高中数学：第三章《统计案例》教案（1）（新人教A版选修2-3）

用心 爱心 专心 第三章第三章 统计案例统计案例 3 3 1 1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 共计 共计 4 4 课时 课时 授课类型 授课类型 新授课 一 教学内容与教学对象分析一 教学内容与教学对象分析 学生将在必修课程学习统计的基础上 通过对典型案例的讨论 了解和使用一些常用的 统计方法 进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想 认识统计方法在决策中的作 用 二 学习目标二 学习目标 1 1 知识与技能 知识与技能 通过本节的学习 了解回归分析的基本思想 会对两个变量进行回归分析 明确建立回归模 型的基本步骤 并对具体问题进行回归分析 解决实际应用问题 2 2 过程与方法 过程与方法 本节的学习 应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性 明确回归分析的基本思想 从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足 从中引导学生去发现 解决问题的新思路 进行回归分析 进而介绍残差分析的方法和利用 R 的平方来表示解释变 量对于预报变量变化的贡献率 从中选择较为合理的回归方程 最后是建立回归模型基本步 骤 3 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 通过本节课的学习 首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想 明确回归分 析的基本方法和基本步骤 培养我们利用整体的观点和互相联系的观点 来分析问题 进一 步加强数学的应用意识 培养学生学好数学 用好数学的信心 加强与现实生活的联系 以 科学的态度评价两个变量的相关系 教学中适当地增加学生合作与交流的机会 多从实际生 活中找出例子 使学生在学习的同时 体会与他人合作的重要性 理解处理问题的方法与结 论的联系 形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神 培养学生运用所学知识 解决实际问题的能力 三 教学重点 难点三 教学重点 难点 教学重点教学重点 熟练掌握回归分析的步骤 各相关指数 建立回归模型的步骤 通过探究使学生 体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型 了解在解决实际问题的过程中寻找 更好的模型的方法 教学难点教学难点 求回归系数 a b 相关指数的计算 残差分析 了解常用函数的图象特点 选择不同的模型建模 并通过比较相关指数对不同的模型进行比较 四 教学策略 四 教学策略 教学方法教学方法 诱思探究教学法 学习方法学习方法 自主探究 观察发现 合作交流 归纳总结 教学手段教学手段 多媒体辅助教学 五 教学过程五 教学过程 一 一 复习引入 复习引入 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 二 二 新课 新课 探究探究 对于一组具有线性相关关系的数据 11 x y 22 xy nn xy 用心 爱心 专心 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为 aybx 1 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx 2 其中 11 11 nn ii ii xx yy nn x y 成为样本点的中心 注注 回归直线过样本中心 你能推导出这两个计算公式吗 从我们已经学过的知识知道 截距 a和斜率b 分别是使 2 1 n ii i Qybxa 取到最小值时 的值 由于 2 1 n ii i Qyxyxyx 22 1 2 n iiii i yxyxyxyxyxyx 22 11 2 nn iiii ii yxyxyxyxyxn yx 注意到 1 n ii i yxyxyx 1 n ii i yxyxyx 11 nn ii ii yxyxn yx 0yxnyn xn yx 22 1 n ii i Qyxyxn yx 用心 爱心 专心 2222 111 2 nnn iiii iii xxxx yyyyn yx 2 2222 11 22 11 11 nn iiii nn ii ii nn ii ii ii xx yyxx yy n yxxxyy xxxx 在上式中 后两项和 无关 而前两项为非负数 因此要使 Q 取得最小值 当且仅当 前两项的值均为 0 即有 1 22 1 n ii i n i i xynx y yx xnx 这正是我们所要推导的公式 下面我们从另一个角度来推导的公式 人教 A 版选修 2 2P37 习题 1 4A 组第 4 题 用测量工具测量某物体的长度 由于工具的精度以及测量技术的原因 测得 n 个数据 12 n a aa 证明证明 用这个数据的平均值 1 1 n i i xa n 表示这个物体的长度 能使这 n 个数据的方差 2 1 1 n i i f xxa n 最小 思考思考 这个结果说明了什么 通过这个问题 你能说明最小二乘法的基本原理吗 证明 由于 2 1 1 n i i f xxa n 所以 1 2 n i i fxxa n 令 0fx 得 1 1 n i i xa n 可以得到 1 1 n i i xa n 是函数 f x的极小值点 也是最小值点 用心 爱心 专心 这个结果说明 用 n 个数据的平均值 1 1 n i i a n 表示这个物体的长度是合理的 这就是最 小二乘法的基本原理 由最小二乘法的基本原理即得 定理定理 设xR 12n xxx x n 则 2222222 1212 11 nn xxxxxxxxxxxxs nn 当且仅当 12n xxx xx n 时取等号 式说明 12n xxx x n 是任何一个实数x与 12 n x xx 