高考数学 专题五函数与导数（1）教案 新人教版

2010 和静高级中学学案 1 专题 五函数与导数应用 专题 五函数与导数应用 1 1 导数的求导法则 几何意义 不等式导数的求导法则 几何意义 不等式 一 基本练习 1 函数y x 1 2 x 1 在x 1 处的导数等于 4 解析 y x 1 x2 2x 1 x 1 x 1 x3 x2 x 1 xx 1 3x2 2x 1 x 1 4 2 设f x ax3 3x2 2 若f 1 4 则a的值等于 3 10 解析 f x 3ax2 6x f 1 3a 6 4 所以a 3 10 3 对任意x 有 f x 4x3 f 1 1 则此函数为 A f x x4 2 B f x x4 2 C f x x3 D f x x4 解析 筛选法 答案 A 4 已知曲线y 3 1 x3 3 4 则过点P 2 4 的切线方程是 4x y 4 0 解析 P 2 4 在y 3 1 x3 3 4 上 又y x2 斜率k 22 4 5 函数y x2的曲线上点A处的切线与直线 3x y 1 0 的夹角为 45 则点A的坐 标为 4 1 16 1 或 1 1 解析 设点A的坐标为 x0 y0 则y x x 0 2x x x0 2x0 k1 又直线 3x y 1 0 的斜率 k2 3 tan45 1 1 12 12 kk kk 0 0 61 23 x x 解得x0 4 1 或x0 1 y0 16 1 或y0 1 即A 点坐标为 4 1 16 1 或 1 1 6 如果质点A按规律s 2t3运动 则在t 3 s 时的瞬时速度为 54 解析 s 6t2 s t 3 54 7 若抛物线y x2 x c上一点P的横坐标是 2 抛物线过点P的切线恰好过坐标 原点 则c的值为 4 解析 y 2x 1 y x 2 5 2010 和静高级中学学案 2 又P 2 6 c 2 6 c 5 c 4 二 典型例题 例题 1 设函数y ax bx2 cx d的图象与y轴交点为P点 且曲线在P点处的 切线方程为 12x y 0 若函数在x 2 处取得极值 0 试确定函数的解析式 解 y ax3 bx2 cx d的图象与y轴的交点为P P的坐标为P 0 d 又曲线在 点P处的切线方程为y 12x P点坐标适合方程 从而d 又切线斜率k 12 故在x 0 处的导数y x 0 12 而 y ax2 2bx c y x 0 从而 c 12 又函数在x 2 处取得极值 0 所以 y x 2 0 f 2 0 即 12a b 12 0 a b 20 0 解得a 2 b 9 所求函数解析式为y 2x3 9x2 12x 例题 2 设函数f x x3 2 2 x 2x 5 若对任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 m 2 7 解析 f x 3x2 x 2 0 x 1 3 2 f 1 5 2 1 f 3 2 5 27 22 f 1 3 2 1 f 2 7 m1 时 2x3 x2 1 证明 令f x 2x3 x2 1 则 f x 6x2 2x 2x 3x 1 当x 1 时 f x 0 恒成立 f x 在 1 上单调递增 又 f 1 0 f x 在 1 上恒大于零 即当x 1 时 2x3 x2 1 选做 例题 4 已知函数f x ln ex a a 0 1 求函数y f x 的反函数y f 1 x 及f x 的导数f x 2 假设对任意x ln 3a ln 4a 不等式 m f 1 x ln f x 0 成立 求实数m的取值范围 解 1 由y f x ln ex a 得x ln ey a 所以y f 1 x ln e x a x lna 2010 和静高级中学学案 3 f x ln ex a a x x e e 2 由 m f 1 x ln f x 0 得 ln ex a ln ex a x m ln ex a ln ex a x 设 x ln ex a ln ex a x x ln ex a ln ex a x 于是原不等式对于x ln 3n ln 4a 恒成立 等价于 x m x 由 x a x x e e a x x e e 1 x a x x e e a x x e e 1 注意到 0 ex a ex ex a 故有 x 0 x 0 从而 x x 均在 ln 3a ln 4a 上单调递增 因此不等式 成立当且仅当 ln 4a m ln 3a 即ln 5 12 a m ln 3 8 a 三 课后练习 1 确定抛物线方程y x2 bx c中的常数b和c 使得抛物线与直线y 2x在x 2 处 相切 解 y 2x b k y x 2 4 b 2 b 2 又当x 2 时 y 22 2 2 c c 代入y 2x 得c 4 2 过点P 1 2 且与曲线y 3x2 4x 2 在点M 1 1 处的切线平行的直线方 程是 2x y 4 0 解析 y 6x 4 切线斜率为 6 1 4 2 所求直线方程为y 2 2 x 1 即 2x y 4 0 3 函数f x sin 3x 6 在点 6 2 3 处的切线方程是 3x 2y 3 2 0 解析 因为f x 3cos 3x 6 所以所求切线的斜率为f 6 2 3 切线 方程为y 2 3 2 3 x 6 即 3x 2y 3 2 0 2010 和静高级中学学案 4 4 曲线y x3 3x2 6x 10 的切线中 求斜率最小的切线方程 解 y 3x2 6x 6 3 x 1 2 3 x 1 时 切线最小斜率为 3 此时 y 1 3 3 1 2 6 1 10 14 切线方程为y 14 3 x 1 5 设a 0 f x ax2 bx c 曲线y f x 在点P x0 f x0 处切线的倾斜 角的取值范围为 0 4 则P到曲线y f x 对称轴距离的取值范围为 0 a2 1 解析 1