2014届高考数学（理）一轮复习备考精析教案：12.3《二项式定理》（新人教A版）

12 312 3 二项式定理二项式定理 典例精析 题型一 二项展开式的通项公式及应用 例 1 已知 n x x 2 1 4 的展开式中 前三项系数的绝对值依次成等差数列 1 求证 展开式中没有常数项 2 求展开式中所有的有理项 解析 由题意得 2C 2 1 1 C 2 1 2 1 n2 n 即 n2 9n 8 0 所以 n 8 n 1 舍去 所以 Tr 1 r 8 C x r 8 r x 2 1 4 2 1 r r 8 C 2 8 r x 4 r x 1 r r r 2 C8 4 316r x 0 r 8 r Z 1 若 Tr 1 是常数项 则 0 即 16 3r 0 16 3r 4 因为 r Z 这不可能 所以展开式中没有常数项 2 若 Tr 1 是有理项 当且仅当为整数 16 3r 4 又 0 r 8 r Z 所以 r 0 4 8 即展开式中有三项有理项 分别是 T1 x4 T5 x T9 x 2 35 8 1 256 点拨 1 把握住二项展开式的通项公式 是掌握二项式定理的关键 除通项公式外 还 应熟练掌握二项式的指数 项数 展开式的系数间的关系 性质 2 应用通项公式求二项展开式的特定项 如求某一项 含 x 某次幂的项 常数项 有理项 系数最大的项等 一般是应用通项公式根据题意列方程 在求得 n 或 r 后 再求所需的项 要注意 n 和 r 的数值范围及大小关系 3 注意区分展开式 第 r 1 项的二项式系数 与 第 r 1 项的系数 变式训练 1 若 x 3 2 x n 的展开式的前 3 项系数和为 129 则这个展开式中是否含 x 有常数项 一次项 如果有 求出该项 如果没有 请说明理由 解析 由题知 C C 2 C 22 129 0 n1 n2 n 所以 n 8 所以通项为 Tr 1 C x 8 r r x 2 3 r rx r 6 11 12 8 C2 r 8x 故 r 6 时 T7 26C x 1 792x 2 8 所以不存在常数项 而存在一次项 为 1 792x 题型二 运用赋值法求值 例 2 1 已知 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 且 a1 a2 an 1 29 n 则 n 2 已知 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 若 5a1 2a2 0 则 a0 a1 a2 a3 1 nan 解析 1 易知 an 1 令 x 0 得 a0 n 所以 a0 a1 an 30 又令 x 1 有 2 22 2n a0 a1 an 30 即 2n 1 2 30 所以 n 4 2 由二项式定理得 a1 C n a2 C 1 n2 n n n 1 2 代入已知得 5n n n 1 0 所以 n 6 令 x 1 得 1 1 6 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 即 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 64 点拨 运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征 通过一些特殊值代入构造相应 的结构 变式训练 2 设 3x 1 8 a0 a1x a2x2 a7x7 a8x8 求 a0 a2 a4 a6 a8 的 值 解析 令 f x 3x 1 8 因为 f 1 a0 a1 a2 a8 28 f 1 a0 a1 a2 a3 a7 a8 48 所以 a0 a2 a4 a6 a8 27 1 28 f 1 f 1 2 题型三 二项式定理的综合应用 例 3 求证 4 6n 5n 1 9 能被 20 整除 解析 4 6n 5n 1 9 4 6n 1 5 5n 1 4 5 1 n 1 5 4 1 n 1 20 5n 1 C 5n 2 C 4n 1 C 4n 2 C 是 20 的倍数 所 1 nn 1n1 nn 1n 以 4 6n 5n 1 9 能被 20 整除 点拨 用二项式定理证明整除问题时 首先需注意 a b n 中 a b 中有一个是除数的 倍数 其次展开式有什么规律 余项是什么 必须清楚 变式训练 3 求 0 9986 的近似值 使误差小于 0 001 解析 0 9986 1 0 002 6 1 6 0 002 1 15 0 002 2 0 002 6 因为 T3 C 0 002 2 15 0 002 2 0 000 06 0 001 2 6 且第 3 项以后的绝对值都小于 0 001 所以从第 3 项起 以后的项都可以忽略不计 所以 0 9986 1 0 002 6 1 6 0 002 1 0 012 0 988 总结提高 1 利用通项公式可求展开式中某些特定项 如常数项 有理项 二项式系数最大项等 解 决这些问题通常采用待定系数法 运用通项公式写出待定式 再根据待定项的要求写出 n r 满足的条件 求出 n 和 r