的差的平方的平均 数中最小的数 从而说明了方差具有最小性 也即定义标准差的合理性 下面借助 式求 22 22 2 11 abxyabxyabxyQ nn 的最小值 1122 nn ybxybxybx n 1212nn yyyxxx byb x nn 由 式知 222 1122 nn Qaybxaybxaybx 222 1122 nn yb xybxyb xybxyb xybx 222 1122 nn xx byyxx byyxx byy 222 111 2 nnn iiii iii xx bxxyy byy 2 222 11 22 11 11 nn iiiinn ii iinn ii ii ii xxyyxxyy xxbyy xxxx 2 222 11 22 11 11 nn iiiinn ii iinn ii ii ii xxyyxxyy xxbyy xxxx 2 2 1 2 1 1 n iin i in i i i xxyy yy xx 222 111 2 1 nnn iiii iii n i i xxyyxxyy xx 用心 爱心 专心 当且仅当ayb x 且 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx 时 Q达到最小值 222 111 2 1 nnn iiii iii n i i xxyyxxyy xx 由此得到 xbya xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii 2 1 2 1 1 2 1 其中b是回归直线的斜率 a是 截距 借助 ababab 和配方法 我们给出了人教 A 版必修 3 的第二章统计第 三节变量间的相关关系中回归直线方程ybxa 的一个合理的解释 1 1 回归分析的基本步骤 回归分析的基本步骤 1 画出两个变量的散点图 2 求回归直线方程 3 用回归直线方程进行预报 下面我们通过案例 进一步学习回归分析的基本思想及其应用 2 2 举例 举例 例例 1 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生 其身高和体重数据如表 编号 12345678 身高 cm 165165157170175165155170 体重 kg 4857505464614359 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体 重 解 由于问题中要求根据身高预报体重 因此选取身高为自变量 x 体重为因变量 y 作散点图 图 3 1 一 1 从图 3 1 一 1 中可以看出 样本点呈条状分布 身高和体重有比较好的线性相关关系 因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系 用心 爱心 专心 根据探究中的公式 1 和 2 可以得到 0 849 85 712ba 于是得到回归方程 084985 712yx 因此 对于身高 172 cm 的女大学生 由回归方程可以预报其体重为 0849 17285 71260 316y kg 0 849b 是斜率的估计值 说明身高 x 每增加 1 个单位时 体重 y 就增加 0 849 位 这表明体重与身高具有正的线性相关关系 如何描述它们之间线性相关关系的强弱 在必修 3 中 我们介绍了用相关系数 来衡量两个变量之间线性相关关系的方法 本相 关系数的具体计算公式为 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 当 r 0 时 表明两个变量正相关 当 r0 正相关 R6 因此有 99 的把握认为 秃顶与患心脏病有关 例例 2 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系 在某城市的某校高中生中随 机抽取 300 名学生 得到如下列联表 表表 3 3 一一 1212 性别与喜欢数学课程列联表性别与喜欢数学课程列联表 喜欢数学课程不喜欢数学课程总计 男 37 85122 女 35 143178 总计 72 228300 由表中数据计算得 2 K的观测值4 514k 能够以 95 的把握认为高中生的性别与是否喜 欢数学课程之间有关系吗 请详细阐明得出结论的依据 解解 可以有约 95 以上的把握认为 性别与喜欢数学课之间有关系 作出这种判断的 依据是独立性检验的基本思想 具体过程如下 分别用 a b c d 表示样本中喜欢数学课的男生人数 不喜欢数学课的男生人数 喜欢数学课的女生人数 不喜欢数学课的女生人数 如果性别与是否喜欢数学课有关系 则 男生中喜欢数学课的比例 a ab 与女生中喜欢数学课的人数比例 c cd 应该相差很多 即 acadbc abcdab cd 应很大 将上式等号右边的式子乘以常数因子 abcd ab cd ac bd 然后平方得 2 2 n adbc K ab cd ac bd 用心 爱心 专心 其中nabcd 因此 2 K越大 性别与喜欢数学课之间有关系 成立的可能性越 大 另一方面 在假设 性别与喜欢数学课之间没有关系 的前提下 事件 A 2 K 3 841 的概率为 P 2 K 3 841 0 05 因此事件 A 是一个小概率事件 而由样本数据计算得 2 K的观测值 k 4 514 即小概率事件 A 发生 因此应该断定 性别与喜欢数学课之间有关系 成立 并且这种判断结果出错的可 能性约为 5 所以 约有 95 的把握认为 性别与喜欢数学课之间有关系 补充例题补充例题 1 1 打鼾不仅影响别人休息 而且可能与患某种疾病有关 下表是一次调查所 得的数据 试问 每一晚都打鼾与患心脏病有关吗 患心脏病未患心脏病合计 每一晚都打鼾 30224254 不打鼾 2413551379 合计 5415791633 解 略 补充例题补充例题 2 2 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行 3 年跟踪研究 调查他们是否又发作过心脏病 调查结果如下表所示 又发作过心脏病未发作过心脏病合计 心