x 2 1 x 当x 0 时 F x ex x 根据指数函数与一次函数的单调性 F x 是单调递增函数 F x F 0 1 所以F x 的值域为 1 2 2 2012 山东 设函数f x g x ax2 bx a b R R a 0 若y f x 的图象与 1 x y g x 的图象有且仅有两个不同的公共点A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确的是 A 当a 0 时 x1 x20 B 当a0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y2 0 答案 B 解析 由题意知函数f x g x ax2 bx a b R R a 0 的图象有且仅有两个 1 x 公共点A x1 y1 B x2 y2 等价于方程 ax2 bx a b R R a 0 有两个不同的 1 x 根x1 x2 即方程ax3 bx2 1 0 有两个不同非零实根x1 x2 14 因而可设ax3 bx2 1 a x x1 2 x x2 即ax3 bx2 1 a x3 2x1x2 x x x2x2 2x1x2x x2x 2 12 1 b a 2x1 x2 x 2x1x2 0 ax2x 1 2 12 1 x1 2x2 0 ax2 0 当a 0 时 x2 0 x1 x2 x2 0 x10 1 x1 1 x2 x1 x2 x1x2 当a 0 时 x20 x1 0 y1 y2 1 f x 的值域是 1 2 1 2 y f x 的值域是 0 1 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 4 函数f x ax2 2x 3 m a 1 恒过点 1 10 则m 答案