(新人教A)高三数学教案全集之2.5函数的连续性

课课 题题 2 52 5 函数的连续性函数的连续性 教学目的 教学目的 1 理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上 会判断函数在一点是否连续 2 要会说明函数在一点不连续的理由 3 要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义 4 要了解闭区间上连续函数的性质 即最大值最小值定理 教学重点 教学重点 函数在一点连续必须满足三个条件 教学难点 教学难点 借助几何图象得出最大值最小值定理 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 内容分析内容分析 本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件 函数在一点连续概念 函数在开区间 和闭区间连续的定义 函数在闭区间上有最大 最小值的定义 最大最小值定理 函数的连 续性是建立在极限概念基础上的 又为以后微积分的学习做铺垫 它是承上启下的 函数在一 点连续必须满足三个条件 这是要学生重点掌握的内容 函数在区间连续的定义也是建立在一 点连续的基础上的 借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质 即最大值最小值 定理 函数在一点连续必须满足三个条件 缺一不可 如何得出这三个条件 可以借助函数图象 让 学生观察 总结出来 同样借助几何图象得出最大值最小值定理 在学生已掌握极限概念的基础上 并通过分析函数图象 让学生主动地总结出函数在一 点连续的三个条件及概念 以及通过区间是由点组成的 进行概念的顺应 得出函数在区间上 连续的概念 让学生主动地学习 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 0 00 lim lim lim xx xxxx f xaf xf xa 其中表示当从左侧趋近于时的左极限 表示当从右侧 0 lim xx f xa x 0 x 0 lim xx f xa x 趋近于时的右极限 0 x 2 我们前面学习了数列极限和函数极限 数列可以看成是一种特殊的函数 不同的是函 数的定义域往往是连续的 而数列的定义域是自然数集 是一个一个离散的点 而在我们日常 生活中 也会碰到这种情况 比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降 这是一种连续变化的情况 再比如邮寄信件的邮费 随邮件质量的增加而作阶梯式的增加 打 个比方 20 克以内是 8 毛钱邮票 21 克 30 克是 1 元 31 克 40 克是 1 2 元 等等 这就要求 我们去研究函数的连续与不连续问题 二 讲解新课 二 讲解新课 1 观察图像 如果我们给出一个函数的图象 从直观上看 一个函数在一点 x x0处连续 就是说图象在点 x x0处是不中断的 下面我们一起来看一下几张函数图象 并观察一下 它们 在 x x0处的连续情况 以及极限情况 分析图 第一 看函数在 x0是否连续 第二 在 x0是否有极限 若有与 f x0 的值关系如 何 图 1 函数在 x0连续 在 x0处有极限 并且极限就等于 f x0 图 2 函数在 x0不连续 在 x0处有极限 但极限不等于 f x0 因为函数在 x0处没有定 义 图 3 函数在 x0不连续 在 x0处没有极限 图 4 函数在 x0处不连续 在 x0处有极限 但极限不等于 f x0 的值 函数在点 x x0处要有定义 是根据图 2 得到的 根据图 3 函数在 x x0处要有极限 根 据图 4 函数在 x x0处的极限要等于函数在 x x0处的函数值即 f x0 函数在一点连续必须 满足刚才的三个条件 函数 f x 在点 x x0处连续必须满足下面三个条件 1 函数 f x 在点 x x0处有定义 2 f x 存在 0 lim xx 3 f x f x0 即函数 f x 在点 x0处的极限值等于这一点的函数值 0 lim xx 如果上述三个条件中有一个条件不满足 就说函数 f x 在点 x0处不连续 那根据这三个条 件 我们就可以给出函数在一点连续的定义 2 函数在一点连续的定义 如果函数 f x 在点 x x0处有定义 f x 存在 且f x 0 lim xx 0 lim xx f x0 那么函数 f x 在点 x x0处连续 由第三个条件 f x f x0 就可以知道f x 是存在的 所以我们下定义时可以再简 0 lim xx 0 lim xx 洁一点 函数 f x 在点 x0处连续的定义 如果函数 y f x 在点 x x0处及其附近有定义 并且f x f x0 就说函数 f x 在点 x0处 0 lim xx 连续 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间 a b 内连续的定义 区间是由点 构成的 只要函数 f x 在开区间内的每一个点都连续 那么它在开区间内也就连续了 3 函数 f x 在 a b 内连续的定义 如果函数 f x 在某一开区间 a b 内每一点处连续 就说函数 f x 在开区间 a b 内连续 或 f x 是开区间 a b 内的连续函数 f x 在开区间 a b 内的每一点以及在 a b 两点都连续 现在函数 f x 的定义域是 a b 若在 a 点连续 则 f x 在 a 点的极限存在并且等于 f a 即在 a 点的左 右极限都 存在 且都等于 f a f x 在 a b 内的每一点处连续 在 a 点处右极限存在等于 