（新课程）高中数学《第三章 数系的扩充与复数的引入》章末质量评估 新人教A版选修1-2

1 高中新课程数学 新课标人教高中新课程数学 新课标人教 A A 版 选修版 选修 1 2 1 2 第三章第三章 数系的数系的 扩充与复数的引入扩充与复数的引入 章末质量评估章末质量评估 时间 100 分钟 满分 120 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中只有一 项是正确的 1 a 0 是复数z a bi a b R R 为纯虚数的 A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 复数z a bi a b R R 为纯虚数的充要条件是a 0 且b 0 答案 B 2 复数 2 a bi a b R R i 是虚数单位 则a2 b2的值为 1 i 2 A 0 B 1 C 2 D 1 解析 2 i a bi 1 i 2 1 2i i2 2 所以a 0 b 1 所以a2 b2 0 1 1 答案 D 3 已知复数z1 3 4i z2 t i 且z1 是实数 则实数t等于 z2 A B 3 4 4 3 C D 4 3 3 4 解析 z1 3 4i t i 3t 4 4t 3 i 因为z1 是实数 所以 z2z2 4t 3 0 所以t 因此选 A 3 4 答案 A 4 如图在复平面上 一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1 2i 2 i 0 那么这 个正方形的第四个顶点对应的复数为 2 A 3 i B 3 i C 1 3i D 1 3i 解析 O O O 1 2i 2 i 1 3i 所以C对应的复数为 1 3i C A B 答案 D 5 设z C C 若z2为纯虚数 则z在复平面上的对应点落在 A 实轴上 B 虚轴上 C 直线y x x 0 上 D 以上都不对 解析 设z x yi x y R R 则z2 x yi 2 x2 y2 2xyi z2为纯虚数 Error y x x 0 答案 C 6 已知复数z x yi x y R R x 满足 z 1 x 那么z在复平面上对应的点 1 2 x y 的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 z x yi x y R R x 满足 z 1 x 1 2 x 1 2 y2 x2 故y2 2x 1 答案 D 7 当z 时 z100 z50 1 的值等于 1 i 2 A 1 B 1 C i D i 3 解析 z2 2 i 1 i 2 2i 2 z100 z50 1 i 50 i 25 1 i50 i25 1 i 答案 D 8 复数z在复平面内对应的点为A 将点A绕坐标原点 按逆时针方向旋转 再向左平 2 移一个单位 向下平移一个单位 得到B点 此时点B与点A恰好关于坐标原点对称 则复数z为 A 1 B 1 C i D i 解析 设z a bi B点对应的复数为z1 则z1 a bi i 1 i b 1 a 1 i 点B与点A恰好关于坐标原点对称 Error Error z 1 答案 B 9 如果复数z满足 z i z i 2 那么 z 1 i 的最小值是 A 1 B 2 C 2 D 5 解析 z i z i 2 则点Z在以 0 1 和 0 1 为端点的线段上 z 1 i 表示点Z到 1 1 的距离 由图知最小值为 1 答案 A 10 设z1 z2是复数 则下列结论中正确的是 A 若z z 0 则z z 2 12 22 12 2 B z1 z2 z1 z2 2 4z1z2 C z z 0 z1 z2 0 2 12 2 4 D z 1 2 2 1 z 解析 A 错 反例 z1 2 i z2 2 i B 错 反例 z1 2 i z2 2 i C 错 反例 z1 1 z2 i D 正确 z1 a bi 则 z a2 b2 1 2 a2 b2 2 1 z 故 z 1 2 2 1 z 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把正确的答案填在题中横线上 11 在复平面内 已知复数z x i 所对应的点都在单位圆内 则实数x的取值范围是 1 3 解析 z对应的点Z都在单位圆内 x 1 3 OZ 1 即 1 x2 1 3 2 x2 1 x2 x 1 9 8 9 2 2 3 2 2 3 答案 x 2 2 3 2 2 3 12 定义运算 ad bc 则对复数z x yi x y R R 符合条件 3 2i 的复 a b c d z 1 z 2i 数z等于 解析 由定义运算 得 2zi z 3 2i 则z z 1 z 2i 3 2i 1 2i i 3 2i 1 2i 1 2i 1 2i 1 5 8 5 答案 i 1 5 8 5 13 设x y为实数 且 则x y x 1 i y 1 2i 5 1 3i 解析 x 1 i y 1 2i 5 1 3i x 1 i 1 i 1 i y 1 2i 1 2i 1 2i x 1 i y 1 2i 1 3i Error 解得Error 5 1 3i 1 3i 1 3i 1 2 1 5 1 2 5 所以x y 4 答案 4 14 已知复数z0 3 2i 复数z满足z z0 3z z0 则复数z 解析 z 1 i z0 z0 3 3 2i 2i 3i 2 2 3 2 答案 1 i 3 2 三 解答题 本题共 5 小题 共 54 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤 15 10 分 若f z 2z 3i f i 6 3i 试求f z z z 解 f z 2z 3i z f i 2 i i 3i z z z 2 2i z i 3i z 2 z 2i z 又知f i 6 3i z 2 z 2i 6 3i z 设z a bi a b R R 则 a bi z 2 a bi a bi 2i 6 3i 即 3a b 2 i 6 3i 由复数相等的定义 得Error 解得Error z 2 i 故f z f 2 i 2 2 i 2 i 3i 6 4i 16 10 分 设复数z 若z2 az b 1 i 求实数a b的值 1 i 2 3 1 i 2 i 解 z 1 i 2 3 1 i 2 i 2i 3 1 i 2 i 1 i 3 i 2 i 3 i 2 i 2 i 2 i 将z 1 i 代入z2 az b 1 i 得 6 1 i 2 a 1 i b 1 i a b a 2 i 1 i 所以Error 所以Error 17 10 分 已知z是复数 z 2i 均为实数 i 为虚数单位 且复数 z ai 2在复平 z 2 i 面上对应的点在第一象限 求实数a的取值范围 解 设z x yi x y R R z 2i x y 2 i 由题意得y 2 x 2i 2 i z 2 i x 2i 2 i 1 5 2x 2 x 4 i 1 5 1 5 由题意得x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 根据条件 可知Error 解得 2 a 6 实数a的取值范围是 2 6 18 12 分 在复平面内A B C三点对应的复数分别为 1 2 i 1 2i 1 求A B A对应的复数 B C C 2 判断 ABC的形状 3 求 ABC的面积 解 1 A对应的复数为 B zB zA 2 i 1 1 i B对应的复数为 C zC zB 1 2i 2 i 3 i A对应的复数为 C zC zA 1 2i 1 2 2i 2 A 1 i B 2 B 3 i C 10 A 2 2i C 8 7 A 2 A 2 B 2 B C C A为直角 ABC为直角三角形 3 S ABC A A 2 1 2 B C 1 228 19 12 分 已知z1 x yi 1 x yi x y R R 且x2 y2 1 z2 3 4i z1 3 4i z 1 z 1 求证 z2 R R 2 求z2的最大值和最小值 1 证明 z1 x yi 1 x yi x y R R z z1 1 2x z1 1 2yi z z z2 3 4i z1 3 4i 1