【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点38 空间点、线、面之间的关系（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 3838 空间点 线 面之间空间点 线 面之间 的关系 解析版 的关系 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 平面的概念与基本性质 空间直线 平面之间的各种位置关系 应用平面的基本性质证明点共线 线共点 点线共面等 应用公理 4 及等角定理解决有关问题 异面直线的判定 异面直线所成的 角 二二 知识梳理知识梳理 1 1 四个公理 四个公理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理 2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 2 2 空间中点 线 面之间的位置关系 空间中点 线 面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 图形语言 符号语言 a b a 平 行 关 系 交点个数 000 直线与直线直线与平面平面与平面 图形语言 符号语言a b Aa A l 相 交 关 系 交点个数 11 无数个 直线与直线直线与平面平面与平面 2 图形语 言 符号语 言 a b 是异面直线a 独 有 关 系 交点个 数 0 无数个 3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角 设 a b 是两条异面直线 经过空间中任一点 O 作直线 a a b b 把 a 与 b 所成的 锐 角 或直角 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 其范围为 0 2 4 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 相等或互补 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 平面的基本性质及应用平面的基本性质及应用 例 1 如图所示 空间四边形 ABCD 中 E F G 分别在 AB BC CD 上 且满足 AE EB CF FB 2 1 CG GD 3 1 过 E F G 的平面交 AD 于 H 连接 EH 1 求 AH HD 2 求证 EH FG BD 三线共点 解 1 2 EF AC AE EB CF FB EF 平面 ACD 而 EF 平面 EFGH 且平面 EFGH 平面 ACD GH EF GH 而 EF AC AC GH 3 即 AH HD 3 1 AH HD CG GD 2 证明 EF GH 且 EF GH 四边形 EFGH 为梯形 EF AC 1 3 GH AC 1 4 令 EH FG P 则 P EH 而 EH 平面 ABD P FG FG 平面 BCD 平面 ABD 平面 BCD BD P BD EH FG BD 三线共点 3 2 2 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 例 2 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 A1B1 B1C1的中点 问 1 AM 和 CN 是否是异面直线 说明理由 2 D1B 和 CC1是否是异面直线 说明理由 解 1 不是异面直线 理由 连接 MN A1C1 AC M N 分别是 A1B1 B1C1的中点 MN A1C1 又 A1A C1C A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC 得到 MN AC A M N C 在同一平面内 故 AM 和 CN 不是异面直线 2 是异面直线 理由如下 ABCD A1B1C1D1是正方体 B C C1 D1不共面 假设 D1B 与 CC1不是异面直线 则存在平面 使 D1B 平面 CC1 平面 D1 B C C1 与 ABCD A1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立 D1B 与 CC1是异面直线 3 3 异面直线所成的角异面直线所成的角 例 3 正方体 ABCD A1B1C1D1中 1 求 AC 与 A1D 所成角的大小 2 若 E F 分别为 AB AD的中点 求 A1C1与 EF 所成角的大小 思路点拨 1 平移 A1D 到 B1C 找出 AC 与 A1D 所成的角 再计算 2 可证 A1C1与 EF 垂直 解 1 如图所示 连接 B1C 由 ABCD A1B1C1D1是正方体 4 易知 A1D B1C 从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角 AB1 AC B1C B1CA 60 即 A1D 与 AC 所成的角 为 60 2 如图所示 连接 AC