【状元之路】2012届高中数学 导数及其应用3-2 文 大纲人教版

用心 爱心 专心1 对应学生书 P183 一 选择题 1 若函数f x x3 x2 mx 1 是 R 上的单调函数 则实数m的取值范围是 A B 1 3 1 3 C D 1 3 1 3 解析 f x 3x2 2x m 因为f x 为 R 上的单调函数 二次项系数 a 3 0 0 m 1 3 答案 C 2 若函数f x x3 6bx 3b在 0 1 内有极小值 则实数b的取值范围是 A 0 1 B 1 C 0 D 0 1 2 解析 f x 3x2 6b 由题意 函数f x 图像如图所示 Error 即Error 得 0 b 1 2 答案 D 3 函数f x ax2 b在区间 0 内是减函数 则a b应满足 A a 0 且b 0 B a 0 且b R C a 0 且b 0 D a 0 解析 f x 2ax f x 0 x 0 a 0 b R 答案 B 4 已知函数f x 在 R 上的导函数为f x 且 2f x xf x x2 下面的不等式 在 R 上恒成立的是 A f x 0 B f x 0 C f x x D f x x 用心 爱心 专心2 解析 当x 0 时 2xf x x2f x x3 即 x2f x x3 0 y x2f x 在 0 上为增函数 x2f x 0 f x 0 当x 0 时 2xf x x2f x x3 即 x2f x x3 0 y x2f x 在 0 上为减函数 x2f x 0 f x 0 当x 0 时 显然f x 0 综上 对任意x R f x 0 答案 A 5 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图像如图所示 则函数f x 在开区间 a b 内有极小值点的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 由f x 的图像 可知f x 在 a b 内从左到右的单调性依次为增 减 增 减 在 a b 内只有一个极小值点 答案 A 6 2010 北京宣武质检 设函数f x x3 x2 4x 1 其中 3sin 3 cos 2 则导数f 1 的取值范围是 0 5 6 A 3 6 B 3 4 3 C 4 6 D 4 4 333 解析 由题可知f x sin x2 cos x 4 3 所以f 1 sin cos 4 2sin 4 3 6 因为 所以 0 5 6 6 6 2 3 用心 爱心 专心3 故 2sin 4 3 6 故选 A 6 答案 A 7 函数f x x3 ax2 bx a2在x 1 处有极值 10 则a b的值是 A a 11 b 4 B a 4 b 11 C a 11 b 4 D a 4 b 11 解析 由f x x3 ax2 bx a2 得f x 3x2 2ax b 根据已知条件 有Error 即Error 解得Error 或Error 经检验应舍去 答案 D 8 已知函数f x ax3 bx2 c 其导数f x 的图像如图所示 则函数f x 的极小 值是 A a b c B 3a 4b c C 3a 2b D c 解析 依题意 有f x 3ax2 2bx 由图像可知 当x 0 时 f x 0 则函数 单调递减 当 0 x 2 时 f x 0 则函数单调递增 当x 2 时 f x 0 则函数 单调递减 所以当x 0 时 函数取到极小值f 0 c 故选 D 答案 D 二 填空题 9 2009 辽宁 若函数f x 在x 1 处取极值 则a x2 a x 1 解析 f x x2 a x 1 x2 a x 1 x2 a x 1 x 1 2 x2 2x a x 1 2 又 x 1 为函数的极值点 有f 1 0 1 2 1 a 0 即a 3 答案 3 用心 爱心 专心4 10 2009 江苏 函数f x x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 当x 1 或x 11 时 f x 0 f x 单调递增 当 1 x 11 时 f x 0 f x 单调递减 答案 1 11 11 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1 处取极值 10 则f 2 解析 f x 3x2 2ax b 由题意 得Error 即Error 得a 4 或a 3 但当a 3 时 b 3 f x 3x2 6x 3 0 故不存在极 值 a 4 b 11 f 2 18 答案 18 12 已知函数f x 是 R 上的偶函数 且在 0 上有f x 0 若f 1 0 则关于x的不等式xf x 0 的解集是 解析 在 0 上有f x 0 所以f x 在 0 单调递增 又函数f x 是 R 上的偶函数 所以f 1 f 1 0 当x 0 时 f x 0 0 x 1 当x 0 时 图 像关于y轴对称 f x 0 x 1 答案 1 0 1 三 解答题 13 2010 江西 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 1 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 求实数a的值 2 是否存在实数a 使得f x 是 上的单调函数 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 解析 f x 18x2 6 a 2 x 2a 1 由已知 有f x1 f x2 0 从而x1x2 1 得a 9 2a 18 2 因为 36 a 2 2 4 18 2a 36 a2 4 0 所以不存在实数a 使得f x 是 上的单调函数 14 2010 全国 已知函数f x 3ax4 2 3a 1 x2 4x 1 当a 时 求f x 的极值 1 6 2 若f x 在 1 1 上是增函数 求a的取值范围 解析 1 f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 当a 时 f x 2 x 2 x 1 2 f x 在 2 内单调递减 在 1 6 2 内单调递增 在x 2 时 f x 有极小值 所以f 2 12 是f x 的极小值 用心 爱心 专心5 2 在 1 1 上 f x 单调增加 当且仅当f x 4 x 1 3ax2 3ax 1 0 即 3ax2 3ax 1 0 当a 0 时 式恒成立 当a 0 时 式成立 当且仅当 3a 12 3a 1 1 0 解得a 1 6 当a 0 时 式成立 即 3a x 2 1 0 成立 1 2 3a 4 当且仅当 1 0 解得a 3a 4 4 3 综上 a的取值范围是 4 3 1 6 15 2010 北京 设函数f x x3 bx2 cx d a 0 且方程f x 9x 0 的两 a 3 个根分别为 1 4 1 当a 3 且曲线y f x 过原点时 求f x 的解析式 2 若f x 在 内无极值点 求a的取值范围 解析 由f x x3 bx2 cx d 得f x ax2 2bx c a 3 因为f x 9x ax2 2bx c 9x 0 的两个根分别为 1 4 所以Error 1 当a 3 时 由 式得Error 解得Error 又因为曲线y f x 过原点 所以d