f a 在 b 点处左极限存在等于 f b 4 函数 f x 在 a b 上连续的定义 如果 f x 在开区间 a b 内连续 在左端点 x a 处有f x f a 在右端点 x b 处有 ax lim f x f b 就说函数 f x 在闭区间 a b 上连续 或 f x 是闭区间 a b 上的连续函数 bx lim 如果函数 f x 在闭区间 a b 上是连续函数 那它的图象肯定是一条连续曲线 我们来看这张图 它是连续的 在 a b 两点的值都是取到 所以它一定有一个最高点 和一个最低点 假设在 x1这点最高 那么它的函数值最大 就是说 a b 区间上的各个点 的值都不大于 x1处的值 用数学语言表示就是 f x1 f x x a b 同理 设 x2是最低 点 f x2 f x x a b 5 最大值 f x 是闭区间 a b 上的连续函数 如果对于任意 x a b f x1 f x 那么 f x 在点 x1处有最大值 f x1 6 最小值 f x 是闭区间 a b 上的连续函数 如果对于任意 x a b f x2 f x 那么 f x 在点 x2处有最小值 f x2 由图我们可以知道 函数 f x 在 a b 上连续 则一定有最大最小值 这是闭区间上 连续函数的一个性质 最大 最小值可以在 a b 内的点取到 也可以在 a b 两个端点上取到 7 最大值最小值定理 如果 f x 是闭区间 a b 上的连续函数 那么 f x 在闭区间 a b 上有最大值和最小 值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义 和需要满足的三个条件 下面看两个例子 看在给定点处是否连续 都要说明理由的 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 讨论下列函数在给定点处的连续性 1 f x 点 x 0 2 g x sinx 点 x 0 x 1 分析 我们如果要很直观地看在给定点是否连续 画图方法最方便 我们已经画出了两个函数的图象了 从图中 我们可以直接看出在 x 0 处函数连续的情况 函数 f x 在点 x 0 处不连续 因为函数 f x 在点 x 0 处没有定义 x 1 x 1 函数 g x sinx 在点 x 0 处连续 因为函数 g x sinx 在 x 0 及附近都有定义 sinx 0 lim x 存在且sinx 0 而 sin0 0 0 lim x 解 1 函数 f x 在点 x 0 处没有定义 它在点 x 0 处不连续 x 1 解 2 sinx 0 sin0 函数 g x sinx 在点 x 0 处是连续的 0 lim n 点评 写 g x sinx 在点 x 0 处连续只要把第三个条件写一下就可以 因为它已经包含前 两个条件了 我们已经知道函数在一点连续的定义了 例例 2 求求 f x x x 1 1 的最大值和最小值 解 最大值 f 1 1 最小值 f 1 1 四 课堂练习四 课堂练习 1 下面我们直接从图中 观察函数 x a 处是否连续 并说出理由 1 2 3 4 1 连续 因为函数在点 x a 处有定义 极限存在 并且极限值等于 在 a 点的函数值 如图 1 2 不连续 因为函数在 x a 处的极限值不等于在 x a 处的函数值 如图 2 3 连续 因为函数在点 x a 处 有定义 有极限 极限值等于函数值 如图 3 4 不连续 因为函数在 x a 处没有极限 如图 4 5 不连续 因为函数在 x a 处没有定义 如图 5 2 利用下列函数的图象 说明函数在给定点处是否连续 1 f x 点 x 0 2 1 x 解 f x 在 x 0 处没有定义 f x 在 x 0 处不连续 2 f x x 点 x 0 解 f x 0 f 0 f x 在 x 0 处连续 0 lim x 3 已知函数 5 32 64 21 14 5 3 1 2 xxx xx xx xf 1 求 f x 的定义域 2 作出 f x 的图形 3 判断 f x 是否处处连续 5 解 1 f x 的定义域是 4 3 5 2 f x 的图象如图所示 3 由 f x 的图象可知 在定义域 4 3 5 上 f x 在点 x 1 处不连续 因为 f x 在 x 1 处没有极限 点评 分段函数的定义域是其各段定义域的并集 易知基本初等函数在其定义域内都是 连续的 因此分段函数在其各段内也是连续的 重点应判断各段的交界处是否连续 对这些 点应用连续的定义判断 凡其图象在某点处断开 则函数在该点处不连续 4 利用函数的连续性求下列极限 1 lg2x 3lgx 4 2 3 10 lim x x x x e e 1 1 lim 0 1 1 lim 3 1 x x x 初等函数 比如 x 常数 指数函数 对数函数 正弦函数等等 在其定义域里每一点处 的极限值等于该点的函数值 因为初等函数在其定义域内是连续的 这样就可以求初等函数 的极限了 1 2 可以用此法求解 3 中 由于在 x 1 处不连续 所以不能直接用f x f x0 0 lim xx 来求极限 可以设法约去分子 分母的公因式 再求极限 解 1 由于 lg2x 3lgx 4 在 x 10 处连续 因此 1g2x 3lgx 4 lg210 3lg10 4 8 10 lim x 2 由于在 x 0 处连续 因此 x x e e 1 1 0 11 11 1 1 1 1 lim 0 0 0 e e e e x x x 3 由于在 x 1 处不连续 1 1 3 x x 因此 1 lim x 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 662 6 16626 66 1